Secuencia Thue-Morse

Infinite binary sequence generated by repeated complementation and concatenation

Este gráfico demuestra la composición repetitiva y complementaria de la secuencia Thue-Morse.

En matemáticas , la secuencia de Thue-Morse o Prouhet-Thue-Morse es la secuencia binaria (una secuencia infinita de 0 y 1) que se puede obtener comenzando con 0 y añadiendo sucesivamente el complemento booleano de la secuencia obtenida hasta el momento. ^[1] A veces se la llama secuencia de reparto justo debido a sus aplicaciones a la división justa o secuencia de paridad . Los primeros pasos de este procedimiento producen las cadenas 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, etc., que son los prefijos de la secuencia de Thue-Morse. La secuencia completa comienza:

01101001100101101001011001101001.... ^[1]

La secuencia lleva el nombre de Axel Thue y Marston Morse .

Definición

Hay varias formas equivalentes de definir la secuencia de Thue-Morse.

Definición directa

Al contar en binario, la suma de dígitos módulo 2 es la secuencia de Thue-Morse

Para calcular el n º elemento t _n , escribe el número n en binario . Si el número de unos en esta expansión binaria es impar entonces t _n  = 1, si es par entonces t _n  = 0. ^[2] Es decir, t _n es el bit de paridad par para n . John H. Conway et al . consideraron que los números n que satisfacen t _n  = 1 son números odiosos (destinados a ser similares a los impares ), y los números para los cuales t _n  = 0 son números malvados (similares a los pares ).

Generación rápida de secuencias

Este método conduce a un método rápido para calcular la secuencia de Thue-Morse: empezar con t ₀  = 0 y luego, para cada n , encontrar el bit de orden más alto en la representación binaria de n que sea diferente del mismo bit en la representación de n  − 1 . Si este bit está en un índice par, t _n difiere de t _{n  − 1} , y de lo contrario es igual a t _{n  − 1} .

En Python :

def  generate_sequence ( seq_length :  int ): """Secuencia de Thue–Morse.""" valor = 1 para n en rango ( seq_length ): # Nota: asume que (-1).bit_length() da 1 x = ( n ^ ( n - 1 )) . bit_length () + 1 si x y 1 == 0 : # El índice de bit es par, por lo que alternar valor valor = 1 - valor produce valor                                

El algoritmo resultante tarda un tiempo constante en generar cada elemento de secuencia, utilizando sólo un número logarítmico de bits (número constante de palabras) de memoria. ^[3]

Relación de recurrencia

La secuencia de Thue-Morse es la secuencia t _n que satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=0,\\t_{2n}&=t_{n},\\t_{2n+1}&=1-t_{n},\end{aligned}}}$

para todos los números enteros no negativos n . ^[2]

Sistema L

Secuencia Thue-Morse generada por un sistema L

La secuencia Thue-Morse es una palabra mórfica : ^[4] es el resultado del siguiente sistema de Lindenmayer :

Caracterización mediante negación bit a bit

La secuencia de Thue-Morse en la forma dada arriba, como una secuencia de bits , puede definirse recursivamente usando la operación de negación bit a bit . Entonces, el primer elemento es 0. Luego, una vez que se han especificado los primeros 2 ⁿ elementos, formando una cadena s , entonces los siguientes 2 ⁿ elementos deben formar la negación bit a bit de s . Ahora hemos definido los primeros 2 ^{n +1} elementos, y realizamos la operación recursiva.

Explicando en detalle los primeros pasos:

• Empezamos con 0.
• La negación bit a bit de 0 es 1.
• Combinando estos, los primeros 2 elementos son 01.
• La negación bit a bit de 01 es 10.
• Combinando estos, los primeros 4 elementos son 0110.
• La negación bit a bit de 0110 es 1001.
• Combinando estos, los primeros 8 elementos son 01101001.
• Etcétera.

Entonces

• T0 = _​​0 .
• T1 = ₀₁ .
• T2 = ₀₁₁₀ .
• T3 = _01101001 .
• T4 = 0110100110010110 _.
• T5 = 01101001100101101001011001101001 _.
• T6 = 0110100110010110100101100110100110010110011001101001011010010110100110010110 _.
• Etcétera.

