Navegación en círculo máximo

Ruta de vuelo o navegación por el camino más corto entre dos puntos de la superficie del globo.

Curso ortodrómico dibujado en el globo terráqueo.

La navegación de gran círculo o navegación ortodrómica (relacionada con el rumbo ortodrómico ; del griego antiguo ορθός ( orthós )  'ángulo recto' y δρόμος ( drómos )  'camino') es la práctica de navegar un barco (un barco o avión ) a lo largo de un gran círculo . Estas rutas producen la distancia más corta entre dos puntos del mundo. ^[1]

Curso

Figura 1. La trayectoria del círculo máximo entre (φ ₁ , λ ₁ ) y (φ ₂ , λ ₂ ).

La trayectoria del círculo máximo se puede encontrar mediante trigonometría esférica ; ésta es la versión esférica del problema geodésico inverso . Si un navegante comienza en P ₁  = (φ ₁ , λ ₁ ) y planea viajar el círculo máximo hasta un punto en P ₂  = (φ ₂ , λ ₂ ) (ver Fig. 1, φ es la latitud, positiva hacia el norte , y λ es la longitud, positiva hacia el este), los rumbos inicial y final α ₁ y α ₂ están dados por fórmulas para resolver un triángulo esférico

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

donde λ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[nota 1]} y los cuadrantes de α ₁ ,α ₂ están determinados por los signos del numerador y denominador en las fórmulas tangentes (por ejemplo, usando la función atan2 ). El ángulo central entre los dos puntos, σ ₁₂ , está dado por

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[nota 2] [nota 3]}

(El numerador de esta fórmula contiene las cantidades que se usaron para determinar tanα ₁ ). La distancia a lo largo del círculo máximo será entonces s ₁₂  =  R σ ₁₂ , donde R es el radio supuesto de la Tierra y σ ₁₂ se expresa en radianes. . Usando el radio medio de la Tierra , R  =  R ₁  ≈ 6.371 km (3.959 mi) produce resultados para la distancia s ₁₂ que están dentro del 1% de la longitud geodésica para el elipsoide WGS84 ; consulte Geodésicas en un elipsoide para obtener más detalles.

Relación con el sistema de coordenadas geocéntricas

El ángulo de posición del punto t en el punto s es el ángulo en el que los círculos grandes verdes y discontinuos se cruzan en s . Las direcciones unitarias u _E , u _N y el eje de rotación ω están marcados con flechas.

Es posible una evaluación detallada de la dirección óptima si la superficie del mar se aproxima a una superficie esférica. El cálculo estándar sitúa el barco en una latitud geodésica φ _s y una longitud geodésica λ _s , donde φ se considera positiva si está al norte del ecuador, y donde λ se considera positiva si está al este de Greenwich . En el sistema de coordenadas geocéntricas centrado en el centro de la esfera, las componentes cartesianas son

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

y la posición objetivo es

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

El Polo Norte está en

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

La distancia mínima d es la distancia a lo largo de un círculo máximo que pasa por s y t . Se calcula en un plano que contiene el centro de la esfera y el círculo máximo ,

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

donde θ es la distancia angular de dos puntos vistos desde el centro de la esfera, medida en radianes . El coseno del ángulo se calcula mediante el producto escalar de los dos vectores.

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

Si el barco se dirige directamente al Polo Norte, la distancia recorrida es

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

Si un barco parte en t y nada directamente hacia el Polo Norte, la distancia recorrida es

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

Derivación

La fórmula del coseno de la trigonometría esférica ^[4] da como resultado el ángulo p entre los círculos máximos que pasan por s y que apuntan al norte por un lado y a t por el otro.

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

La fórmula del seno produce

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

Resolver esto para sin θ _s,t e insertar en la fórmula anterior da una expresión para la tangente del ángulo de posición,

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

Más detalles

Debido a que la derivación breve da un ángulo entre 0 y π que no revela el signo (¿oeste o este del norte?), es deseable una derivación más explícita que produzca por separado el seno y el coseno de p de modo que el uso de la rama correcta de la tangente inversa permite producir un ángulo en el rango completo -π≤p≤π .

