Segmento circular

Área delimitada por un arco circular y una línea recta

Un segmento circular (en verde) está encerrado entre una secante/cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos puntos finales son iguales a los de la cuerda (el arco que se muestra sobre el área verde).

En geometría , un segmento circular o segmento de disco (símbolo: ⌓ ) es una región de un disco ^[1] que está "separada" del resto del disco por una línea recta. La línea completa se conoce como secante y la sección dentro del disco como cuerda . ^[2]

Más formalmente, un segmento circular es una región plana delimitada por un arco circular (de menos de π radianes por convención) y la cuerda circular que conecta sus extremos.

Fórmulas

Sea R el radio del arco que forma parte del perímetro del segmento, θ el ángulo central que subtiende el arco en radianes , c la longitud de la cuerda , s la longitud del arco , h la sagitta ( altura ) del segmento, d la apotema del segmento y a el área del segmento.

Por lo general, se dan o miden la longitud y la altura de la cuerda y, a veces, la longitud del arco como parte del perímetro; las incógnitas son el área y, a veces, la longitud del arco. Estas no se pueden calcular simplemente a partir de la longitud y la altura de la cuerda, por lo que, por lo general, primero se calculan dos cantidades intermedias, el radio y el ángulo central.

Radio y ángulo central

El radio es:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

El ángulo central es

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

Longitud y altura de la cuerda

La longitud y la altura de la cuerda se pueden calcular a partir del radio y el ángulo central mediante:

La longitud del acorde es

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

La sagitaria es

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

La apotema es

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

Longitud y área del arco

La longitud del arco, de la geometría familiar de un círculo, es

${\displaystyle s={\theta }R}$

El área a del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular (usando la fórmula del doble ángulo para obtener una ecuación en términos de ): ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

En términos de R y h ,

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}}$

En términos de c y h ,

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

Lo que se puede afirmar es que a medida que el ángulo central se hace más pequeño (o alternativamente, el radio se hace más grande), el área a se aproxima rápidamente y asintóticamente a . Si , es una aproximación sustancialmente buena. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

Si se mantiene constante y se permite que el radio varíe, entonces tenemos ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

A medida que el ángulo central se acerca a π, el área del segmento converge al área de un semicírculo, , por lo que una buena aproximación es un desplazamiento delta desde esta última área: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$para h>.75 R

A modo de ejemplo, el área es un cuarto del círculo cuando θ ~ 2,31 radianes (132,3°) corresponde a una altura de ~59,6% y una longitud de cuerda de ~183% del radio. ^{[ aclaración necesaria ]}

Etc.

El perímetro p es la longitud del arco más la longitud de la cuerda,

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

Como proporción del área total del disco, , tienes ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

Aplicaciones

La fórmula del área se puede utilizar para calcular el volumen de un tanque cilíndrico parcialmente lleno que se encuentra en posición horizontal.

En el diseño de ventanas o puertas con partes superiores redondeadas, c y h pueden ser los únicos valores conocidos y pueden usarse para calcular R para el ajuste del compás del dibujante.

Se pueden reconstruir las dimensiones completas de un objeto circular completo a partir de fragmentos midiendo la longitud del arco y la longitud de la cuerda del fragmento.

Para comprobar la posición de los orificios en un patrón circular. Especialmente útil para el control de calidad de productos mecanizados.

Para calcular el área o centroide de una forma plana que contiene segmentos circulares.

Véase también

• Acorde (geometría)
• Casquillo esférico
• Sector circular

Referencias

1. Las matemáticas distinguen, cuando es necesario, entre las palabras círculo y disco : un disco es un área plana que tiene como límite un círculo, mientras que un círculo es la curva cerrada que forma el límite mismo.
2. Estos términos se refieren a una línea que interseca una curva. En este caso, la curva es el círculo que forma el límite del disco.
3. La relación fundamental entre R, c y h derivable directamente del teorema de Pitágoras entre R, C/2 y los componentes rh de un triángulo rectángulo es: que puede resolverse para R, c o h según se requiera. ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$

• Weisstein, Eric W. "Segmento circular". MundoMatemático .

Enlaces externos

• Definición de un segmento circular Con animación interactiva
• Fórmulas para el área de un segmento circular Con animación interactiva