Concepto matemático
En matemáticas, un álgebra de mezcla es un álgebra de Hopf con una base correspondiente a palabras de algún conjunto, cuyo producto está dado por el producto de mezcla X ⧢ Y de dos palabras X , Y : la suma de todas las formas de entrelazarlas. El entrelazamiento está dado por la permutación de mezcla de mezcla .
El álgebra aleatoria en un conjunto finito es el dual graduado del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre en el conjunto.
Sobre los números racionales, el álgebra aleatoria es isomorfa al álgebra polinomial en palabras de Lyndon .
El producto aleatorio se da en contextos genéricos en álgebras no conmutativas ; esto se debe a que es capaz de preservar el orden relativo de los factores que se multiplican entre sí: la permutación aleatoria aleatoria . Esto se puede sostener en contraste con la estructura de potencia dividida , que se vuelve apropiada cuando los factores son conmutativos.
Mezclar productos
El producto aleatorio de palabras de longitudes m y n es una suma sobre el ( m + n )!/yo ! formas de intercalar las dos palabras, como se muestra en los siguientes ejemplos:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- aaa ⧢ aa = 10 aaaaa
Puede definirse inductivamente por [1]
- u ⧢ ε = ε ⧢ u = u
- ua ⧢ vb = ( u ⧢ vb ) a + ( ua ⧢ v ) b
donde ε es la palabra vacía , a y b son elementos individuales, y u y v son palabras arbitrarias.
El producto aleatorio fue introducido por Eilenberg y Mac Lane (1953). El nombre "producto aleatorio" se refiere al hecho de que el producto puede considerarse como una suma de todas las formas de mezclar dos palabras: esta es la permutación aleatoria aleatoria . El producto es conmutativo y asociativo . [2]
El producto aleatorio de dos palabras en algún alfabeto a menudo se denota con el símbolo de producto aleatorio ⧢ ( carácter Unicode U+29E2 PRODUCTO ALEATORIO , derivado de la letra cirílica ⟨ш⟩ sha ).
Producto de infiltración
El producto de infiltración, estrechamente relacionado , fue introducido por Chen, Fox y Lyndon (1958). Se define inductivamente en palabras sobre un alfabeto A por
- fa ↑ ga = ( f ↑ ga ) a + ( fa ↑ g ) a + ( f ↑ g ) a
- fa ↑ gb = ( f ↑ gb ) a + ( fa ↑ g ) b
Por ejemplo:
- ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab
- ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2 abba + 2 baab + baba
El producto de infiltración también es conmutativo y asociativo. [3]
Véase también
Referencias
- ^ Lothaire 1997, pág. 101,126
- ^ Lothaire 1997, pág. 126
- ^ Lothaire 1997, pág. 128
- Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H.; Lyndon , Roger C. (1958), "Cálculo diferencial libre. IV. Los grupos cocientes de la serie central inferior", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 68 (1): 81–95, doi :10.2307/1970044, JSTOR 1970044, MR 0102539, Zbl 0142.22304
- Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1953), "Sobre los grupos de H(Π,n). I", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 58 (1): 55–106, doi :10.2307/1969820, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969820, MR 0056295, Zbl 0050.39304
- Green, JA (1995), Álgebras aleatorias, álgebras de Lie y grupos cuánticos, Textos de Matemática. Serie B, vol. 9, Coimbra: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, MR 1399082
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Álgebra aleatoria", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, American Mathematical Society, doi :10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR 2724822, Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Combinatoria de palabras , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, JE; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, MP; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Prólogo de Roger Lyndon (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
- Reutenauer, Christophe (1993), Álgebras de Lie libres, Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 7, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799, Zbl 0798.17001
Enlaces externos
- Símbolo de producto aleatorio