El cálculo parte de una construcción del gran círculo entre s y t . Se encuentra en el plano que contiene el centro de la esfera, s y t , y se construye girando s según el ángulo θ _s,t alrededor de un eje ω . El eje es perpendicular al plano del círculo máximo y se calcula mediante el producto vectorial normalizado de las dos posiciones:

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

Un sistema de coordenadas inclinado hacia la derecha con el centro en el centro de la esfera viene dado por los siguientes tres ejes: el eje s , el eje

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

y el eje ω . Una posición a lo largo del gran círculo es

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

La dirección de la brújula se obtiene insertando los dos vectores s y s _⊥ y calculando el gradiente del vector con respecto a θ en θ=0 .

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

El ángulo p se obtiene dividiendo esta dirección a lo largo de dos direcciones ortogonales en el plano tangencial a la esfera en el punto s . Las dos direcciones vienen dadas por las derivadas parciales de s con respecto a φ y con respecto a λ , normalizadas a longitud unitaria:

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

u _N apunta al norte y u _E apunta al este en la posición s . El ángulo de posición p proyecta s _⊥ en estas dos direcciones,

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$,

donde el signo positivo significa que los ángulos de posición positivos están definidos de norte a este. Los valores del coseno y el seno de p se calculan multiplicando esta ecuación en ambos lados por los dos vectores unitarios,

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

En lugar de insertar la expresión complicada de s _⊥ , la evaluación puede emplear que el producto triple es invariante bajo un desplazamiento circular de los argumentos:

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

Si se usa atan2 para calcular el valor, se pueden reducir ambas expresiones dividiendo por cos φ _t y multiplicando por sin θ _s,t , porque estos valores siempre son positivos y esa operación no cambia de signo; entonces efectivamente

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

Encontrar puntos de ruta

Para encontrar los puntos de ruta , es decir, las posiciones de los puntos seleccionados en el círculo máximo entre P ₁ y P ₂ , primero extrapolamos el círculo máximo a su nodo A , el punto en el que el círculo máximo cruza el ecuador hacia el norte. dirección: sea la longitud de este punto λ ₀ ; consulte la figura 1. El acimut en este punto, α ₀ , viene dado por

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[nota 4]}

Sean las distancias angulares a lo largo del círculo máximo de A a P ₁ y P ₂ σ ₀₁ y σ ₀₂ respectivamente. Entonces usando las reglas de Napier tenemos

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Si φ ₁  = 0 y α ₁  =  1 ⁄ 2 π, use σ ₀₁  = 0).

Esto da σ ₀₁ , de donde σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

La longitud en el nodo se encuentra a partir de

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Figura 2. La trayectoria del círculo máximo entre un nodo (un cruce del ecuador) y un punto arbitrario (φ,λ).

Finalmente, calcule la posición y el azimut en un punto arbitrario, P (ver Fig. 2), mediante la versión esférica del problema geodésico directo . ^{[nota 5]} Las reglas de Napier dan

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[nota 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

La función atan2 debe usarse para determinar σ ₀₁ , λ y α. Por ejemplo, para encontrar el punto medio del camino, sustituya σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); alternativamente, para encontrar el punto a una distancia d del punto inicial, tome σ = σ ₀₁  +  d / R . Asimismo, el vértice , el punto del círculo máximo con mayor latitud, se encuentra sustituyendo σ = + 1 ⁄ 2 π. Puede ser conveniente parametrizar la ruta en términos de longitud usando

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[nota 7]}

Se pueden encontrar latitudes a intervalos regulares de longitud y las posiciones resultantes se pueden transferir a la carta de Mercator, lo que permite aproximar el círculo máximo mediante una serie de líneas de rumbo . La trayectoria determinada de esta manera da la gran elipse que une los puntos finales, siempre que las coordenadas se interpreten como coordenadas geográficas en el elipsoide. ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

Estas fórmulas se aplican a un modelo esférico de la Tierra. También se utilizan para resolver el círculo máximo en la esfera auxiliar , que es un dispositivo para encontrar el camino más corto, o geodésico , en un elipsoide de revolución; ver el artículo sobre geodésicas sobre un elipsoide .

Ejemplo

Calcule la ruta del gran círculo desde Valparaíso , φ ₁  = −33°, λ ₁  = −71,6°, hasta Shanghai , φ ₂  = 31,4°, λ ₂  = 121,8°.

Las fórmulas para el rumbo y la distancia dan λ ₁₂  = −166,6°, ^{[nota 8]} α ₁  = −94,41°, α ₂  = −78,42° y σ ₁₂  = 168,56°. Tomando el radio de la Tierra como R  = 6371 km, la distancia es s ₁₂  = 18743 km.

