Un rombo de Fresnel es un prisma óptico que introduce una diferencia de fase de 90° entre dos componentes perpendiculares de polarización, mediante dos reflexiones internas totales . Si el haz incidente está polarizado linealmente a 45° con respecto al plano de incidencia y reflexión, el haz emergente está polarizado circularmente y viceversa. Si el haz incidente está polarizado linealmente con alguna otra inclinación, el haz emergente está polarizado elípticamente con un eje principal en el plano de reflexión y viceversa.
El rombo suele adoptar la forma de un paralelepípedo recto , o lo que es lo mismo, un sólido con 6 caras de paralelogramo (un cuadrado es a un cubo como un paralelogramo a un paralelepípedo). Si el rayo incidente es perpendicular a una de las caras rectangulares más pequeñas, el ángulo de incidencia y reflexión en ambas caras más largas es igual al ángulo agudo del paralelogramo. Este ángulo se elige de modo que cada reflexión introduzca una diferencia de fase de 45° entre los componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de reflexión. Para un índice de refracción determinado y suficientemente alto , existen dos ángulos que cumplen este criterio; por ejemplo, un índice de 1,5 requiere un ángulo de 50,2° o 53,3°.
Por el contrario, si el ángulo de incidencia y reflexión es fijo, la diferencia de fase introducida por el rombo depende sólo de su índice de refracción, que normalmente varía sólo ligeramente en el espectro visible. Así, el rombo funciona como si fuera una placa de cuarto de onda de banda ancha , a diferencia de una placa de cuarto de onda birrefringente (doblemente refractiva) convencional, cuya diferencia de fase es más sensible a la frecuencia (color) de la luz. El material del que está hecho el rombo (generalmente vidrio) no es birrefringente.
El rombo de Fresnel lleva el nombre de su inventor, el físico francés Augustin-Jean Fresnel , quien desarrolló el dispositivo por etapas entre 1817 [1] y 1823. [2] Durante ese tiempo lo utilizó en experimentos cruciales relacionados con la polarización, la birrefringencia y la óptica. rotación , [3] [4] [5] todo lo cual contribuyó a la eventual aceptación de su teoría de la luz de ondas transversales .
Las ondas electromagnéticas incidentes (como la luz) consisten en vibraciones transversales en los campos eléctrico y magnético; estos son proporcionales y forman ángulos rectos entre sí y, por lo tanto, pueden representarse (digamos) solo por el campo eléctrico. Al chocar contra una interfaz, las oscilaciones del campo eléctrico se pueden resolver en dos componentes perpendiculares, conocidas como componentes s y p , que son paralelas a la superficie y al plano de incidencia, respectivamente; en otras palabras, las componentes s y p son respectivamente cuadradas y paralelas al plano de incidencia. [Nota 1]
La luz que pasa a través de un rombo de Fresnel sufre dos reflexiones internas totales en el mismo ángulo de incidencia cuidadosamente elegido. Después de una de esas reflexiones, la componente p avanza 1/8 de ciclo (45°; π/4 radianes ) con respecto a la componente s . Con dos de estas reflexiones, se obtiene un desplazamiento de fase relativo de 1/4 de ciclo (90°; π/2). [6] La palabra relativo es fundamental: como la longitud de onda es muy pequeña en comparación con las dimensiones de un aparato típico, los avances de fase individuales que sufren los componentes s y p no son fácilmente observables, pero la diferencia entre ellos es fácilmente observable a través de su efecto. sobre el estado de polarización de la luz emergente.
Si la luz entrante está polarizada linealmente (polarizada en plano), los componentes s y p están inicialmente en fase ; por lo tanto, después de dos reflexiones, "la componente p está 90° por delante en fase", [6] de modo que la polarización de la luz emergente es elíptica con ejes principales en las direcciones s y p (Fig. 1). De manera similar, si la luz entrante está polarizada elípticamente con ejes en las direcciones syp , la luz emergente está polarizada linealmente.
En el caso especial en el que las componentes s y p entrantes no sólo están en fase sino que también tienen magnitudes iguales, la polarización lineal inicial está a 45° con respecto al plano de incidencia y reflexión, y la polarización elíptica final es circular . Si la luz polarizada circularmente se inspecciona a través de un analizador (segundo polarizador), parece haber sido completamente "despolarizada", porque su brillo observado es independiente de la orientación del analizador. Pero si esta luz es procesada por un segundo rombo, se repolariza a 45° con respecto al plano de reflexión en ese rombo, una propiedad que no comparte la luz ordinaria (no polarizada).
