Ruido de Johnson-Nyquist

Ruido electrónico debido a la vibración térmica dentro de un conductor.

Figura 1. El experimento de Johnson de 1927 demostró que si el ruido térmico de una resistencia de temperatura tiene una banda limitada al ancho de banda , entonces su voltaje cuadrático medio es en general, donde es la constante de Boltzmann . ${\displaystyle {\text{R}}}$ ${\displaystyle {\text{T}}}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle (V_{\text{rms}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {4k_{\text{B}}{\text{T}}\,{\text{R}}\,\Delta f}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

El ruido de Johnson-Nyquist ( ruido térmico , ruido de Johnson o ruido de Nyquist ) es el ruido electrónico generado por la agitación térmica de los portadores de carga (generalmente los electrones ) dentro de un conductor eléctrico en equilibrio, que ocurre independientemente de cualquier voltaje aplicado . El ruido térmico está presente en todos los circuitos eléctricos y en equipos electrónicos sensibles (como receptores de radio ) puede ahogar las señales débiles y puede ser el factor limitante de la sensibilidad de los instrumentos de medición eléctricos. El ruido térmico es proporcional a la temperatura absoluta , por lo que algunos equipos electrónicos sensibles, como los receptores de radiotelescopios, se enfrían a temperaturas criogénicas para mejorar su relación señal-ruido . La derivación física estadística genérica de este ruido se denomina teorema de fluctuación-disipación , donde se utiliza la impedancia generalizada o la susceptibilidad generalizada para caracterizar el medio.

Figura 2. El ruido de Johnson-Nyquist tiene una densidad espectral de potencia casi constante de 4 k B T R por unidad de frecuencia , pero decae a cero debido a efectos cuánticos a altas frecuencias ( terahercios para temperatura ambiente). El eje horizontal de este gráfico utiliza una escala logarítmica de modo que cada línea vertical corresponde a una potencia de diez de frecuencia en hercios .

El ruido térmico en una resistencia ideal es aproximadamente blanco , lo que significa que su densidad espectral de potencia es casi constante en todo el espectro de frecuencia (Figura 2). Cuando se limita a un ancho de banda finito y se ve en el dominio del tiempo (como se muestra en la Figura 1), el ruido térmico tiene una distribución de amplitud casi gaussiana . ^[1]

Para el caso general, esta definición se aplica a los portadores de carga en cualquier tipo de medio conductor (por ejemplo, iones en un electrolito ), no solo a las resistencias . El ruido térmico se diferencia del ruido de disparo , que consiste en fluctuaciones de corriente adicionales que se producen cuando se aplica un voltaje y una corriente macroscópica comienza a fluir.

Historia del ruido térmico.

En 1905, en uno de los artículos Annus mirabilis de Albert Einstein , la teoría del movimiento browniano se resolvió por primera vez en términos de fluctuaciones térmicas. Al año siguiente, en un segundo artículo sobre el movimiento browniano, Einstein sugirió que se podrían aplicar los mismos fenómenos para derivar corrientes agitadas térmicamente, pero no llevó a cabo el cálculo por considerarlo no comprobable. ^[2]

Geertruida de Haas-Lorentz , hija de Hendrik Lorentz , en su tesis doctoral de 1912, amplió la teoría estocástica de Einstein y la aplicó por primera vez al estudio de los electrones, derivando una fórmula para el valor cuadrático medio de la corriente térmica. ^{[2] [3]}

Walter H. Schottky estudió el problema en 1918, mientras estudiaba el ruido térmico utilizando las teorías de Einstein, descubrió experimentalmente otro tipo de ruido, el ruido de disparo . ^[2]

Frits Zernike, que trabaja en metrología eléctrica, encontró desviaciones aleatorias inusuales mientras trabajaba con galvanómetros de alta sensibilidad . Rechazó la idea de que el ruido fuera mecánico y concluyó que era de naturaleza térmica. En 1927, introdujo la idea de las autocorrelaciones en las mediciones eléctricas y calculó el límite de tiempo de detección. Su trabajo coincidió con la predicción de De Haas-Lorentz. ^[2]

El mismo año, trabajando de forma independiente y sin ningún conocimiento del trabajo de Zernike, John B. Johnson, que trabajaba en los laboratorios Bell, encontró el mismo tipo de ruido en los sistemas de comunicación, pero lo describió en términos de frecuencias. ^{[4] [5] [2]} Describió sus hallazgos a Harry Nyquist , también en Bell Labs, quien utilizó principios de termodinámica y mecánica estadística para explicar los resultados, publicados en 1928. ^[6]

Ruido de resistencias ideales para frecuencias moderadas.

