En geometría algebraica , el anillo de coordenadas homogéneo R de una variedad algebraica V dada como subvariedad del espacio proyectivo de una dimensión dada N es por definición el anillo cociente
donde I es el ideal homogéneo que define V , K es el campo algebraicamente cerrado sobre el que se define V , y
es el anillo polinómico en N + 1 variables X i . El anillo polinómico es por lo tanto el anillo de coordenadas homogéneas del propio espacio proyectivo, y las variables son las coordenadas homogéneas , para una elección dada de base (en el espacio vectorial subyacente al espacio proyectivo). La elección de la base significa que esta definición no es intrínseca, pero puede hacerse así utilizando el álgebra simétrica .
Como se supone que V es una variedad y, por lo tanto, un conjunto algebraico irreducible , el ideal I puede elegirse como un ideal primo y, por lo tanto, R es un dominio integral . La misma definición puede utilizarse para ideales homogéneos generales, pero los anillos de coordenadas resultantes pueden contener elementos nilpotentes distintos de cero y otros divisores de cero . Desde el punto de vista de la teoría de esquemas, estos casos pueden tratarse en el mismo plano mediante la construcción Proj .
El ideal irrelevante J generado por todos los Xi corresponde al conjunto vacío, ya que no todas las coordenadas homogéneas pueden desaparecer en un punto del espacio proyectivo .
El Nullstellensatz proyectivo da una correspondencia biyectiva entre variedades proyectivas e ideales homogéneos I que no contienen a J.
En la aplicación de las técnicas del álgebra homológica a la geometría algebraica, ha sido tradicional desde David Hilbert (aunque la terminología moderna es diferente) aplicar resoluciones libres de R , considerado como un módulo graduado sobre el anillo polinomial. Esto produce información sobre las sicigias , es decir, las relaciones entre los generadores del ideal I . En una perspectiva clásica, dichos generadores son simplemente las ecuaciones que uno escribe para definir V . Si V es una hipersuperficie solo necesita haber una ecuación, y para intersecciones completas el número de ecuaciones puede tomarse como la codimensión; pero la variedad proyectiva general no tiene un conjunto de ecuaciones definitorio que sea tan transparente. Estudios detallados, por ejemplo de curvas canónicas y las ecuaciones que definen variedades abelianas , muestran el interés geométrico de las técnicas sistemáticas para manejar estos casos. El tema también surgió de la teoría de eliminación en su forma clásica, en la que se supone que la reducción módulo I se convierte en un proceso algorítmico (ahora manejado por bases de Gröbner en la práctica).
Existen por razones generales resoluciones libres de R como módulo graduado sobre K [ X 0 , X 1 , X 2 , ..., X N ]. Una resolución se define como mínima si la imagen en cada módulo morfismo de módulos libres
en la resolución se encuentra en JF i − 1, donde J es el ideal irrelevante. Como consecuencia del lema de Nakayama , φ entonces lleva una base dada en F i a un conjunto mínimo de generadores en F i − 1 . El concepto de resolución libre mínima está bien definido en un sentido fuerte: único hasta el isomorfismo de complejos de cadena y que ocurre como un sumando directo en cualquier resolución libre. Dado que este complejo es intrínseco a R , uno puede definir los números graduados de Betti β i, j como el número de imágenes de grado j que vienen de F i (más precisamente, pensando en φ como una matriz de polinomios homogéneos, el recuento de entradas de ese grado homogéneo incrementado por las graduaciones adquiridas inductivamente desde la derecha). En otras palabras, los pesos en todos los módulos libres pueden inferirse de la resolución, y los números graduados de Betti cuentan el número de generadores de un peso dado en un módulo dado de la resolución. Las propiedades de estos invariantes de V en una incrustación proyectiva dada plantean preguntas de investigación activas, incluso en el caso de curvas. [1]
Existen ejemplos en los que la resolución libre mínima se conoce explícitamente. Para una curva normal racional, es un complejo de Eagon-Northcott. Para curvas elípticas en el espacio proyectivo, la resolución puede construirse como un cono de aplicación de complejos de Eagon-Northcott. [2]
La regularidad de Castelnuovo–Mumford puede leerse a partir de la resolución mínima del ideal I que define la variedad proyectiva. En términos de los "desplazamientos" imputados a i , j en el i -ésimo módulo F i , es el máximo sobre i de a i , j − i ; por lo tanto, es pequeño cuando los desplazamientos aumentan solo en incrementos de 1 a medida que nos movemos hacia la izquierda en la resolución (sólo sicigias lineales). [3]
La variedad V en su incrustación proyectiva es proyectivamente normal si R está integralmente cerrado . Esta condición implica que V es una variedad normal , pero no a la inversa: la propiedad de normalidad proyectiva no es independiente de la incrustación proyectiva, como lo muestra el ejemplo de una curva cuártica racional en tres dimensiones. [4] Otra condición equivalente es en términos del sistema lineal de divisores en V recortado por el dual del fibrado lineal tautológico en el espacio proyectivo, y sus d -ésimas potencias para d = 1, 2, 3, ...; cuando V no es singular , es proyectivamente normal si y solo si cada uno de esos sistemas lineales es un sistema lineal completo . [5] Alternativamente, se puede pensar en el dual del fibrado lineal tautológico como el haz de torsión de Serre O (1) en el espacio proyectivo, y usarlo para torcer el haz de estructura O V cualquier número de veces, digamos k veces, obteniendo un haz O V ( k ). Entonces V se llama k -normal si las secciones globales de O ( k ) se mapean sobreyectivamente a aquellas de O V ( k ), para un k dado , y si V es 1-normal se llama linealmente normal . Una variedad no singular es proyectivamente normal si y solo si es k -normal para todo k ≥ 1. La normalidad lineal también puede expresarse geométricamente: V como variedad proyectiva no puede obtenerse por una proyección lineal isomorfa desde un espacio proyectivo de dimensión superior, excepto en la forma trivial de yacer en un subespacio lineal propio. La normalidad proyectiva puede traducirse de manera similar, utilizando suficientes aplicaciones veronesas para reducirla a condiciones de normalidad lineal.
Si se considera la cuestión desde el punto de vista de un fibrado lineal muy amplio dado que da lugar a la incrustación proyectiva de V , se dice que dicho fibrado lineal ( haz invertible ) se genera normalmente si V, tal como está incrustado, es proyectivamente normal. La normalidad proyectiva es la primera condición N 0 de una secuencia de condiciones definidas por Green y Lazarsfeld. Para esto
se considera como un módulo graduado sobre el anillo de coordenadas homogéneo del espacio proyectivo, y se toma una resolución libre mínima. La condición N p se aplicó a los primeros p números graduados de Betti, requiriendo que se anulen cuando j > i + 1. [6] Para las curvas, Green demostró que la condición N p se satisface cuando deg( L ) ≥ 2 g + 1 + p , lo que para p = 0 fue un resultado clásico de Guido Castelnuovo . [7]
