Ley de Stokes

Ecuación para la velocidad de un cuerpo en un fluido viscoso

En dinámica de fluidos , la ley de Stokes es una ley empírica para la fuerza de fricción, también llamada fuerza de arrastre , ejercida sobre objetos esféricos con números de Reynolds muy pequeños en un fluido viscoso . ^[1] Fue derivada por George Gabriel Stokes en 1851 al resolver el límite de flujo de Stokes para números de Reynolds pequeños de las ecuaciones de Navier-Stokes . ^[2]

Declaración de la ley

La fuerza de viscosidad sobre una pequeña esfera que se mueve a través de un fluido viscoso viene dada por: ^{[3] [4]}

${\displaystyle F_{\rm {d}}=6\pi \mu Rv}$

donde (en unidades SI ):

• F _d es la fuerza de fricción, conocida como arrastre de Stokes , que actúa sobre la interfaz entre el fluido y la partícula ( newtons , kg ms ⁻² );
• μ (algunos autores utilizan el símbolo η ) es la viscosidad dinámica ( Pascal -segundos, kg m ⁻¹ s ⁻¹ );
• R es el radio del objeto esférico (metros);
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ es la velocidad del flujo relativa al objeto (metros por segundo).

La ley de Stokes establece las siguientes suposiciones sobre el comportamiento de una partícula en un fluido:

• Flujo laminar
• Sin efectos inerciales ( número de Reynolds cero )
• Partículas esféricas
• Material homogéneo (uniforme en composición)
• Superficies lisas
• Las partículas no interfieren entre sí.

Dependiendo de la precisión deseada, el incumplimiento de estos supuestos puede requerir o no el uso de un modelo más complicado. Por ejemplo, para un error del 10%, las velocidades deben limitarse a aquellas que den Re < 1.

Para las moléculas se utiliza la ley de Stokes para definir su radio y diámetro de Stokes .

La unidad CGS de viscosidad cinemática recibió el nombre de "Stokes" en honor a su trabajo.

Aplicaciones

La ley de Stokes es la base del viscosímetro de esfera descendente , en el que el fluido está estacionario en un tubo de vidrio vertical. Se permite que una esfera de tamaño y densidad conocidos descienda a través del líquido. Si se selecciona correctamente, alcanza la velocidad terminal, que se puede medir por el tiempo que tarda en pasar dos marcas en el tubo. La detección electrónica se puede utilizar para fluidos opacos. Conociendo la velocidad terminal, el tamaño y la densidad de la esfera y la densidad del líquido, se puede utilizar la ley de Stokes para calcular la viscosidad del fluido. Normalmente se utiliza una serie de cojinetes de bolas de acero de diferentes diámetros en el experimento clásico para mejorar la precisión del cálculo. El experimento escolar utiliza glicerina o jarabe dorado como fluido, y la técnica se utiliza industrialmente para comprobar la viscosidad de los fluidos utilizados en los procesos. Varios experimentos escolares a menudo implican variar la temperatura y/o la concentración de las sustancias utilizadas para demostrar los efectos que esto tiene sobre la viscosidad. Los métodos industriales incluyen muchos aceites diferentes y líquidos poliméricos como soluciones.

La importancia de la ley de Stokes queda ilustrada por el hecho de que jugó un papel fundamental en la investigación que condujo a al menos tres Premios Nobel. ^[5]

La ley de Stokes es importante para comprender la natación de microorganismos y espermatozoides ; también, la sedimentación de pequeñas partículas y organismos en el agua, bajo la fuerza de la gravedad. ^[5]

En el aire, la misma teoría puede utilizarse para explicar por qué pequeñas gotas de agua (o cristales de hielo) pueden permanecer suspendidas en el aire (como nubes) hasta que alcanzan un tamaño crítico y comienzan a caer en forma de lluvia (o nieve y granizo). ^[6] Se puede hacer un uso similar de la ecuación en la sedimentación de partículas finas en agua u otros fluidos. ^{[ cita requerida ]}

Velocidad terminal de una esfera que cae en un fluido

Flujo que se arrastra junto a una esfera que cae en un fluido (por ejemplo, una gota de niebla que cae a través del aire): líneas de corriente , fuerza de arrastre F _d y fuerza de gravedad F _g .