Figura 3. Mientras que el ruido térmico tiene una densidad espectral de potencia casi constante de , un filtro de paso de banda con ancho de banda pasa solo el área sombreada de alto y ancho . Nota: los filtros prácticos no tienen cortes de paredes de ladrillo , por lo que los bordes izquierdo y derecho de esta área no son perfectamente verticales. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle \Delta f{=}f_{\text{upper}}{-}f_{\text{lower}}}$ ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle \Delta f}$

El experimento de Johnson (Figura 1) encontró que el ruido térmico de una resistencia a temperatura Kelvin y banda limitada a una banda de frecuencia de ancho de banda (Figura 3) tiene un voltaje cuadrático medio de: ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}$

¿Dónde está la constante de Boltzmann ( ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$1,380 649 × 10 ⁻²³ julios por kelvin ). Si bien esta ecuación se aplica a resistencias ideales (es decir, resistencias puras sin ninguna dependencia de la frecuencia) a frecuencias y temperaturas no extremas, una forma general más precisa tiene en cuenta impedancias complejas y efectos cuánticos. La electrónica convencional generalmente opera en un ancho de banda más limitado , por lo que la ecuación de Johnson suele ser satisfactoria.

Densidad espectral de potencia

El voltaje cuadrático medio por hercio de ancho de banda es y puede denominarse densidad espectral de potencia (Figura 2). ^{[nota 1]} Su raíz cuadrada a temperatura ambiente (alrededor de 300 K) se aproxima a 0,13 en unidades de ⁠ ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$nanovoltios/√ hercios⁠ . Una resistencia de 10 kΩ, por ejemplo, tendría aproximadamente 13  ⁠nanovoltios/√ hercios⁠ a temperatura ambiente.

Tensión de ruido RMS

Figura 4. Estos circuitos son equivalentes:

(A) Una resistencia a temperatura distinta de cero con ruido térmico interno;

(B) Su circuito equivalente de Thévenin : una resistencia silenciosa en serie con una fuente de voltaje de ruido ;

(C) Su circuito equivalente de Norton : una resistencia silenciosa en paralelo con una fuente de corriente de ruido .

La raíz cuadrada del voltaje cuadrático medio produce el voltaje cuadrático medio (RMS) observado en el ancho de banda : ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.}$

Una resistencia con ruido térmico se puede representar mediante su circuito equivalente de Thévenin (Figura 4B), que consta de una resistencia silenciosa en serie con una fuente de voltaje de ruido gaussiano con el voltaje RMS anterior.

A temperatura ambiente, 3 kΩ proporcionan casi un microvoltio de ruido RMS sobre 20 kHz (el rango de audición humana ) y 60 Ω·Hz corresponden a casi un nanovoltio de ruido RMS. ${\displaystyle R\,\Delta f}$

Corriente de ruido RMS

Una resistencia con ruido térmico también se puede convertir en su circuito equivalente Norton (Figura 4C), que consiste en una resistencia libre de ruido en paralelo con una fuente de corriente de ruido gaussiano con la siguiente corriente RMS:

${\displaystyle I_{\text{rms}}={V_{\text{rms}} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}$

Ruido térmico en condensadores.

Los condensadores ideales , como dispositivos sin pérdidas, no tienen ruido térmico. Sin embargo, la combinación de una resistencia y un condensador (un circuito RC , un filtro de paso bajo común ) tiene lo que se llama ruido kTC . El ancho de banda de ruido de un circuito RC es ^[7] Cuando esto se sustituye en la ecuación del ruido térmico, el resultado tiene una forma inusualmente simple ya que el valor de la resistencia ( R ) sale de la ecuación. Esto se debe a que una R más alta disminuye el ancho de banda tanto como aumenta el ruido. ${\displaystyle \Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.}$

El voltaje de ruido medio cuadrático y RMS generado en dicho filtro es: ^[8]

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

La carga de ruido es la capacitancia multiplicada por el voltaje: ${\displaystyle Q_{n}}$

${\displaystyle Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC}$

Este ruido de carga es el origen del término " ruido kTC ". Aunque es independiente del valor de la resistencia, el 100% del ruido kTC surge en la resistencia. Por lo tanto, sería incorrecto contar dos veces tanto el ruido térmico de una resistencia como su ruido kTC asociado, ^[7] y se debe usar solo la temperatura de la resistencia, incluso si la resistencia y el capacitor están a diferentes temperaturas. Algunos valores se tabulan a continuación:

