Navegación de círculo máximo

Ruta de vuelo o navegación a lo largo del camino más corto entre dos puntos de la superficie de un globo terráqueo.

Curso ortodrómico dibujado en el globo terrestre

La navegación ortodrómica ( relacionada con la navegación ortodrómica ; del griego antiguo ορθός ( orthós )  'ángulo recto' y δρόμος ( drómos )  'camino') es la práctica de navegar un buque (una embarcación o una aeronave ) a lo largo de un círculo máximo . Tales rutas producen la distancia más corta entre dos puntos del globo. ^[1]

Curso

Figura 1. La trayectoria del círculo máximo entre (φ ₁ , λ ₁ ) y (φ ₂ , λ ₂ ).

La trayectoria del círculo máximo se puede encontrar utilizando trigonometría esférica ; esta es la versión esférica del problema geodésico inverso . Si un navegante comienza en P ₁  = (φ ₁ ,λ ₁ ) y planea recorrer el círculo máximo hasta un punto en el punto P ₂  = (φ ₂ ,λ ₂ ) (ver Figura 1, φ es la latitud, positiva hacia el norte, y λ es la longitud, positiva hacia el este), los cursos inicial y final α ₁ y α ₂ se dan mediante fórmulas para resolver un triángulo esférico

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

donde λ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[nota 1]} y los cuadrantes de α ₁ ,α ₂ están determinados por los signos del numerador y denominador en las fórmulas de la tangente (por ejemplo, utilizando la función atan2 ). El ángulo central entre los dos puntos, σ ₁₂ , está dado por

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[nota 2] [nota 3]}

(El numerador de esta fórmula contiene las cantidades que se usaron para determinar tan α ₁ .) La distancia a lo largo del círculo máximo será entonces s ₁₂  =  R σ ₁₂ , donde R es el radio supuesto de la Tierra y σ ₁₂ se expresa en radianes . Usando el radio medio de la Tierra , R  =  R ₁  ≈ 6,371 km (3,959 mi) arroja resultados para la distancia s ₁₂ que están dentro del 1% de la longitud geodésica para el elipsoide WGS84 ; vea Geodésicas en un elipsoide para más detalles.

Relación con el sistema de coordenadas geocéntricas

El ángulo de posición del punto t en el punto s es el ángulo en el que se cortan los círculos máximos verde y discontinuo en s . Las direcciones unitarias u _E , u _N y el eje de rotación ω están marcados con flechas.

Es posible realizar una evaluación detallada de la dirección óptima si la superficie del mar se aproxima a la superficie de una esfera. El cálculo estándar coloca el barco en una latitud geodésica φ _s y una longitud geodésica λ _s , donde φ se considera positiva si está al norte del ecuador y donde λ se considera positiva si está al este de Greenwich . En el sistema de coordenadas geocéntricas centrado en el centro de la esfera, los componentes cartesianos son

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

y la posición objetivo es

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

El Polo Norte está en

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

La distancia mínima d es la distancia a lo largo de un círculo máximo que pasa por s y t . Se calcula en un plano que contiene el centro de la esfera y el círculo máximo .

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

donde θ es la distancia angular de dos puntos vistos desde el centro de la esfera, medida en radianes . El coseno del ángulo se calcula mediante el producto escalar de los dos vectores.

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

Si el barco se dirige directamente al Polo Norte, la distancia recorrida es

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

Si un barco parte de t y nada directamente hacia el Polo Norte, la distancia recorrida es

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

Derivación

La fórmula del coseno de la trigonometría esférica ^[4] da como resultado el ángulo p entre los círculos máximos que pasan por s y que apuntan al Norte por un lado y a t por el otro

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

La fórmula del seno da como resultado

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

Resolviendo esto para sen θ _s,t y la inserción en la fórmula anterior se obtiene una expresión para la tangente del ángulo de posición,

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

Más detalles

Dado que la derivación breve da un ángulo entre 0 y π que no revela el signo (¿oeste o este del norte?), es deseable una derivación más explícita que produzca por separado el seno y el coseno de p de modo que el uso de la rama correcta de la tangente inversa permita producir un ángulo en el rango completo -π≤p≤π .