Para una polarización de entrada general, el efecto neto del rombo es idéntico al de una placa birrefringente (doblemente refractiva) de cuarto de onda , excepto que una placa birrefringente simple proporciona la separación deseada de 90° a una sola frecuencia, y no (incluso aproximadamente) a frecuencias muy diferentes, mientras que la separación de fases dada por el rombo depende de su índice de refracción , que varía sólo ligeramente en un amplio rango de frecuencia (ver Dispersión ). Se pueden usar dos rombos de Fresnel en tándem (generalmente cementados para evitar reflejos en su interfaz) para lograr la función de una placa de media onda . La disposición en tándem, a diferencia de un rombo de Fresnel único, tiene la característica adicional de que el haz emergente puede ser colineal con el haz incidente original. [7]
Para especificar el cambio de fase en la reflexión, debemos elegir una convención de signos para el coeficiente de reflexión , que es la relación entre la amplitud reflejada y la amplitud incidente. En el caso de las componentes s , para las cuales las vibraciones incidente y reflejada son ambas normales (perpendiculares) al plano de incidencia, la elección obvia es decir que un coeficiente de reflexión positivo , correspondiente a un desplazamiento de fase cero , es aquel para el cual la vibración incidente y reflejada son ambas normales (perpendiculares) al plano de incidencia. Los campos incidente y reflejado tienen la misma dirección (sin inversión; sin "inversión"). En el caso de los componentes p , este artículo adopta la convención de que un coeficiente de reflexión positivo es aquel para el cual los campos incidente y reflejado están inclinados hacia el mismo medio. Entonces podemos cubrir ambos casos diciendo que un coeficiente de reflexión positivo es aquel para el cual la dirección del vector de campo normal al plano de incidencia (el vector eléctrico para la polarización s , o el vector magnético para la polarización p ) no cambia por el reflejo. (Pero se debe advertir al lector que algunos autores utilizan una convención diferente para los componentes p , con el resultado de que el cambio de fase indicado difiere en 180° del valor dado aquí.)
Con la convención de signos elegida, los avances de fase en la reflexión interna total, para las componentes s y p , vienen dados respectivamente por [8]
y
donde θ i es el ángulo de incidencia y n es el índice de refracción del medio interno (ópticamente más denso) en relación con el medio externo (ópticamente más raro). (Algunos autores, sin embargo, utilizan el índice de refracción recíproco, [9] de modo que sus expresiones para los cambios de fase sean diferentes de las anteriores).
El avance de fase del componente p con respecto al componente s viene dado por [10]
Esto se representa en negro en la Fig. 2, para ángulos de incidencia que exceden el ángulo crítico, para tres valores del índice de refracción. Se puede observar que un índice de refracción de 1,45 no es suficiente para dar una diferencia de fase de 45°, mientras que un índice de refracción de 1,5 es suficiente (por un margen estrecho) para dar una diferencia de fase de 45° en dos ángulos de incidencia: aproximadamente 50,2 ° y 53,3°.
Para θ i mayor que el ángulo crítico, los cambios de fase en la reflexión total se deducen de valores complejos de los coeficientes de reflexión. Para completar, la Fig. 2 también muestra los cambios de fase en la reflexión parcial , para θ i menor que el ángulo crítico. En el último caso, los coeficientes de reflexión para las componentes s y p son reales y se expresan convenientemente mediante la ley del seno de Fresnel [11]
y la ley tangente de Fresnel [12]
donde θ i es el ángulo de incidencia y θ t es el ángulo de refracción (con subíndice t para transmitido ), y el signo de este último resultado es una función de la convención descrita anteriormente. [13] (Ahora podemos ver una desventaja de esa convención, a saber, que los dos coeficientes tienen signos opuestos a medida que nos acercamos a la incidencia normal; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en la incidencia de pastoreo).