En Python :

def  thue_morse_bits ( n ): """Devuelve un int que contiene los primeros 2**n bits de la secuencia Thue-Morse, el bit de orden inferior es el primero.""" bits = 0 para i en rango ( n ): bits |= (( 1 << ( 1 << i )) - 1 - bits ) << ( 1 << i ) devolver bits                       

Que luego se puede convertir en una cadena (invertida) de la siguiente manera:

n  =  7 imprimir ( f " { thue_morse_bits ( n ) : 0 { 1 << n } b } " )

Producto infinito

La secuencia también se puede definir mediante:

${\displaystyle \prod _{i=0}^{\infty }\left(1-x^{2^{i}}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{t_{j}}x^{j},}$

donde t _j es el j- ésimo elemento si comenzamos en j = 0.

Propiedades

La secuencia de Thue-Morse contiene muchos cuadrados : instancias de la cadena , donde denota la cadena , , , o , donde para algunos y es la negación bit a bit de . ^[5] Por ejemplo, si , entonces . El cuadrado aparece en a partir del bit 16. Dado que todos los cuadrados en se obtienen repitiendo una de estas 4 cadenas, todas tienen longitud o para algunos . no contiene cubos : instancias de . Tampoco hay cuadrados superpuestos : instancias de o . ^{[6] [7]} El exponente crítico de es 2. ^[8] ${\displaystyle XX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A{\overline {A}}A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}A{\overline {A}}}$ ${\displaystyle A=T_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle A=T_{0}=0}$ ${\displaystyle A{\overline {A}}AA{\overline {A}}A=010010}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle XXX}$ ${\displaystyle 0X0X0}$ ${\displaystyle 1X1X1}$ ${\displaystyle T}$

La secuencia de Thue-Morse es una palabra uniformemente recurrente : dada cualquier cadena finita X en la secuencia, hay una longitud n _X (a menudo mucho más larga que la longitud de X ) tal que X aparece en cada bloque de longitud n _X. ^{[9] [10]} En particular, la secuencia de Thue-Morse es uniformemente recurrente sin ser periódica ni eventualmente periódica (es decir , periódica después de algún segmento inicial no periódico). ^[11]

La secuencia T _{2 n} es un palíndromo para cualquier n . Además, sea q _n una palabra obtenida al contar los unos entre ceros consecutivos en T _{2 n} . Por ejemplo, q ₁ = 2 y q ₂ = 2102012. Como T _n no contiene cuadrados superpuestos , las palabras q _n son palabras palindrómicas sin cuadrados .

El morfismo de Thue–Morse μ se define en el alfabeto {0,1} por la función de sustitución μ (0) = 01, μ (1) = 10: cada 0 en una secuencia se reemplaza por 01 y cada 1 por 10. ^[12] Si T es la secuencia de Thue–Morse, entonces μ ( T ) también es T . Por lo tanto, T es un punto fijo de μ . El morfismo μ es un morfismo prolongable en el monoide libre {0,1} ^∗ con T como punto fijo: T es esencialmente el único punto fijo de μ ; el único otro punto fijo es la negación bit a bit de T , que es simplemente la secuencia de Thue–Morse en (1,0) en lugar de en (0,1). Esta propiedad se puede generalizar al concepto de una secuencia automática .

La serie generadora de T sobre el campo binario es la serie de potencia formal

${\displaystyle t(Z)=\sum _{n=0}^{\infty }T(n)Z^{n}\ .}$

Esta serie de potencias es algebraica sobre el campo de funciones racionales y satisface la ecuación ^[13]

${\displaystyle Z+(1+Z)^{2}t+(1+Z)^{3}t^{2}=0}$

En la teoría de juegos combinatorios

El conjunto de números malvados (números con ) forma un subespacio de los números enteros no negativos bajo la adición nim ( exclusiva a nivel de bits o ). Para el juego de Kayles , los valores nim malvados ocurren para pocas (finitud de) posiciones en el juego, y todas las posiciones restantes tienen valores nim odiosos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$

El problema Prouhet-Tarry-Escott

El problema de Prouhet–Tarry–Escott se puede definir como: dado un entero positivo N y un entero no negativo k , particionar el conjunto S = { 0, 1, ..., N -1 } en dos subconjuntos disjuntos S ₀ y S ₁ que tengan sumas iguales de potencias hasta k, es decir:

${\displaystyle \sum _{x\in S_{0}}x^{i}=\sum _{x\in S_{1}}x^{i}}$para todos los números enteros i desde 1 hasta k .