El cálculo parte de la construcción del círculo máximo entre s y t . Se encuentra en el plano que contiene el centro de la esfera, s y t y se construye girando s en el ángulo θ _s,t alrededor de un eje ω . El eje es perpendicular al plano del círculo máximo y se calcula mediante el producto vectorial normalizado de las dos posiciones:

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

Un sistema de coordenadas inclinado hacia la derecha con el centro en el centro de la esfera está dado por los tres ejes siguientes: el eje s , el eje

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

y el eje ω . Una posición a lo largo del círculo máximo es

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

La dirección de la brújula se da insertando los dos vectores s y s _⊥ y calculando el gradiente del vector con respecto a θ en θ=0 .

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

El ángulo p se obtiene dividiendo esta dirección a lo largo de dos direcciones ortogonales en el plano tangente a la esfera en el punto s . Las dos direcciones se obtienen mediante las derivadas parciales de s con respecto a φ y con respecto a λ , normalizadas a la longitud unitaria:

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

u _N apunta al norte y u _E al este en la posición s . El ángulo de posición p proyecta s _⊥ en estas dos direcciones,

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$,

donde el signo positivo significa que los ángulos de posición positivos se definen como norte sobre este. Los valores del coseno y el seno de p se calculan multiplicando esta ecuación en ambos lados por los dos vectores unitarios,

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

En lugar de insertar la expresión complicada de s _⊥ , la evaluación puede emplear que el producto triple es invariante bajo un desplazamiento circular de los argumentos:

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

Si se utiliza atan2 para calcular el valor, se pueden reducir ambas expresiones mediante la división por cos φ _t y la multiplicación por sen θ _s,t , porque estos valores son siempre positivos y esa operación no cambia de signo; entonces efectivamente

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

Encontrar puntos de referencia

Para encontrar los puntos de referencia , es decir, las posiciones de los puntos seleccionados en el círculo máximo entre P ₁ y P ₂ , primero extrapolamos el círculo máximo a su nodo A , el punto en el que el círculo máximo cruza el ecuador en dirección norte: sea la longitud de este punto λ ₀ — ver Fig. 1. El acimut en este punto, α ₀ , está dado por

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[nota 4]}

Sean las distancias angulares a lo largo del círculo máximo desde A hasta P ₁ y P ₂ σ ₀₁ y σ ₀₂ respectivamente. Luego, utilizando las reglas de Napier, tenemos

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Si φ ₁  = 0 y α ₁  =  1 ⁄ 2 π, use σ ₀₁  = 0).

Esto da σ ₀₁ , de donde σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

La longitud en el nodo se encuentra a partir de

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Figura 2. Trayectoria del gran círculo entre un nodo (un cruce del ecuador) y un punto arbitrario (φ,λ).

Finalmente, calcule la posición y el acimut en un punto arbitrario, P (ver Figura 2), mediante la versión esférica del problema geodésico directo . ^{[nota 5]} Las reglas de Napier dan

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[nota 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

La función atan2 debe utilizarse para determinar σ ₀₁ , λ y α. Por ejemplo, para encontrar el punto medio de la ruta, sustituya σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); alternativamente, para encontrar el punto a una distancia d del punto de partida, tome σ = σ ₀₁  +  d / R . Del mismo modo, el vértice , el punto en el círculo máximo con mayor latitud, se encuentra sustituyendo σ = + 1 ⁄ 2 π. Puede ser conveniente parametrizar la ruta en términos de la longitud utilizando

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[nota 7]}

Se pueden encontrar latitudes a intervalos regulares de longitud y las posiciones resultantes se pueden transferir al mapa de Mercator, lo que permite aproximar el círculo máximo mediante una serie de líneas de rumbo . La ruta determinada de esta manera da como resultado la gran elipse que une los puntos finales, siempre que las coordenadas se interpreten como coordenadas geográficas en el elipsoide. ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

Estas fórmulas se aplican a un modelo esférico de la Tierra. También se utilizan para calcular el círculo máximo en la esfera auxiliar , que es un dispositivo para hallar el camino más corto, o geodésico , en un elipsoide de revolución; consulte el artículo sobre geodésicas en un elipsoide .

Ejemplo

Calcular la ruta del gran círculo desde Valparaíso , φ ₁  = −33°, λ ₁  = −71,6°, hasta Shanghái , φ ₂  = 31,4°, λ ₂  = 121,8°.

Las fórmulas para el rumbo y la distancia dan λ ₁₂  = −166,6°, ^{[nota 8]} α ₁  = −94,41°, α ₂  = −78,42° y σ ₁₂  = 168,56°. Si tomamos el radio de la Tierra como R  = 6371 km, la distancia es s ₁₂  = 18743 km.