Restablecer ruido

Un caso extremo es el límite de ancho de banda cero llamado ruido de reinicio que queda en un capacitor al abrir un interruptor ideal . Aunque la resistencia abierta de un interruptor ideal es infinita, la fórmula aún se aplica. Sin embargo, ahora el voltaje RMS debe interpretarse no como un promedio de tiempo, sino como un promedio de muchos de estos eventos de reinicio, ya que el voltaje es constante cuando el ancho de banda es cero. En este sentido, el ruido Johnson de un circuito RC puede verse como inherente, un efecto de la distribución termodinámica del número de electrones en el capacitor, incluso sin la participación de una resistencia.

El ruido no es causado por el capacitor en sí, sino por las fluctuaciones termodinámicas de la cantidad de carga en el capacitor. Una vez que el capacitor se desconecta de un circuito conductor, la fluctuación termodinámica se congela en un valor aleatorio con una desviación estándar como se indicó anteriormente. El ruido de reinicio de los sensores capacitivos suele ser una fuente limitante de ruido, por ejemplo en los sensores de imagen .

Cualquier sistema en equilibrio térmico tiene variables de estado con una energía media de ⁠kt/2⁠ por grado de libertad . Usando la fórmula para la energía en un capacitor ( E  = ⁠1/2⁠ CV ² ), se puede ver que la energía de ruido media en un condensador también es ⁠1/2⁠ C ⁠kt/do⁠ = ⁠kt/2⁠ . El ruido térmico en un condensador se puede derivar de esta relación, sin considerar la resistencia.

termometria

El ruido de Johnson-Nyquist tiene aplicaciones en mediciones de precisión, en las que normalmente se le denomina "termometría de ruido de Johnson". ^[9]

Por ejemplo, el NIST en 2017 utilizó la termometría de ruido de Johnson para medir la constante de Boltzmann con una incertidumbre inferior a 3 ppm . Lo logró utilizando el estándar de voltaje Josephson y una resistencia Hall cuántica , mantenida a la temperatura del punto triple del agua . La tensión se mide durante un período de 100 días y se integra. ^[10]

Esto se hizo en 2017, cuando el punto triple de la temperatura del agua era por definición 273,16 K y la constante de Boltzmann era mensurable experimentalmente. Dado que la termometría acústica del gas alcanzó una incertidumbre de 0,2 ppm y el ruido de Johnson de 2,8 ppm, se cumplieron las condiciones previas para una redefinición. Después de la redefinición, el kelvin se definió de modo que la constante de Boltzmann fuera 1,380649 × 10 ⁻²³ J⋅K ⁻¹ , y el punto triple del agua se volvió mensurable experimentalmente. ^{[11] [12] [13]}

Ruido térmico en inductores.

Los inductores son el dual de los condensadores. De manera análoga al ruido kTC, una resistencia con un inductor produce una corriente de ruido que es independiente de la resistencia: ^[14] ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\overline {I_{n}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.}$

Máxima transferencia de potencia de ruido.

El ruido generado en una resistencia puede transferirse al circuito restante. La máxima transferencia de potencia se produce cuando coincide la resistencia equivalente de Thévenin del circuito restante . ^[14] En este caso, cada una de las dos resistencias disipa el ruido tanto en sí misma como en la otra resistencia. Dado que sólo la mitad del voltaje de la fuente cae a través de cualquiera de estas resistencias, esta transferencia máxima de potencia de ruido es: ${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$

${\displaystyle P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.}$

Este máximo es independiente de la resistencia y se denomina potencia de ruido disponible de una resistencia. ^[14]

Potencia de ruido disponible en decibelios-milivatios

La potencia de la señal a menudo se mide en dBm ( decibelios relativos a 1 milivatio ). Por tanto, la potencia de ruido disponible estaría en dBm. A temperatura ambiente (300 K), la potencia de ruido disponible se puede aproximar fácilmente en dBm para un ancho de banda en hercios. ^{[14] [15] : 260} A continuación se tabulan algunos ejemplos de potencia de ruido disponible en dBm: ${\displaystyle 10\ \log _{10}({\tfrac {k_{\text{B}}T\Delta f}{\text{1 mW}}})}$ ${\displaystyle 10\ \log _{10}(\Delta f)-173.8}$