Esto tiene una solución si N es un múltiplo de 2 ^{k +1} , dada por:

• S ₀ consta de los números enteros n en S para los cuales t _n = 0,
• S ₁ consta de los números enteros n en S para los cuales t _n = 1.

Por ejemplo, para N = 8 y k = 2,

0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7,

0 ² + 3 ² + 5 ² + 6 ² = 1 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² .

La condición que exige que N sea un múltiplo de 2 ^{k + 1} no es estrictamente necesaria: hay algunos casos más para los que existe una solución. Sin embargo, garantiza una propiedad más fuerte: si se cumple la condición, entonces el conjunto de potencias k de cualquier conjunto de N números en progresión aritmética se puede dividir en dos conjuntos con sumas iguales. Esto se deduce directamente de la expansión dada por el teorema del binomio aplicado al binomio que representa el n -ésimo elemento de una progresión aritmética.

Para generalizaciones de la secuencia de Thue-Morse y del problema de Prouhet-Tarry-Escott a particiones en más de dos partes, véase Bolker, Offner, Richman y Zara, "El problema de Prouhet-Tarry-Escott y las secuencias generalizadas de Thue-Morse". ^[14]

Fractales y gráficos de tortugas

Mediante gráficos de tortuga , se puede generar una curva si se programa un autómata con una secuencia. Cuando se utilizan miembros de secuencia de Thue-Morse para seleccionar estados de programa:

• Si t ( n ) = 0, avanza una unidad,
• Si t ( n ) = 1, rotar un ángulo de π/3 radianes (60°)

La curva resultante converge a la curva de Koch , una curva fractal de longitud infinita que contiene un área finita. Esto ilustra la naturaleza fractal de la secuencia de Thue-Morse. ^[15]

También es posible dibujar la curva con precisión utilizando las siguientes instrucciones: ^[16]

• Si t ( n ) = 0, gira un ángulo de π radianes (180°),
• Si t ( n ) = 1, avanzar una unidad y luego girar un ángulo de π/3 radianes.

Secuenciación equitativa

En su libro sobre el problema de la división justa , Steven Brams y Alan Taylor invocaron la secuencia Thue-Morse, pero no la identificaron como tal. Al asignar una pila de elementos en disputa entre dos partes que están de acuerdo con los valores relativos de los elementos, Brams y Taylor sugirieron un método que llamaron alternancia equilibrada , o turnarse para tomar turnos para tomar turnos... , como una forma de evitar el favoritismo inherente cuando una parte elige antes que la otra. Un ejemplo mostró cómo una pareja en proceso de divorcio podría llegar a un acuerdo justo en la distribución de los elementos de propiedad conjunta. Las partes se turnarían para ser la primera en elegir en diferentes puntos del proceso de selección: Ann elige un elemento, luego Ben lo hace, luego Ben elige un elemento, luego Ann lo hace. ^[17]

Lionel Levine y Katherine E. Stange , en su discusión sobre cómo distribuir equitativamente una comida compartida como una cena etíope , propusieron la secuencia Thue-Morse como una forma de reducir la ventaja de moverse primero. Sugirieron que “sería interesante cuantificar la intuición de que el orden Thue-Morse tiende a producir un resultado justo”. ^[18]

Robert Richman abordó este problema, pero él tampoco identificó la secuencia de Thue-Morse como tal en el momento de la publicación. ^[19] Presentó las secuencias Tn como funciones escalonadas en el intervalo [0,1] y describió su relación con las funciones de Walsh y Rademacher . Demostró que la derivada n- ésima se puede expresar en términos de T _n . Como consecuencia, la función escalonada que surge de T _n es ortogonal a polinomios de orden n  − 1. Una consecuencia de este resultado es que un recurso cuyo valor se expresa como una función continua monótonamente decreciente se asigna de manera más justa utilizando una secuencia que converge a Thue-Morse a medida que la función se vuelve más plana . Un ejemplo mostró cómo servir tazas de café de igual concentración desde una jarra con un gradiente de concentración no lineal , lo que provocó un artículo caprichoso en la prensa popular. ^[20]

Joshua Cooper y Aaron Dutle demostraron por qué el orden Thue-Morse proporciona un resultado justo para eventos discretos. ^[21] Consideraron la forma más justa de organizar un duelo de Galois , en el que cada uno de los tiradores tiene habilidades de tiro igualmente pobres. Cooper y Dutle postularon que cada duelista exigiría una oportunidad de disparar tan pronto como la probabilidad a priori de ganar del otro excediera la suya. Demostraron que, a medida que la probabilidad de acertar de los duelistas se acerca a cero, la secuencia de disparos converge a la secuencia Thue-Morse. Al hacerlo, demostraron que el orden Thue-Morse produce un resultado justo no solo para secuencias Tn de longitud 2 ⁿ , sino para secuencias de cualquier longitud.