Para calcular puntos a lo largo de la ruta, primero encuentre α ₀  = −56,74°, σ ₀₁  = −96,76°, σ ₀₂  = 71,8°, λ ₀₁  = 98,07° y λ ₀  = −169,67°. Luego, para calcular el punto medio de la ruta (por ejemplo), tome σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12,48° y resuelva para φ = −6,81°, λ = −159,18° y α = − 57,36°.

Si la geodésica se calcula con precisión en el elipsoide WGS84 , ^[5] los resultados son α ₁  = −94,82°, α ₂  = −78,29° y s ₁₂  = 18752 km. El punto medio de la geodésica es φ = −7,07°, λ = −159,31°, α = −57,45°.

carta gnomónica

Carta gnomónica del Almirantazgo de los océanos Índico y Austral, para utilizarla en el trazado de trayectorias circulares

Una línea recta dibujada en una carta gnomónica es una porción de un círculo máximo. Cuando esto se transfiere a un gráfico de Mercator , se convierte en una curva. Las posiciones se transfieren en un intervalo conveniente de longitud y esta ruta se traza en la carta Mercator para la navegación.

Ver también

• Rosa de los vientos
• Gran circulo
• Distancia del gran círculo
• Gran elipse
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Distancia geográfica
• isoazimutal
• Navegación loxodrómica
• Mapa
  • mapa portulano
• reloj de arena marino
• Línea de rumbo
• trigonometría esférica
• red rosa de los vientos

Notas

1. En el artículo sobre distancias de círculo máximo , se utiliza la notación Δλ = λ ₁₂ y Δσ = σ _{12 .} La notación de este artículo es necesaria para abordar las diferencias entre otros puntos, por ejemplo, λ ₀₁ .
2. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   sin embargo, esto es numéricamente menos exacto si σ ₁₂ es pequeño.
3. Estas ecuaciones para α ₁ , α ₂ , σ ₁₂ son adecuadas para su implementación en calculadoras y computadoras modernas. Para cálculos manuales con logaritmos, generalmente se usaban las analogías de Delambre ^{[2] :}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   McCaw ^[3] se refiere a estas ecuaciones como en "forma logarítmica", con lo que quiere decir que todos los términos trigonométricos aparecen como productos; esto minimiza el número de búsquedas de tablas necesarias. Además, la redundancia en estas fórmulas sirve como verificación en los cálculos manuales. Si se utilizan estas ecuaciones para determinar el camino más corto en el círculo máximo, es necesario asegurarse de que |λ ₁₂ | ≤ π (en caso contrario se encuentra el camino más largo).
4. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   sin embargo, esto es menos exacto α ₀  ≈ ± 1 ⁄ 2 π.
5. El problema geodésico directo, encontrar la posición de P ₂ dado P ₁ , α ₁ y s ₁₂ , también se puede resolver mediante fórmulas para resolver un triángulo esférico , como sigue,

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   La solución para los puntos de ruta dada en el texto principal es más general que esta solución en el sentido de que permite encontrar puntos de ruta en longitudes específicas. Además, la solución para σ (es decir, la posición del nodo) es necesaria cuando se encuentran geodésicas en un elipsoide mediante la esfera auxiliar.
6. Una fórmula más simple es

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   sin embargo, esto es menos exacto cuando φ ≈ ± 1 ⁄ 2 π
7. Se utiliza lo siguiente: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ ₁₂ se reduce al rango [−180°, 180°] sumando o restando 360° según sea necesario

Referencias

1. Adán Weintrit; Tomasz Neumann (7 de junio de 2011). Métodos y Algoritmos en Navegación: Navegación Marítima y Seguridad del Transporte Marítimo. Prensa CRC . págs.139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
2. Todhunter, I. (1871). Trigonometría esférica (3ª ed.). MacMillan. pag. 26.
3. McCaw, GT (1932). "Largas colas en la Tierra". Revisión de la encuesta Empire . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
4. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.149". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Karney, CFF (2013). "Algoritmos para geodésicas". Revista de Geodesia . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Código Bib : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .

enlaces externos

• Gran Círculo: de la descripción, figuras y ecuaciones del Gran Círculo de MathWorld. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Great Circle Mapper Herramienta interactiva para trazar rutas de grandes círculos.
• Calculadora del Gran Círculo que deriva el rumbo (inicial) y la distancia entre dos puntos.
• Great Circle Distance Herramienta gráfica para dibujar grandes círculos sobre mapas. También muestra la distancia y el acimut en una tabla.
• Programa de asistencia de Google para la navegación ortodrómica