En topología y campos relacionados de las matemáticas , existen varias restricciones que se suelen aplicar a los tipos de espacios topológicos que se desean considerar. Algunas de estas restricciones están dadas por los axiomas de separación . A veces se los llama axiomas de separación de Tichonoff , en honor a Andrey Tichonoff .
Los axiomas de separación no son axiomas fundamentales como los de la teoría de conjuntos , sino más bien propiedades definitorias que pueden especificarse para distinguir ciertos tipos de espacios topológicos. Los axiomas de separación se denotan con la letra "T", que hace referencia al alemán Trennungsaxiom ("axioma de separación"), y los subíndices numéricos crecientes denotan propiedades cada vez más fuertes.
Las definiciones precisas de los axiomas de separación han variado a lo largo del tiempo . Especialmente en la literatura más antigua, diferentes autores pueden tener definiciones diferentes de cada condición.
Antes de definir los axiomas de separación, damos un significado concreto al concepto de conjuntos (y puntos) separados en espacios topológicos . (Los conjuntos separados no son lo mismo que los espacios separados , definidos en la siguiente sección).
Los axiomas de separación tratan sobre el uso de medios topológicos para distinguir conjuntos disjuntos y puntos distintos . No basta con que los elementos de un espacio topológico sean distintos (es decir, desiguales ); podemos querer que sean topológicamente distinguibles . De manera similar, no basta con que los subconjuntos de un espacio topológico sean disjuntos; podemos querer que estén separados (de varias maneras). Todos los axiomas de separación dicen, de una manera u otra, que los puntos o conjuntos que son distinguibles o separados en algún sentido débil también deben ser distinguibles o separados en algún sentido más fuerte.
Sea X un espacio topológico. Entonces dos puntos x e y en X son topológicamente distinguibles si no tienen exactamente los mismos vecindarios (o equivalentemente los mismos vecindarios abiertos); es decir, al menos uno de ellos tiene un vecindario que no es un vecindario del otro (o equivalentemente hay un conjunto abierto al que pertenece un punto pero el otro no). Es decir, al menos uno de los puntos no pertenece a la clausura del otro .
Dos puntos x e y están separados si cada uno de ellos tiene un entorno que no es un entorno del otro; es decir, ninguno pertenece a la clausura del otro . De manera más general, dos subconjuntos A y B de X están separados si cada uno es disjunto de la clausura del otro, aunque las clausuras en sí mismas no tienen por qué ser disjuntas. De manera equivalente, cada subconjunto está incluido en un conjunto abierto disjunto del otro subconjunto. Todas las condiciones restantes para la separación de conjuntos también se pueden aplicar a puntos (o a un punto y un conjunto) utilizando conjuntos unitarios. Los puntos x e y se considerarán separados, por entornos, por entornos cerrados, por una función continua, precisamente por una función, si y solo si sus conjuntos unitarios { x } e { y } están separados de acuerdo con el criterio correspondiente.
Los subconjuntos A y B están separados por vecindades si tienen vecindades disjuntas. Están separados por vecindades cerradas si tienen vecindades cerradas disjuntas. Están separados por una función continua si existe una función continua f desde el espacio X hasta la recta real R tal que A es un subconjunto de la preimagen f −1 ({0}) y B es un subconjunto de la preimagen f −1 ({1}). Finalmente, están separados precisamente por una función continua si existe una función continua f desde X hasta R tal que A es igual a la preimagen f −1 ({0}) y B es igual a f −1 ({1}).
Estas condiciones se dan en orden creciente de fuerza: dos puntos topológicamente distinguibles deben ser distintos, y dos puntos separados deben ser topológicamente distinguibles. Dos conjuntos separados deben ser disjuntos, dos conjuntos separados por vecindades deben estar separados, y así sucesivamente.
Todas estas definiciones utilizan esencialmente las definiciones preliminares anteriores.
Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en la literatura matemática ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T 4 " a veces se intercambian, lo mismo que "regular" y "T 3 ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece primero es siempre el menos ambiguo.
La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; las definiciones que se dan aquí siguen un patrón coherente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Se pueden encontrar otras definiciones posibles en los artículos individuales.
En todas las definiciones siguientes, X es nuevamente un espacio topológico .
La siguiente tabla resume los axiomas de separación así como las implicaciones entre ellos: las celdas que se fusionan representan propiedades equivalentes, cada axioma implica las de las celdas a su izquierda, y si asumimos el axioma T 1 , entonces cada axioma también implica las de las celdas por encima de él (por ejemplo, todos los espacios T 1 normales también son completamente regulares).
El axioma T 0 es especial en el sentido de que no sólo se puede sumar a una propiedad (de modo que completamente regular más T 0 es Tichonoff) sino que también se puede restar de una propiedad (de modo que Hausdorff menos T 0 es R 1 ), en un sentido bastante preciso; véase el cociente de Kolmogorov para más información. Cuando se aplica a los axiomas de separación, esto conduce a las relaciones de la tabla de la izquierda siguiente. En esta tabla, se pasa del lado derecho al lado izquierdo añadiendo el requisito de T 0 , y se pasa del lado izquierdo al lado derecho eliminando ese requisito, utilizando la operación del cociente de Kolmogorov. (Los nombres entre paréntesis que se dan en el lado izquierdo de esta tabla son generalmente ambiguos o al menos menos conocidos; pero se utilizan en el diagrama siguiente).
Aparte de la inclusión o exclusión de T 0 , las relaciones entre los axiomas de separación se indican en el diagrama de la derecha. En este diagrama, la versión distinta de T 0 de una condición se encuentra en el lado izquierdo de la barra diagonal, y la versión T 0 se encuentra en el lado derecho. Se utilizan letras para la abreviatura de la siguiente manera: "P" = "perfectamente", "C" = "completamente", "N" = "normal" y "R" (sin subíndice) = "regular". Una viñeta indica que no hay un nombre especial para un espacio en ese lugar. El guión en la parte inferior indica que no hay condición.
Se pueden combinar dos propiedades usando este diagrama siguiendo el diagrama hacia arriba hasta que ambas ramas se encuentren. Por ejemplo, si un espacio es completamente normal ("CN") y completamente Hausdorff ("CT 2 "), entonces siguiendo ambas ramas hacia arriba, se encuentra el punto "•/T 5 ". Dado que los espacios completamente Hausdorff son T 0 (aunque los espacios completamente normales pueden no serlo), se toma el lado T 0 de la barra, por lo que un espacio completamente normal completamente Hausdorff es lo mismo que un espacio T 5 (conocido de manera menos ambigua como un espacio completamente normal de Hausdorff, como se puede ver en la tabla anterior).
Como se puede ver en el diagrama, la normal y la R 0 juntas implican una serie de otras propiedades, ya que la combinación de las dos propiedades conduce a través de los muchos nodos de la rama del lado derecho. Como la regularidad es la más conocida de ellas, los espacios que son tanto normales como R 0 se denominan normalmente "espacios regulares normales". De manera similar, los espacios que son tanto normales como T 1 suelen denominarse "espacios de Hausdorff normales" por las personas que desean evitar la ambigua notación "T". Estas convenciones se pueden generalizar a otros espacios regulares y espacios de Hausdorff.
[NB: Este diagrama no refleja que los espacios perfectamente normales son siempre regulares; los editores están trabajando en esto ahora.]
Existen otras condiciones de los espacios topológicos que a veces se clasifican con los axiomas de separación, pero no encajan tan completamente con los axiomas de separación habituales. Aparte de sus definiciones, no se tratan aquí; véanse sus artículos individuales.