En geometría , el semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro . Aunque su derivación del perímetro es tan sencilla, el semiperímetro aparece con tanta frecuencia en fórmulas para triángulos y otras figuras que se le da un nombre aparte. Cuando el semiperímetro aparece como parte de una fórmula, normalmente se denota con la letra s .
El semiperímetro se utiliza con mayor frecuencia para triángulos; la fórmula para el semiperímetro de un triángulo con longitudes de lados a, b, c
En cualquier triángulo, cualquier vértice y el punto donde el excírculo opuesto toca el triángulo dividen el perímetro del triángulo en dos longitudes iguales, creando así dos caminos cada uno de los cuales tiene una longitud igual al semiperímetro. Si A, B, B', C' son como se muestra en la figura, entonces los segmentos que conectan un vértice con la tangencia del excírculo opuesto ( AA' , BB' , CC' , que se muestran en rojo en el diagrama) se conocen como divisores , y
Los tres divisores coinciden en el punto Nagel del triángulo.
Un cortador de triángulo es un segmento de línea que divide en dos el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Por lo tanto, cualquier cortador, como cualquier divisor, divide el triángulo en dos caminos, cada uno de los cuales tiene una longitud igual al semiperímetro. Los tres cortadores concurren en el centro del círculo de Spieker , que es el círculo inscrito del triángulo medial ; el centro de Spieker es el centro de masa de todos los puntos de las aristas del triángulo.
Una línea que pasa por el incentro del triángulo biseca el perímetro si y sólo si también biseca el área.
El semiperímetro de un triángulo es igual al perímetro de su triángulo medial .
Por la desigualdad del triángulo , la longitud del lado más largo de un triángulo es menor que el semiperímetro.
El área A de cualquier triángulo es el producto de su radio interno (el radio de su círculo inscrito) y su semiperímetro:
El área de un triángulo también se puede calcular a partir de su semiperímetro y las longitudes de los lados a, b, c utilizando la fórmula de Heron :
El radio circunscrito R de un triángulo también se puede calcular a partir del semiperímetro y las longitudes de los lados:
Esta fórmula se puede derivar de la ley de los senos .
El radio interno es
La ley de las cotangentes da las cotangentes de los semiángulos en los vértices de un triángulo en términos del semiperímetro, los lados y el radio interior.
La longitud de la bisectriz interna del ángulo opuesto al lado de longitud a es [1]
En un triángulo rectángulo , el radio del círculo inscrito en la hipotenusa es igual al semiperímetro. El semiperímetro es la suma del inradio y el doble del circunradio. El área del triángulo rectángulo es donde a, b son los catetos.
La fórmula para el semiperímetro de un cuadrilátero con lados de longitud a, b, c, d es
Una de las fórmulas del área de un triángulo que involucra el semiperímetro también se aplica a los cuadriláteros tangenciales , que tienen un incírculo y en los que (según el teorema de Pitot ) los pares de lados opuestos tienen longitudes que suman el semiperímetro, es decir, el área es el producto del inradio y el semiperímetro:
La forma más simple de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico tiene una forma similar a la de la fórmula de Heron para el área del triángulo:
La fórmula de Bretschneider generaliza esto a todos los cuadriláteros convexos :
en el que α y γ son dos ángulos opuestos.
Los cuatro lados de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de una ecuación cuártica parametrizada por el semiperímetro, el inradio y el circunradio .
El área de un polígono regular convexo es el producto de su semiperímetro por su apotema .
El semiperímetro de un círculo , también llamado semicircunferencia , es directamente proporcional a su radio r :
La constante de proporcionalidad es el número pi , π .
