En geometría , el símbolo de Schläfli es una notación de la forma que define politopos y teselaciones regulares .
El símbolo de Schläfli lleva el nombre del matemático suizo del siglo XIX Ludwig Schläfli , [1] : 143 quien generalizó la geometría euclidiana a más de tres dimensiones y descubrió todos sus politopos regulares convexos, incluidos los seis que se encuentran en cuatro dimensiones.
El símbolo de Schläfli es una descripción recursiva , [1] : 129 que comienza con { p } para un polígono regular de lados p que es convexo . Por ejemplo, {3} es un triángulo equilátero , {4} es un cuadrado , {5} un pentágono regular convexo , etc.
Los polígonos de estrellas regulares no son convexos y sus símbolos de Schläfli { p / q } contienen fracciones irreducibles p / q , donde p es el número de vértices y q es su número de giro . De manera equivalente, { p / q } se crea a partir de los vértices de { p }, conectados cada q . Por ejemplo, { 5 ⁄ 2 } es un pentagrama ; { 5 ⁄ 1 } es un pentágono .
Un poliedro regular que tiene q caras poligonales regulares de p lados alrededor de cada vértice se representa por { p , q }. Por ejemplo, el cubo tiene 3 cuadrados alrededor de cada vértice y está representado por {4,3}.
Un politopo regular de 4 dimensiones , con r { p , q } celdas poliédricas regulares alrededor de cada borde está representado por { p , q , r }. Por ejemplo, un teseracto , {4,3,3}, tiene 3 cubos , {4,3}, alrededor de una arista.
En general, un politopo regular { p , q , r ,..., y , z } tiene z { p , q , r ,..., y } facetas alrededor de cada pico , donde un pico es un vértice en un poliedro. , una arista en un politopo de 4, una cara en un politopo de 5 y una cara ( n -3) en un politopo de n .
Un politopo regular tiene una figura de vértice regular . La figura de vértice de un politopo regular { p , q , r ,..., y , z } es { q , r ,..., y , z }.
Los politopos regulares pueden tener elementos poligonales estrella , como el pentagrama , con símbolo { 5 ⁄ 2 }, representado por los vértices de un pentágono pero conectados alternativamente.
El símbolo de Schläfli puede representar un poliedro convexo finito , una teselación infinita del espacio euclidiano o una teselación infinita del espacio hiperbólico , dependiendo del defecto angular de la construcción. Un defecto de ángulo positivo permite que la figura del vértice se pliegue en una dimensión más alta y vuelva a formar un bucle sobre sí mismo como un politopo. Un defecto de ángulo cero tesela un espacio de la misma dimensión que las facetas. Un defecto de ángulo negativo no puede existir en el espacio ordinario, pero puede construirse en el espacio hiperbólico.
Por lo general, se supone que una faceta o una figura de vértice es un politopo finito, pero a veces puede considerarse una teselación.
Un politopo regular también tiene un politopo dual, representado por los elementos del símbolo de Schläfli en orden inverso. Un politopo regular autodual tendrá un símbolo de Schläfli simétrico.
Además de describir politopos euclidianos, los símbolos de Schläfli se pueden utilizar para describir politopos esféricos o panales esféricos. [1] : 138
El trabajo de Schläfli fue casi desconocido durante su vida, y varios otros redescubrieron de forma independiente su notación para describir politopos. En particular, Thorold Gosset redescubrió el símbolo de Schläfli que escribió como | pag | q | r | ... | z | en lugar de corchetes y comas como hizo Schläfli. [1] : 144
La forma de Gosset tiene mayor simetría, por lo que el número de dimensiones es el número de barras verticales y el símbolo incluye exactamente los subsímbolos de la figura de faceta y vértice. Gosset considerado | p como operador, que se puede aplicar a | q | ... | z | para producir un politopo con p -caras gonales cuya figura de vértice es | q | ... | z |.
Los símbolos de Schläfli están estrechamente relacionados con los grupos de simetría de reflexión (finitos) , que corresponden precisamente a los grupos finitos de Coxeter y se especifican con los mismos índices, pero en su lugar entre corchetes [ p , q , r ,...]. Estos grupos suelen recibir el nombre de los politopos regulares que generan. Por ejemplo, [3,3] es el grupo de Coxeter para simetría tetraédrica reflectante , [3,4] es simetría octaédrica reflectante y [3,5] es simetría icosaédrica reflectante .
El símbolo de Schläfli de un polígono regular convexo con p aristas es { p }. Por ejemplo, un pentágono regular está representado por {5}.
Para polígonos de estrellas no convexos, se utiliza la notación constructiva { p ⁄ q }, donde p es el número de vértices y q −1 es el número de vértices omitidos al dibujar cada borde de la estrella. Por ejemplo, { 5 ⁄ 2 } representa el pentagrama .
El símbolo de Schläfli de un poliedro regular es { p , q } si sus caras son p -gónos y cada vértice está rodeado por q caras (la figura del vértice es un q -gón).
Por ejemplo, {5,3} es el dodecaedro regular . Tiene caras pentagonales (5 aristas) y 3 pentágonos alrededor de cada vértice.
Véase los 5 sólidos platónicos convexos , los 4 poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
Topológicamente, una teselación bidimensional regular puede considerarse similar a un poliedro (tridimensional), pero de manera que el defecto angular es cero. Por tanto, los símbolos de Schläfli también pueden definirse para teselados regulares del espacio euclidiano o hiperbólico de forma similar a los poliedros. La analogía es válida para dimensiones superiores.