A la velocidad terminal (o de asentamiento) , la fuerza excedente F _e debida a la diferencia entre el peso y la flotabilidad de la esfera (ambos causados ​​por la gravedad ^[7] ) viene dada por:

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

donde (en unidades SI ):

• ρ _p es la densidad de masa de la esfera [kg/m ³ ]
• ρ _f es la densidad de masa del fluido [kg/m ³ ]
• g es la aceleración gravitacional [m/s ² ]

Si se requiere el equilibrio de fuerzas F _d = F _e y se resuelve la velocidad v, se obtiene la velocidad terminal v _s . Nótese que, dado que la fuerza en exceso aumenta a medida que R ³ y la resistencia de Stokes aumenta a medida que R , la velocidad terminal aumenta a medida que R ² y, por lo tanto, varía en gran medida con el tamaño de la partícula, como se muestra a continuación. Si una partícula solo experimenta su propio peso mientras cae en un fluido viscoso, entonces se alcanza una velocidad terminal cuando la suma de las fuerzas de fricción y flotabilidad sobre la partícula debido al fluido equilibra exactamente la fuerza gravitacional . Esta velocidad v [m/s] está dada por: ^[7]

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}}$$

donde (en unidades SI):

• g es la intensidad del campo gravitacional [m/s ² ]
• R es el radio de la partícula esférica [m]
• ρ _p es la densidad de masa de la partícula [kg/m ³ ]
• ρ _f es la densidad de masa del fluido [kg/m ³ ]
• μ es la viscosidad dinámica [kg/(m•s)].

Derivación

Flujo constante de Stokes

En el flujo de Stokes , con un número de Reynolds muy bajo , se descuidan los términos de aceleración convectiva en las ecuaciones de Navier-Stokes . Entonces, las ecuaciones de flujo se convierten, para un flujo constante incompresible : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

dónde:

• p es la presión del fluido (en Pa),
• u es la velocidad del flujo (en m/s), y
• ω es la vorticidad (en s ⁻¹ ), definida como  ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

Utilizando algunas identidades de cálculo vectorial , se puede demostrar que estas ecuaciones dan como resultado las ecuaciones de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector de vorticidad: ^[8]

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$   y   ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

No se han tenido en cuenta fuerzas adicionales como las de la gravedad y la flotabilidad, pero se pueden agregar fácilmente ya que las ecuaciones anteriores son lineales, por lo que se puede aplicar la superposición lineal de soluciones y fuerzas asociadas.

Flujo transversal alrededor de una esfera

Líneas de corriente de flujo que se arrastra junto a una esfera en un fluido. Isocontornos de la función ψ (valores en las etiquetas de los contornos).

Para el caso de una esfera en un flujo de campo lejano uniforme , es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas ( r , φ , z ) . El eje z pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección media del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicularmente al eje z . El origen está en el centro de la esfera. Debido a que el flujo es axisimétrico alrededor del eje z , es independiente del acimut φ .

En este sistema de coordenadas cilíndricas, el flujo incompresible se puede describir con una función de corriente de Stokes ψ , dependiendo de r y z : ^{[9] [10]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

donde u _r y u _z son los componentes de velocidad de flujo en la dirección r y z , respectivamente. El componente de velocidad azimutal en la dirección φ es igual a cero, en este caso axisimétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo delimitado por una superficie de algún valor constante ψ , es igual a 2 πψ y es constante. ^[9]

Para este caso de flujo axisimétrico, el único componente distinto de cero del vector de vorticidad ω es el componente azimutal φ ω _φ ^{[11] [12]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

El operador de Laplace , aplicado a la vorticidad ω _φ , se convierte en este sistema de coordenadas cilíndricas con axisimetría: ^[12]

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

A partir de las dos ecuaciones anteriores, y con las condiciones de contorno apropiadas, para una velocidad de flujo uniforme de campo lejano u en la dirección z y una esfera de radio R , se encuentra que la solución es ^[13]

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

La solución de la velocidad en coordenadas cilíndricas y componentes es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

Flujo de Stokes alrededor de una esfera con parámetros de velocidad de campo lejano , radio de la esfera y viscosidad del agua (T = 20 °C) . Se muestran las líneas de campo del campo de velocidad y las amplitudes de velocidad, presión y vorticidad con pseudocolores. ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$

La solución de la vorticidad en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas esféricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

La fórmula de la presión también se llama potencial dipolar, análogo al concepto en electrostática.

