La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cuando cae a través de un fluido ( el aire es el ejemplo más común). Ocurre cuando la suma de la fuerza de arrastre ( F d ) y la flotabilidad es igual a la fuerza de gravedad hacia abajo ( F G ) que actúa sobre el objeto. Como la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero . [1] Para objetos que caen a través del aire normal, la fuerza de flotación generalmente se descarta y no se tiene en cuenta ya que sus efectos son insignificantes. [ cita necesaria ]
En dinámica de fluidos, un objeto se mueve a su velocidad terminal si su velocidad es constante debido a la fuerza restrictiva ejercida por el fluido a través del cual se mueve. [2]
A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también aumenta la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia que atraviesa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, el arrastre o fuerza de resistencia será igual a la atracción gravitacional sobre el objeto. En este punto el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento ). Un objeto que se mueve hacia abajo más rápido que la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó desde una parte más delgada de la atmósfera o cambió de forma) disminuirá su velocidad hasta alcanzar la velocidad terminal. El arrastre depende del área proyectada , aquí representada por la sección transversal o silueta del objeto en un plano horizontal. Un objeto con un área proyectada grande en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal menor que uno con un área proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con el tamaño. Esto se debe a que la fuerza hacia abajo (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, pero la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal que aumenta sólo con el cuadrado de la dimensión lineal. Para objetos muy pequeños, como el polvo y la niebla, la velocidad terminal se supera fácilmente mediante corrientes de convección que pueden impedir que lleguen al suelo y, por tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire durante períodos indefinidos. La contaminación del aire y la niebla son ejemplos.
Según la resistencia del aire, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre boca abajo es de aproximadamente 55 m/s (180 pies/s). [3] Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se acerca a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50% de la velocidad del terminal después de sólo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90%, 15 segundos para alcanzar el 99% y así sucesivamente.
Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista retrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 90 m/s (300 pies/s), [3] que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza sobre su presa. [4] La misma velocidad terminal se alcanza para una típica bala .30-06 que cae hacia abajo, cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o caída desde una torre, según un estudio de artillería del ejército de EE. UU. de 1920. [5]
Los paracaidistas de velocidad de competición vuelan con la cabeza hacia abajo y pueden alcanzar velocidades de 150 m/s (490 pies/s). [ cita necesaria ] El récord actual lo ostenta Felix Baumgartner , quien saltó desde una altitud de 38,887 m (127,582 pies) y alcanzó 380 m / s (1200 pies / s), aunque logró esta velocidad a gran altitud donde la densidad del el aire es mucho más bajo que en la superficie de la Tierra, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor. [6]
El biólogo JBS Haldane escribió:
Para el ratón y cualquier animal más pequeño [la gravedad] prácticamente no presenta ningún peligro. Puedes dejar caer un ratón por el pozo de una mina de mil metros; y, al llegar abajo, recibe un ligero susto y se aleja. Se mata una rata, se rompe un hombre, un caballo chapotea. Porque la resistencia que presenta el movimiento del aire es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Divida el largo, el ancho y la altura de un animal por diez; su peso se reduce a una milésima, pero su superficie sólo a una centésima. Así, la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza motriz. [7]
Usando términos matemáticos, la velocidad terminal, sin considerar los efectos de flotabilidad , está dada por
En realidad, un objeto se acerca asintóticamente a su velocidad terminal .
Los efectos de flotabilidad, debidos a la fuerza hacia arriba del objeto por parte del fluido circundante, se pueden tener en cuenta utilizando el principio de Arquímedes : la masa debe reducirse por la masa del fluido desplazado , con el volumen del objeto. Entonces, en lugar de utilizar la masa reducida en esta y siguientes fórmulas.
La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su superficie transversal proyectada .
La densidad del aire aumenta al disminuir la altitud, aproximadamente un 1% por 80 metros (260 pies) (ver fórmula barométrica ). Para los objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1%. Después de alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye para cambiar con la velocidad terminal local.
Usando términos matemáticos, definiéndolo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre ):
siendo v ( t ) la velocidad del objeto en función del tiempo t .
En el equilibrio , la fuerza neta es cero ( F net = 0) [9] y la velocidad se convierte en la velocidad terminal lim t →∞ v ( t ) = V t :
Resolviendo para V t se obtiene:
La ecuación de arrastre es, suponiendo que ρ , g y C d sean constantes:
Aunque esta es una ecuación de Riccati que se puede resolver mediante reducción a una ecuación diferencial lineal de segundo orden, es más fácil separar variables .
Se puede obtener una forma más práctica de esta ecuación haciendo la sustitución α 2 =ρAC d/2 mg.
Dividiendo ambos lados por m da
La ecuación se puede reordenar en
Tomando la integral de ambos lados se obtiene
Después de la integración, esto se convierte en
o en una forma más simple
Alternativamente,
Usando la fórmula para la velocidad terminal
Cuando el tiempo tiende al infinito ( t → ∞), la tangente hiperbólica tiende a 1, lo que da como resultado la velocidad terminal
Para un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas de inercia del fluido son insignificantes (suponiendo que el fluido no tiene masa) en comparación con otras fuerzas. Dichos flujos se denominan flujos progresivos o flujos de Stokes y la condición que debe cumplirse para que los flujos sean flujos progresivos es el número de Reynolds . La ecuación de movimiento para el flujo rastrero ( ecuación simplificada de Navier-Stokes ) viene dada por:
dónde:
La solución analítica para el flujo progresivo alrededor de una esfera fue dada por primera vez por Stokes en 1851. [10] A partir de la solución de Stokes, la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera de diámetro se puede obtener como
donde el número de Reynolds, . La expresión para la fuerza de arrastre dada por la ecuación ( 6 ) se llama ley de Stokes .
Cuando se sustituye el valor de en la ecuación ( 5 ), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve en condiciones de flujo progresivo: [11]
Los resultados del flujo progresivo se pueden aplicar para estudiar la sedimentación cerca del fondo del océano y la caída de gotas de humedad en la atmósfera. El principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente , un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, por ejemplo, petróleo, parafina, alquitrán, etc.
Cuando se tienen en cuenta los efectos de flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido bajo su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de asentamiento) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto queda exactamente equilibrado por la fuerza de flotabilidad hacia arriba y la fuerza de arrastre. Eso es
dónde
Si el objeto que cae tiene forma esférica, la expresión de las tres fuerzas se da a continuación:
dónde
Sustituyendo las ecuaciones ( 2 – 4 ) en la ecuación ( 1 ) y resolviendo la velocidad terminal, se obtiene la siguiente expresión
En la ecuación ( 1 ), se supone que el objeto es más denso que el fluido. De lo contrario, el signo de la fuerza de arrastre debe hacerse negativo ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Algunos ejemplos son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. La velocidad terminal en tales casos tendrá un valor negativo, correspondiente a la velocidad de ascenso.