Coeficientes acoplados con el momento angular.
En mecánica cuántica , los símbolos Wigner 3-j , también llamados símbolos 3 -jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan con el fin de sumar momentos angulares. [1] Si bien los dos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica.
Relación matemática con los coeficientes de Clebsch-Gordan
Los símbolos 3- j están dados en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por
Los componentes j y m son números cuánticos de momento angular, es decir, cada j (y cada m correspondiente ) es un número entero no negativo o un número medio impar . El exponente del factor de signo es siempre un número entero, por lo que permanece igual cuando se transpone a la izquierda, y la relación inversa se sigue al hacer la sustitución m 3 → − m 3 :
expresión explícita
¿Dónde está el delta del Kronecker ?
La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador no es negativo, es decir, los límites de la suma K y N se consideran iguales: el inferior es el superior. Los factoriales de números negativos se consideran convencionalmente iguales a cero. , de modo que los valores del símbolo 3 j en, por ejemplo, o se establezcan automáticamente en cero.
Relación de definición con los coeficientes de Clebsch-Gordan
Los coeficientes CG se definen de manera que expresen la suma de dos momentos angulares en términos de un tercero:
Los símbolos 3- j , por otro lado, son los coeficientes con los que se deben sumar tres momentos angulares para que la resultante sea cero:
Aquí está el estado de momento angular cero ( ). Es evidente que el símbolo 3- j trata los tres momentos angulares involucrados en el problema de suma en pie de igualdad y, por lo tanto, es más simétrico que el coeficiente CG.
Dado que el estado no cambia con la rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados de rotación con un símbolo 3- j es invariante bajo las rotaciones.
Reglas de selección
El símbolo Wigner 3- j es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:
Propiedades de simetría
Un símbolo 3- j es invariante bajo una permutación par de sus columnas:
Una permutación impar de las columnas da un factor de fase:
Al cambiar el signo de los números cuánticos ( inversión del tiempo ) también se obtiene una fase:
Los símbolos 3- j también tienen las llamadas simetrías Regge, que no se deben a permutaciones ni a inversiones de tiempo. [2] Estas simetrías son:
Con las simetrías de Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estos se muestran mejor mediante la definición de un símbolo Regge, que es una correspondencia uno a uno entre este y un símbolo 3- j y asume las propiedades de un cuadrado semimágico: [3]
¡por lo que las 72 simetrías ahora corresponden a 3! fila y 3! intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos pueden utilizarse para diseñar un plan de almacenamiento eficaz. [3]
Relaciones de ortogonalidad
Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j 1 y j 2 se puede describir en términos de los estados básicos no acoplados (etiquetados por los números cuánticos m 1 y m 2 ), o los estados básicos acoplados (etiquetados por j 3 y m 3 ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitaridad implica las relaciones de ortogonalidad
El delta triangular { j 1 j 2 j 3 } es igual a 1 cuando la tríada ( j 1 , j 2 , j 3 ) satisface las condiciones del triángulo y es cero en caso contrario. El delta triangular en sí a veces se llama confusamente [4] un " símbolo 3- j " (sin m ) en analogía con los símbolos 6- j y 9- j , todos los cuales son sumas irreducibles de símbolos 3- jm donde no hay m variables. permanecer.
Relación con armónicos esféricos; Coeficientes demacrados
Los símbolos 3- jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos [5]
con y números enteros. Estas integrales se denominan coeficientes de Gaunt.
Relación con integrales de armónicos esféricos ponderados por espín
Existen relaciones similares para los armónicos esféricos ponderados por espín si :
Relaciones de recursividad
Expresiones asintóticas
Para un símbolo 3- j distinto de cero es
donde , y es una función de Wigner . Generalmente una mejor aproximación que obedece a la simetría de Regge viene dada por
dónde .
tensor métrico
La siguiente cantidad actúa como tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como símbolo Wigner 1-jm : [1]
Se puede utilizar para realizar inversión de tiempo en momentos angulares.
Casos especiales y otras propiedades.
De la ecuación (3.7.9) en [6]
donde P son polinomios de Legendre .
Relación con RaçahV-coeficientes
Los símbolos Wigner 3- j están relacionados con los coeficientes Racah V [7] mediante una fase simple:
Relación con la teoría de grupos
Esta sección esencialmente reformula la relación definitoria en el lenguaje de la teoría de grupos.
Una representación grupal de un grupo es un homomorfismo del grupo en un grupo de transformaciones lineales en algún espacio vectorial. Las transformaciones lineales pueden estar dadas por un grupo de matrices con respecto a alguna base del espacio vectorial.
El grupo de transformaciones que dejan invariantes los momentos angulares es el grupo de rotación tridimensional SO(3) . Cuando se incluyen los momentos angulares de "giro", el grupo es su doble grupo de cobertura , SU(2) .