Una formulación más general, con un vector de velocidad de campo lejano arbitrario , en coordenadas cartesianas, es la siguiente: ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

En esta formulación, el término no conservativo representa una especie de Stokeslet . El Stokeslet es la función de Green de las ecuaciones de flujo de Stokes. El término conservativo es igual al campo de gradiente dipolar . La fórmula de vorticidad es análoga a la ley de Biot-Savart en electromagnetismo .

Alternativamente, de una manera más compacta, se puede formular el campo de velocidad de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$,

donde es el operador diferencial matricial hessiano y es un operador diferencial compuesto como la diferencia del laplaciano y el hessiano. De esta manera se hace explícitamente claro que la solución está compuesta a partir de derivadas de un potencial de tipo Coulomb ( ) y un potencial de tipo Biarmónico ( ). El operador diferencial aplicado a la norma vectorial genera el Stokeslet. ${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$ ${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$ ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \mathrm {S} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$

La siguiente fórmula describe el tensor de tensión viscosa para el caso especial del flujo de Stokes. Es necesaria para el cálculo de la fuerza que actúa sobre la partícula. En coordenadas cartesianas, el gradiente vectorial es idéntico a la matriz jacobiana . La matriz I representa la matriz identidad. ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

La fuerza que actúa sobre la esfera se calcula mediante la integral de superficie, donde e _r representa el vector unitario radial de coordenadas esféricas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

Flujo rotacional alrededor de una esfera

Flujo de Stokes alrededor de la esfera: , , ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$

Otros tipos de flujo de Stokes

Aunque el líquido está estático y la esfera se mueve con una cierta velocidad, con respecto al marco de la esfera, la esfera está en reposo y el líquido fluye en dirección opuesta al movimiento de la esfera.

Véase también

• Relación de Einstein (teoría cinética)
• Leyes científicas que llevan nombres de personas
• Ecuación de arrastre
• Viscosimetría
• Diámetro esférico equivalente
• Deposición (geología)
• Número de Stokes : un determinante del efecto adicional de la turbulencia en la velocidad de caída terminal de partículas en fluidos ^[14]

Fuentes

• Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Lamb, H. (1994). Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.

Referencias

1. Stokes, GG (1856). "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos en el movimiento de los péndulos". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 9, parte ii: 8–106. Bibcode :1851TCaPS...9....8S. La fórmula para la velocidad terminal (V) aparece en la pág. [52], ecuación (127).
2. Batchelor (1967), pág. 233.
3. Laidler, Keith J .; Meiser, John H. (1982). Química física . Benjamin/Cummings. pág. 833. ISBN 0-8053-5682-7.
4. Robert Byron, Bird; Warren E., Stewart; Edwin N., Lightfoot (7 de agosto de 2001). Fenómenos de transporte (2.ª edición). John Wiley & Sons, Inc., pág. 61. ISBN 0-471-41077-2.
5. Dusenbery, David (2009). Vivir a escala micro: la física inesperada de ser pequeño . Cambridge, Mass.: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6.OCLC 225874255  .
6. Hadley, Peter. "¿Por qué no caen las nubes?". Instituto de Física del Estado Sólido, TU Graz . Archivado desde el original el 12 de junio de 2017. Consultado el 30 de mayo de 2015 .
7. Lamb (1994), §337, pág. 599.
8. Batchelor (1967), sección 4.9, pág. 229.
9. Batchelor (1967), sección 2.2, pág. 78.
10. Cordero (1994), §94, pág. 126.
11. Batchelor (1967), sección 4.9, pág. 230
12. Batchelor (1967), apéndice 2, pág. 602.
13. Cordero (1994), §337, pág. 598.
14. Dey, S; Ali, SZ; Padhi, E (2019). "Velocidad de caída terminal: el legado de Stokes desde la perspectiva de la hidráulica fluvial". Actas de la Royal Society A . 475 (2228). doi : 10.1098/rspa.2019.0277 . PMC 6735480 . 20190277.