Derivación de Nyquist del ruido de resistencia ideal

Figura 5. Esquema del experimento mental de Nyquist de 1928 ^{[6] [2] usando dos resistencias ruidosas (cada una representada aquí por una resistencia libre de ruido en serie con una fuente de voltaje de ruido) conectadas a través de una larga} línea de transmisión sin pérdidas de longitud . La señal de ruido de cada resistencia se propaga a través de la línea a una velocidad . Todas las impedancias son idénticas, por lo que ambas señales son absorbidas por la resistencia opuesta en lugar de reflejarse . Luego, Nyquist se imaginó cortando ambos extremos de la línea, atrapando así la energía en vuelo en la línea. Debido a que toda la energía en vuelo ahora se refleja completamente (debido a la impedancia ahora no coincidente), la energía en vuelo se puede representar como una suma de ondas estacionarias sinusoidales . Para una banda de frecuencias , existen modos de oscilación . ^{[nota 3]} Cada modo proporciona energía en promedio, de la cual es eléctrica y magnética, por lo que la energía total en ese ancho de banda en promedio es cada resistencia aportada (la mitad de esa energía total). Pero como antes del cortocircuito originalmente no había reflexiones, el valor de esa energía total en vuelo también es igual a la energía combinada que se transfirió desde ambas resistencias a la línea durante el intervalo de tiempo de tránsito de . Dividir la energía promedio transferida desde cada resistencia a la línea por el intervalo de tiempo de tránsito da como resultado una potencia total transferida a través del ancho de banda en promedio desde cada resistencia. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\text{v}}}$

${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle 2l\,\Delta f/{\text{v}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot 2l\,\Delta f/{\text{v}}.}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot l\,\Delta f/{\text{v}}}$

${\displaystyle l/{\text{v}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\,\Delta f}$ ${\displaystyle \Delta f}$

El artículo de Nyquist de 1928 "Agitación térmica de carga eléctrica en conductores" ^[6] utilizó conceptos sobre energía potencial y osciladores armónicos de la ley de equipartición de Boltzmann y Maxwell ^[16] para explicar el resultado experimental de Johnson. El experimento mental de Nyquist resumió la contribución de energía de cada modo de oscilación de onda estacionaria en una larga línea de transmisión sin pérdidas entre dos resistencias iguales ( ). Según la conclusión de la Figura 5, se determinó que la potencia promedio total transferida a través del ancho de banda y absorbida por era: ${\displaystyle R_{1}{=}R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle {\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.}$

La aplicación simple de la ley de Ohm dice que la corriente desde (el ruido del voltaje térmico de solo ) a través de la resistencia combinada es , por lo que la potencia transferida desde hacia es el cuadrado de esta corriente multiplicada por , lo que se simplifica a: ^[6] ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=({\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}})^{2}R_{1}={\tfrac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.}$

Establecer esto igual a la expresión de potencia promedio anterior permite resolver el promedio de ese ancho de banda: ${\textstyle P_{\text{1}}}$ ${\textstyle {\overline {P_{1}}}}$ ${\textstyle V_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.}$

Nyquist utilizó un razonamiento similar para proporcionar una expresión generalizada que también se aplica a impedancias complejas y no iguales. Y aunque Nyquist utilizó anteriormente la teoría clásica , Nyquist concluyó su artículo intentando utilizar una expresión más complicada que incorporaba la constante de Planck (de la nueva teoría de la mecánica cuántica ). ^[6] ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle h}$

Formas generalizadas

El ruido de voltaje descrito anteriormente es un caso especial para un componente puramente resistivo para frecuencias bajas a moderadas. En general, el ruido eléctrico térmico sigue relacionado con la respuesta resistiva en muchos casos eléctricos más generalizados, como consecuencia del teorema de fluctuación-disipación . A continuación se señalan una variedad de generalizaciones. Todas estas generalizaciones comparten una limitación común: solo se aplican en los casos en que el componente eléctrico considerado es puramente pasivo y lineal. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$

Impedancias complejas

El artículo original de Nyquist también proporcionó el ruido generalizado para componentes que tienen una respuesta parcialmente reactiva , por ejemplo, fuentes que contienen condensadores o inductores. ^[6] Un componente de este tipo puede describirse mediante una impedancia eléctrica compleja dependiente de la frecuencia . La fórmula para la densidad espectral de potencia del voltaje de ruido en serie es ${\displaystyle Z(f)}$

${\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}$

La función es aproximadamente 1, excepto en frecuencias muy altas o cerca del cero absoluto (ver más abajo). ${\displaystyle \eta (f)}$

La parte real de la impedancia, , depende en general de la frecuencia, por lo que el ruido de Johnson-Nyquist no es ruido blanco. El voltaje de ruido RMS en un rango de frecuencias se puede encontrar tomando la raíz cuadrada de la integración de la densidad espectral de potencia: ${\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}$.

