La historia de los axiomas de separación en la topología general ha sido complicada, con muchos significados compitiendo por los mismos términos y muchos términos compitiendo por el mismo concepto.
Antes de la definición general actual de espacio topológico , se ofrecían muchas definiciones, algunas de las cuales asumían (lo que ahora consideramos) algunos axiomas de separación. Por ejemplo, la definición dada por Felix Hausdorff en 1914 es equivalente a la definición moderna más el axioma de separación de Hausdorff .
Los axiomas de separación, como grupo, adquirieron importancia en el estudio de la metrizabilidad : la cuestión de qué espacios topológicos pueden tener la estructura de un espacio métrico . Los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación; pero, de hecho, estudiar espacios que satisfacen solo algunos axiomas ayuda a desarrollar la noción de metrizabilidad completa.
Los axiomas de separación que primero se estudiaron juntos de esta manera fueron los axiomas para espacios accesibles , espacios de Hausdorff , espacios regulares y espacios normales . Los topólogos asignaron a estas clases de espacios los nombres T 1 , T 2 , T 3 y T 4 . Más tarde, este sistema de numeración se amplió para incluir T 0 , T 2½ , T 3½ (o T π ), T 5 y T 6 .
Pero esta secuencia tenía sus problemas. La idea era que cada espacio T i es un tipo especial de espacio T j si i > j . Pero esto no es necesariamente cierto, ya que las definiciones varían. Por ejemplo, un espacio regular (llamado T 3 ) no tiene por qué ser un espacio de Hausdorff (llamado T 2 ), al menos no según la definición más simple de espacios regulares.
Todos los autores estuvieron de acuerdo en T 0 , T 1 y T 2 . Sin embargo, para los demás axiomas, diferentes autores podrían usar definiciones significativamente diferentes, dependiendo de lo que estuvieran trabajando. Estas diferencias podrían desarrollarse porque, si uno supone que un espacio topológico satisface el axioma T 1 , entonces las diversas definiciones son (en la mayoría de los casos) equivalentes. Por lo tanto, si uno va a hacer esa suposición, entonces querría usar la definición más simple. Pero si uno no hiciera esa suposición, entonces la definición más simple podría no ser la correcta para el concepto más útil; en cualquier caso, destruiría la implicación (transitiva) de T i por T j , permitiendo (por ejemplo) espacios regulares no Hausdorff.
Los topólogos que trabajaban en el problema de la metrización generalmente asumían T 1 ; después de todo, todos los espacios métricos son T 1 . Por lo tanto, utilizaban las definiciones más simples para T i . Luego, para aquellas ocasiones en las que no asumían T 1 , utilizaban palabras ("regular" y "normal") para las definiciones más complicadas, con el fin de contrastarlas con las más simples. Este enfoque se utilizó hasta 1970 con la publicación de Counterexamples in Topology por Lynn A. Steen y J. Arthur Seebach, Jr.
Por el contrario, los topólogos generales , liderados por John L. Kelley en 1955, normalmente no asumían T 1 , por lo que estudiaron los axiomas de separación con la mayor generalidad desde el principio. Utilizaron las definiciones más complicadas para T i , de modo que siempre tuvieran una buena propiedad que relacionara T i con T j . Luego, para las definiciones más simples, utilizaron palabras (de nuevo, "regular" y "normal"). Se podría decir que ambas convenciones siguen los significados "originales"; los diferentes significados son los mismos para los espacios T 1 , que era el contexto original. Pero el resultado fue que diferentes autores utilizaron los diversos términos de formas precisamente opuestas. Para aumentar la confusión, alguna literatura observará una buena distinción entre un axioma y el espacio que satisface el axioma, de modo que un espacio T 3 podría necesitar satisfacer los axiomas T 3 y T 0 (por ejemplo, en el Diccionario enciclopédico de matemáticas , 2.ª ed.).
Desde 1970, los términos generales de los topólogos han ido ganando popularidad, incluso en otras ramas de las matemáticas, como el análisis . Pero su uso aún no es uniforme.
Steen y Seebach definen un espacio de Urysohn como "un espacio con una función de Urysohn para dos puntos cualesquiera". Willard lo llama un espacio completamente de Hausdorff. Steen y Seebach definen un espacio completamente de Hausdorff o espacio T 2 1 ⁄ 2 como un espacio en el que cada dos puntos están separados por vecindades cerradas, lo que Willard llama espacio de Urysohn o espacio T 2 1 ⁄ 2 .