Una representación reducible es aquella en la que se puede aplicar un cambio de base para llevar todas las matrices a una forma diagonal de bloque. Una representación es irreductible (irrep) si no existe tal transformación.
Para cada valor de j , los 2 j +1 kets forman una base para una representación irreducible (irrep) de SO(3)/SU(2) sobre los números complejos. Dados dos irreps, el producto directo del tensor se puede reducir a una suma de irreps, dando lugar a los coeficientes de Clebcsh-Gordon, o mediante la reducción del producto triple de tres irrep al trivial irrep 1 que da lugar a los símbolos 3j.
Símbolos 3j para otros grupos.
El símbolo ha sido estudiado más intensamente en el contexto del acoplamiento del momento angular. Para esto, está fuertemente relacionado con la teoría de representación de grupos de los grupos SU(2) y SO(3) como se discutió anteriormente. Sin embargo, muchos otros grupos son importantes en física y química , y se ha trabajado mucho sobre el símbolo de estos otros grupos. En esta sección se considera parte de ese trabajo.
Grupos simplemente reducibles
El artículo original de Wigner [1]
no se limitó a SO(3)/SU(2), sino que se centró en grupos simplemente reducibles (SR). Son grupos en los que
- todas las clases son ambivalentes, es decir, si es miembro de una clase, también lo es
- el producto de Kronecker de dos irreps está libre de multiplicidad, es decir, no contiene ningún irrep más de una vez.
Para los grupos SR, cada irrep es equivalente a su conjugado complejo, y bajo permutaciones de las columnas el valor absoluto del símbolo es invariante y la fase de cada uno se puede elegir de manera que como máximo cambien de signo bajo permutaciones impares y permanezcan sin cambios bajo pares. permutaciones.
Grupos compactos generales
Los grupos compactos forman una amplia clase de grupos con estructura topológica . Incluyen los grupos finitos con topología discreta agregada
y muchos de los grupos de Lie .
Los grupos compactos generales no serán ambivalentes ni estarán libres de multiplicidad. Derome y Sharp [8]
y Derome [9] examinaron el símbolo para el caso general utilizando la relación con los coeficientes de Clebsch-Gordon de
donde es la dimensión del espacio de representación de y es la representación conjugada compleja de .
Al examinar las permutaciones de las columnas del símbolo, mostraron tres casos:
- Si todos son no equivalentes, entonces se puede elegir que el símbolo sea invariante bajo cualquier permutación de sus columnas.
- si exactamente dos son equivalentes, entonces se pueden elegir transposiciones de sus columnas de modo que algunos símbolos sean invariantes mientras que otros cambien de signo. Un enfoque utilizando una corona producto del grupo con [10] mostró que estos corresponden a las representaciones del grupo simétrico . Las permutaciones cíclicas dejan el símbolo invariante.
- Si los tres son equivalentes, el comportamiento depende de las representaciones del grupo simétrico . Las representaciones del grupo de corona correspondientes a son invariantes bajo transposiciones de las columnas, correspondientes al cambio de signo bajo transposiciones, mientras que un par correspondiente a la representación bidimensional se transforma de acuerdo con eso.
Se han realizado más investigaciones sobre símbolos para grupos compactos basándose en estos principios. [11]
Sol)
El grupo unitario especial SU(n) es el grupo de Lie de n × n matrices unitarias con determinante 1.
El grupo SU(3) es importante en la teoría de partículas . Hay muchos artículos que tratan sobre el símbolo o equivalente [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]
Se ha estudiado el símbolo del grupo SU(4) [20] [21]
mientras que también se está trabajando en los grupos generales SU(n) [22] [23]
Grupos de puntos cristalográficos
Hay muchos artículos que tratan sobre los símbolos o coeficientes de Clebsch-Gordon para los grupos de puntos cristalográficos finitos
y los grupos de puntos dobles.
El libro de Butler [24]
hace referencia a estos y detalla la teoría junto con tablas.
Grupos magnéticos
Los grupos magnéticos incluyen operadores antilineales y operadores lineales. Es necesario abordarlos utilizando la teoría de Wigner de las correpresentaciones de grupos unitarios y antiunitarios . Una desviación significativa de la teoría de la representación estándar es que la multiplicidad de la corepresentación irreducible
en el producto directo de las corerepresentaciones irreducibles
es generalmente menor que la multiplicidad de la corepresentación trivial en el producto triple , lo que lleva a diferencias significativas entre los coeficientes de Clebsch-Gordon y los símbolo.
Los símbolos han sido examinados para los grupos grises [25] [26]
y para los grupos de puntos magnéticos [27]
Ver también
Referencias
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enlaces externos
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