Alternativamente, se puede utilizar una corriente de ruido paralela para describir el ruido de Johnson, siendo su densidad espectral de potencia

${\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}$

¿Dónde está la admitancia eléctrica ? tenga en cuenta que ${\displaystyle Y(f){=}{\tfrac {1}{Z(f)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]{=}{\tfrac {\operatorname {Re} [Z(f)]}{|Z(f)|^{2}}}\,.}$

Efectos cuánticos a altas frecuencias o bajas temperaturas.

Con la consideración adecuada de los efectos cuánticos (que son relevantes para frecuencias muy altas o temperaturas muy bajas cercanas al cero absoluto ), el factor multiplicador mencionado anteriormente viene dado en general por: ^[17] ${\displaystyle \eta (f)}$

${\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}}\,.}$

A frecuencias muy altas ( ), la función comienza a disminuir exponencialmente hasta cero. A temperatura ambiente, esta transición se produce en terahercios, mucho más allá de las capacidades de la electrónica convencional, por lo que es válido configurarla para que funcione la electrónica convencional. ${\displaystyle f\gtrsim {\tfrac {k_{\text{B}}T}{h}}}$ ${\displaystyle \eta (f)}$ ${\displaystyle \eta (f)=1}$

Relación con la ley de Planck

La fórmula de Nyquist es esencialmente la misma que derivó Planck en 1901 para la radiación electromagnética de un cuerpo negro en una dimensión; es decir, es la versión unidimensional de la ley de Planck sobre la radiación de un cuerpo negro . ^[18] En otras palabras, una resistencia caliente creará ondas electromagnéticas en una línea de transmisión del mismo modo que un objeto caliente creará ondas electromagnéticas en el espacio libre.

En 1946, Robert H. Dicke desarrolló la relación ^[19] y la conectó además con las propiedades de las antenas, particularmente el hecho de que la apertura promedio de la antena en todas las direcciones diferentes no puede ser mayor que , donde λ es la longitud de onda. Esto se debe a la diferente dependencia de la frecuencia entre la ley de Planck 3D y la 1D. ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}$

Redes eléctricas multipuerto

Richard Q. Twiss extendió las fórmulas de Nyquist a redes eléctricas pasivas multipuerto , incluidos dispositivos no recíprocos como circuladores y aisladores . ^[20] El ruido térmico aparece en cada puerto y puede describirse como fuentes de voltaje en serie aleatorias en serie con cada puerto. Los voltajes aleatorios en diferentes puertos pueden correlacionarse, y sus amplitudes y correlaciones se describen completamente mediante un conjunto de funciones de densidad espectral cruzada que relacionan los diferentes voltajes de ruido.

${\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}$

donde son los elementos de la matriz de impedancia . Nuevamente, una descripción alternativa del ruido es en términos de fuentes de corriente paralelas aplicadas en cada puerto. Su densidad espectral cruzada está dada por ${\displaystyle Z_{mn}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}$

¿Dónde está la matriz de admitancia ? ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}$

Notas

1. Este artículo utiliza una frecuencia "unilateral" (frecuencia solo positiva), no "bilateral".
2. La carga de un solo electrón es e− (el negativo de la carga elemental ). Entonces, cada número a la izquierda de e− representa el número total de electrones que componen la carga de ruido.
3. Se produce una onda estacionaria con una frecuencia igual a cada múltiplo entero de . La línea es lo suficientemente larga para hacer que el número de modos dentro del ancho de banda sea muy grande, de modo que los modos estarán lo suficientemente cerca en frecuencia para aproximarse a un espectro de frecuencia continuo. ${\displaystyle {\tfrac {\text{v}}{2l}}}$

Ver también

• Teorema de disipación de fluctuaciones
• Ruido de disparo
• ruido rosa
• Ecuación de Langevin
• Subida sobre térmica

Referencias

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Enlaces externos

• Ruido del amplificador en sistemas de RF.
• Ruido térmico (pregrado) con matemáticas detalladas.