Por lo tanto, las matemáticas apoyan el uso de la secuencia Thue-Morse en lugar de turnos alternados cuando el objetivo es la equidad pero los turnos anteriores difieren monótonamente de los turnos posteriores en alguna cualidad significativa, ya sea que esa cualidad varíe continuamente ^[19] o discretamente. ^[21]

Las competiciones deportivas forman una clase importante de problemas de secuenciación equitativa, porque la alternancia estricta a menudo da una ventaja injusta a un equipo. Ignacio Palacios-Huerta propuso cambiar el orden secuencial a Thue-Morse para mejorar la equidad ex post de varias competiciones de torneos, como la secuencia de patadas de una tanda de penaltis en fútbol. ^[22] Hizo una serie de experimentos de campo con jugadores profesionales y descubrió que el equipo que pateaba primero ganaba el 60% de los partidos utilizando ABAB (o T ₁ ), el 54% utilizando ABBA (o T ₂ ), y el 51% utilizando Thue-Morse completo (o T _n ). Como resultado, ABBA está siendo sometido a pruebas exhaustivas en la FIFA (Campeonatos Europeos y Mundiales) y en el fútbol profesional de la Federación Inglesa ( Copa EFL ). ^[23] También se ha descubierto que un patrón de servicio ABBA mejora la equidad de los tie-breaks de tenis . ^[24] En remo de competición , T ₂ es la única disposición de los miembros de la tripulación de remo de babor y estribor que elimina las fuerzas transversales (y por lo tanto el movimiento lateral) en un barco de carreras sin timonel de cuatro miembros, mientras que T ₃ es uno de los únicos cuatro aparejos que evitan el movimiento lateral en un barco de ocho miembros. ^[25]

La equidad es especialmente importante en los drafts de jugadores . Muchas ligas deportivas profesionales intentan lograr la paridad competitiva dando selecciones tempranas en cada ronda a los equipos más débiles. Por el contrario, las ligas de fútbol de fantasía no tienen un desequilibrio preexistente que corregir, por lo que a menudo utilizan un draft de "serpiente" (adelante, atrás, etc.; o T ₁ ). ^[26] Ian Allan argumentó que una "inversión de tercera ronda" (adelante, atrás, atrás, adelante, etc.; o T ₂ ) sería aún más justa. ^[27] Richman sugirió que la forma más justa para que el "capitán A" y el "capitán B" elijan bandos para un partido de baloncesto informal es similar a T ₃ : el capitán A tiene la primera, cuarta, sexta y séptima opciones, mientras que el capitán B tiene la segunda, tercera, quinta y octava opciones. ^[19]

Colisiones de hash

Los 2 ^k bits iniciales de la secuencia Thue-Morse se asignan a 0 mediante una amplia clase de funciones hash polinomiales módulo una potencia de dos , lo que puede provocar colisiones hash . ^[28]

Función zeta de Riemann

Ciertas combinaciones lineales de series de Dirichlet cuyos coeficientes son términos de la sucesión de Thue-Morse dan lugar a identidades que involucran la función Zeta de Riemann (Tóth, 2022 ^[29] ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

donde es el término de la sucesión de Thue-Morse. De hecho, para todos los que tienen una parte real mayor que , tenemos ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

Historia

La sucesión de Thue-Morse fue estudiada por primera vez por Eugène Prouhet  [fr] en 1851, ^[30] quien la aplicó a la teoría de números . Sin embargo, Prouhet no mencionó la sucesión explícitamente; esto se lo dejó a Axel Thue en 1906, quien la utilizó para fundar el estudio de la combinatoria en palabras . La sucesión solo cobró atención mundial con el trabajo de Marston Morse en 1921, cuando la aplicó a la geometría diferencial . La sucesión ha sido descubierta de forma independiente muchas veces, no siempre por matemáticos investigadores profesionales; por ejemplo, Max Euwe , un gran maestro de ajedrez y profesor de matemáticas , la descubrió en 1929 en una aplicación al ajedrez : al usar su propiedad libre de cubos (ver arriba), mostró cómo eludir la regla de triple repetición destinada a prevenir partidas infinitamente prolongadas al declarar la repetición de movimientos como tablas. En ese momento, se requerían estados de tablero idénticos consecutivos para activar la regla; La regla fue modificada posteriormente para que la misma posición del tablero pudiera repetirse tres veces en cualquier momento, ya que la secuencia muestra que el criterio consecutivo puede evadirse para siempre.