Por ejemplo, el mosaico hexagonal está representado por {6,3}.
El símbolo de Schläfli de un 4-politopo regular tiene la forma { p , q , r }. Sus caras (bidimensionales) son p -gónos regulares ({ p }), las celdas son poliedros regulares de tipo { p , q }, las figuras de vértice son poliedros regulares de tipo { q , r } y las figuras de aristas son r -gons regulares (escriba { r }).
Vea los seis 4 politopos regulares convexos y los 10 de estrellas regulares .
Por ejemplo, las 120 celdas están representadas por {5,3,3}. Está formado por células de dodecaedro {5,3} y tiene 3 células alrededor de cada borde.
Hay una teselación regular del triespacio euclidiano: el panal cúbico , con un símbolo de Schläfli de {4,3,4}, hecho de celdas cúbicas y 4 cubos alrededor de cada borde.
También hay 4 teselados hiperbólicos compactos regulares que incluyen {5,3,4}, el pequeño panal dodecaédrico hiperbólico , que llena el espacio con células dodecaédricas .
Si el símbolo de un 4 politopo es palindrómico (por ejemplo, {3,3,3} o {3,4,3}), su bitruncado sólo tendrá formas truncadas de la figura del vértice como celdas.
Para politopos regulares de dimensiones superiores , el símbolo de Schläfli se define recursivamente como { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 } si las facetas tienen el símbolo de Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n − 2 } y las figuras de vértice tienen el símbolo de Schläfli { p 2 , p 3 , ..., p n − 1 } .
Una figura de vértice de una faceta de un politopo y una faceta de una figura de vértice del mismo politopo son iguales: { p 2 , p 3 , ..., p n − 2 } .
Sólo hay 3 politopos regulares en 5 dimensiones y superiores: el simplex , {3, 3, 3,..., 3}; el politopo cruzado , {3, 3, ..., 3, 4}; y el hipercubo , {4, 3, 3,..., 3}. No existen politopos regulares no convexos por encima de 4 dimensiones.
Si un politopo de dimensión n ≥ 2 tiene el símbolo de Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 } entonces su dual tiene el símbolo de Schläfli { p n − 1 , ..., p 2 , p 1 }.
Si la secuencia es palindrómica , es decir, la misma hacia adelante y hacia atrás, el politopo es autodual . Todo politopo regular en 2 dimensiones (polígono) es autodual.
Los politopos prismáticos uniformes se pueden definir y nombrar como un producto cartesiano (con operador "×") de politopos regulares de dimensiones inferiores.
. Su simetría es [ ].
. Su simetría es [2].
. Su simetría es [2, p ].
. Su simetría es [2, p , q ].. Su simetría es [ p ,2, q ].Los duales prismáticos o bipirámides se pueden representar como símbolos compuestos, pero con el operador de suma "+".
. Su simetría es [2].. Su simetría es [2, p ].. Su simetría es [ p , q ].. Su simetría es [ p ,2, q ].Los politopos piramidales que contienen vértices desplazados ortogonalmente se pueden representar mediante un operador de unión, "∨". Cada par de vértices entre figuras unidas están conectados por aristas.
En 2D, un triángulo isósceles se puede representar como ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
En 3D:
En 4D:
Al mezclar operadores, el orden de las operaciones de mayor a menor es ×, +, ∨.
Los politopos axiales que contienen vértices en hiperplanos desplazados paralelos se pueden representar mediante el operador ‖. Un prisma uniforme es { n }‖{ n } y un antiprisma { n }‖ r { n }.
Un polígono regular truncado duplica sus lados. Un polígono regular de lados pares se puede dividir por la mitad. Un 2n-gon regular de lados pares alterado genera un compuesto de figura de estrella , 2{n}.
Coxeter amplió su uso del símbolo de Schläfli a poliedros cuasiregulares añadiendo una dimensión vertical al símbolo. Fue un punto de partida hacia el diagrama de Coxeter más general . Norman Johnson simplificó la notación de los símbolos verticales con el prefijo r . La notación t es la más general y corresponde directamente a los anillos del diagrama de Coxeter. Los símbolos tienen una alternancia correspondiente , reemplazando anillos con agujeros en un diagrama de Coxeter y el prefijo h que representa la mitad , construcción limitada por el requisito de que las ramas vecinas deben estar ordenadas pares y corta el orden de simetría a la mitad. Un operador relacionado, a para alterado , se muestra con dos agujeros anidados y representa un poliedro compuesto con ambas mitades alternadas, conservando la simetría total original. Un desaire es la mitad de un truncamiento y un holosnub son ambas mitades de un truncamiento alternado.
Las alternancias tienen la mitad de la simetría de los grupos de Coxeter y están representadas por anillos vacíos. Hay dos opciones posibles para elegir la mitad de los vértices, pero el símbolo no implica cuál. Las formas de cuartos se muestran aquí con un + dentro de un anillo hueco para implicar que son dos alternancias independientes.
Las formas alteradas y holosnubbed tienen la simetría completa del grupo Coxeter y están representadas por anillos dobles sin relleno, pero pueden representarse como compuestos.
Regular
Semi-regular
Politopos regulares.