Para calcular los puntos a lo largo de la ruta, primero hay que hallar α ₀  = −56,74°, σ ₀₁  = −96,76°, σ ₀₂  = 71,8°, λ ₀₁  = 98,07° y λ ₀  = −169,67°. Luego, para calcular el punto medio de la ruta (por ejemplo), hay que tomar σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12,48° y resolver para φ = −6,81°, λ = −159,18° y α = −57,36°.

Si la geodésica se calcula con precisión en el elipsoide WGS84 , ^[5] los resultados son α ₁  = −94,82°, α ₂  = −78,29° y s ₁₂  = 18752 km. El punto medio de la geodésica es φ = −7,07°, λ = −159,31°, α = −57,45°.

Cuadro gnomónico

Carta gnomónica del Almirantazgo de los océanos Índico y Austral, para su uso en el trazado de rutas de círculos máximos

Una línea recta dibujada en un mapa gnomónico es una porción de un círculo máximo. Cuando esto se transfiere a un mapa de Mercator , se convierte en una curva. Las posiciones se transfieren a un intervalo conveniente de longitud y esta trayectoria se traza en el mapa de Mercator para la navegación.

Véase también

• Rosa de los vientos
• Gran circulo
• Distancia del gran círculo
• Gran elipse
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Distancia geográfica
• Isoazimutal
• Navegación loxodrómica
• Mapa
  • Mapa de Portolan
• Reloj de arena marino
• Línea de rumbo
• Trigonometría esférica
• Red Windrose

Notas

1. En el artículo sobre distancias de círculo máximo , se utiliza la notación Δλ = λ ₁₂ y Δσ = σ _12. La notación de este artículo es necesaria para tratar las diferencias entre otros puntos, p. ej., λ ₀₁ .
2. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   Sin embargo, esto es numéricamente menos preciso si σ ₁₂ es pequeño.
3. Estas ecuaciones para α ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂ son adecuadas para su implementación en calculadoras y computadoras modernas. Para los cálculos manuales con logaritmos, se solían utilizar las analogías de Delambre ^{[2] :}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   McCaw ^[3] se refiere a estas ecuaciones como si estuvieran en "forma logarítmica", con lo que quiere decir que todos los términos trigonométricos aparecen como productos; esto minimiza la cantidad de búsquedas en la tabla requeridas. Además, la redundancia en estas fórmulas sirve como verificación en los cálculos manuales. Si se utilizan estas ecuaciones para determinar el camino más corto en el círculo máximo, es necesario asegurarse de que |λ ₁₂ | ≤ π (de lo contrario, se encuentra el camino más largo).
4. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   Sin embargo, esto es menos preciso α ₀  ≈ ± 1 ⁄ 2 π.
5. El problema geodésico directo, que consiste en hallar la posición de P ₂ dados P ₁ , α ₁ y s ₁₂ , también se puede resolver mediante fórmulas para resolver un triángulo esférico , como sigue:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   La solución para los puntos de referencia que se da en el texto principal es más general que esta solución, ya que permite encontrar puntos de referencia en longitudes específicas. Además, la solución para σ (es decir, la posición del nodo) es necesaria para encontrar geodésicas en un elipsoide por medio de la esfera auxiliar.
6. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   Sin embargo, esto es menos preciso cuando φ ≈ ± 1 ⁄ 2 π
7. Se utiliza lo siguiente: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ ₁₂ se reduce al rango [−180°, 180°] sumando o restando 360° según sea necesario

Referencias

1. Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 de junio de 2011). Métodos y algoritmos en la navegación: navegación marítima y seguridad del transporte marítimo. CRC Press . pp. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
2. Todhunter, I. (1871). Trigonometría esférica (3.ª ed.). MacMillan. pág. 26.
3. McCaw, GT (1932). "Largas líneas en la Tierra". Empire Survey Review . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
4. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.149". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Karney, CFF (2013). "Algoritmos para geodésicas". Journal of Geodesy . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Código Bibliográfico :2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .

Enlaces externos

• Gran círculo: de MathWorld Descripción, figuras y ecuaciones del Gran círculo. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Mapa de Gran Círculo Herramienta interactiva para trazar rutas de gran círculo en una esfera.
• Great Circle Mapper Herramienta interactiva para trazar rutas de gran círculo.
• Calculadora de círculo máximo que deriva el curso (inicial) y la distancia entre dos puntos.
• Distancia de círculo máximo Herramienta gráfica para dibujar círculos máximos sobre mapas. También muestra la distancia y el acimut en una tabla.
• Programa de asistencia de Google para la navegación ortodrómica