Véase también

• Teorema de Dejean
• Función Fabius
• Primera diferencia de la secuencia de Thue-Morse
• Código Gray ^{[31] [32]}
• Constante de Komornik-Loreti
• Constante de Prouhet-Thue-Morse

Notas

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A010060 (secuencia Thue-Morse)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Allouche y Shallit (2003, pág.15)
3. Arndt (2011).
4. Lothaire (2011, pág. 11)
5. Brlek (1989).
6. Lothaire (2011, pág. 113)
7. Pytheas Fogg (2002, pág. 103)
8. Guerra (2006).
9. Lothaire (2011, pág. 30)
10. Berthé y Rigo (2010).
11. Lothaire (2011, pág. 31)
12. Berstel y col. (2009, pág. 70)
13. Berstel y col. (2009, pág. 80)
14. Bolker y otros (2016).
15. Ma y Holdener (2005).
16. Abel, Zachary (23 de enero de 2012). "Tortugas navegantes Thue-Morse". Cosas de tres puntas .
17. Brams y Taylor (1999).
18. Levine y Stange (2012).
19. Richman (2001)
20. Abraham (2010).
21. Cooper & Dutle (2013)
22. Palacios-Huerta (2012).
23. Palacios-Huerta (2014).
24. Cohen-Zada, Krumer y Shapir (2018).
25. Barrow (2010).
26. "Tipos de draft de fantasía". NFL.com . Archivado desde el original el 12 de octubre de 2018.
27. Allan, Ian (16 de julio de 2014). «Third-Round Reversal Drafts». Fantasy Index . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
28. Pachocki, Jakub; Radoszewski, Jakub (2013). "Dónde utilizar y cómo no utilizar el algoritmo hash de cadenas polinomiales" (PDF) . Olimpiadas en Informática . 7 : 90–100.
29. Tóth, László (2022). «Combinaciones lineales de series de Dirichlet asociadas con la secuencia Thue-Morse». Enteros . 22 (artículo 98). arXiv : 2211.13570 .
30. La omnipresente secuencia Prouhet-Thue-Morse de Jean-Paul Allouche y Jeffrey Shallit
31. Fredricksen, Harold (1992). "Códigos Gray y la secuencia Thue-Morse-Hedlund". Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing (JCMCC) . 11. Naval Postgraduate School, Departamento de Matemáticas, Monterey, California, EE. UU.: 3–11.
32. Erickson, John (30 de octubre de 2018). "Sobre el cambio relativo asintótico para secuencias de permutaciones" . Consultado el 31 de enero de 2021 .[1]

Referencias

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Lectura adicional

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• Lotario, M. (2005). Combinatoria aplicada a las palabras . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 105. Una obra colectiva de Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert , Sophie Schbath , Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski , Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche y Valérie Berthé. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-84802-2.Zbl 1133.68067  .

Enlaces externos

• "Secuencia Thue-Morse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Secuencia Thue-Morse". MundoMatemático .
• Allouche, J.-P.; Shallit, JO La secuencia ubicua Prouhet-Thue-Morse. (contiene muchas aplicaciones y algo de historia)
• Secuencia de Thue-Morse sobre (1,2) (secuencia A001285 en la OEIS )
• Secuencia OEIS A000069 (Números odiosos: números con un número impar de 1 en su expansión binaria)
• Secuencia OEIS A001969 (Números malignos: números con un número par de 1 en su expansión binaria)
• Reducción de la influencia de la deriva de compensación de CC en IPs analógicos mediante la secuencia Thue-Morse. Una aplicación técnica de la secuencia Thue-Morse
• MusiNum - La música en los números. Programa gratuito para generar música autosimilar basada en la secuencia Thue-Morse y secuencias numéricas relacionadas.
• Parker, Matt . "La secuencia de reparto más justo de la historia" (video) . standupmaths . Consultado el 20 de enero de 2016 .