Según la ley del seno de Fresnel, r s es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (ya que θ t > θ i incidencia de densa a rara), dando un cambio de fase δ s de cero. Pero, según su ley de la tangente, r p es negativo para ángulos pequeños (es decir, incidencia casi normal) y cambia de signo en el ángulo de Brewster , donde θ i y θ t son complementarios. Por tanto, el desplazamiento de fase δ p es de 180° para θ i pequeño pero cambia a 0° en el ángulo de Brewster. Combinando la complementariedad con la ley de Snell se obtiene θi = arctan (1/ n ) ángulo de Brewster para incidencias de densas a raras. [Nota 2]
Esto completa la información necesaria para trazar δ s y δ p para todos los ángulos de incidencia en la Fig. 2, [8] en la que δ p está en rojo y δ s en azul. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ p (rojo) cae de 180° a 0°, y el ángulo crítico es donde tanto δ p como δ s (rojo y azul) comienzan a aumentar. de nuevo. A la izquierda del ángulo crítico está la región de reflexión parcial ; aquí ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0° o 180°) con magnitudes menores que 1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total ; allí ambos coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a 1.
En la Fig. 2, la diferencia de fase δ se calcula mediante una resta final; pero hay otras formas de expresarlo. El propio Fresnel, en 1823, [14] dio una fórmula para cos δ . Born y Wolf (1970, p. 50) derivan una expresión para ( δ /2) y encuentran su máximo analíticamente.
(Para derivaciones de las ecuaciones ( 1 ) a ( 4 ) anteriores, consulte Reflexión interna total , especialmente Derivación de onda evanescente y Cambios de fase ).
Augustin-Jean Fresnel llegó al estudio de la reflexión interna total a través de su investigación sobre la polarización. En 1811, François Arago descubrió que la luz polarizada aparentemente se "despolarizaba" de una manera dependiente de la orientación y del color cuando pasaba a través de una porción de cristal birrefringente: la luz emergente mostraba colores cuando se miraba a través de un analizador (segundo polarizador). La polarización cromática , como llegó a denominarse este fenómeno, fue investigada más a fondo en 1812 por Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot estableció que un caso estudiado por Arago, a saber, el cuarzo cortado perpendicularmente a su eje óptico , era en realidad una rotación gradual del plano de polarización con la distancia. [15] Continuó descubriendo que ciertos líquidos, incluida la trementina ( térébentina ), compartían esta propiedad (ver Rotación óptica ).
En 1816, Fresnel ofreció su primer intento de elaborar una teoría de la polarización cromática basada en ondas . Sin (todavía) invocar explícitamente ondas transversales, esta teoría trataba la luz como si estuviera formada por dos componentes perpendicularmente polarizados. [dieciséis]
En 1817, Fresnel notó que la luz polarizada en un plano parecía estar parcialmente despolarizada por reflexión interna total, si inicialmente se polarizaba en un ángulo agudo con respecto al plano de incidencia. [Nota 3] Al incluir la reflexión interna total en un experimento de polarización cromática, descubrió que la luz aparentemente despolarizada era una mezcla de componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de incidencia, y que la reflexión total introducía una diferencia de fase entre ellos. [17] La elección de un ángulo de incidencia apropiado (aún no especificado exactamente) dio como resultado una diferencia de fase de 1/8 de ciclo. Dos de estas reflexiones de las "caras paralelas" de "dos prismas acoplados " dieron una diferencia de fase de 1/4 de ciclo. En ese caso, si la luz estaba inicialmente polarizada a 45° con respecto al plano de incidencia y reflexión, parecía estar completamente despolarizada después de las dos reflexiones. Estos hallazgos se informaron en una memoria enviada y leída a la Academia Francesa de Ciencias en noviembre de 1817. [1]
En un "suplemento" fechado en enero de 1818, [3] Fresnel informó que la rotación óptica podía emularse pasando la luz polarizada a través de un par de "prismas acoplados", seguido de una lámina birrefringente ordinaria cortada paralela a su eje, con el eje en 45° con respecto al plano de reflexión de los prismas, seguido de un segundo par de prismas a 90° con respecto al primero. [18] Esta fue la primera evidencia experimental de una relación matemática entre la rotación óptica y la birrefringencia.
Las memorias de noviembre de 1817 [1] llevan la nota marginal sin fecha: "Desde entonces he sustituido estos dos prismas acoplados por un paralelepípedo de vidrio". Una referencia fechada a la forma paralelepípeda –la forma que ahora reconoceríamos como rombo de Fresnel– se encuentra en una memoria que Fresnel leyó en la Academia el 30 de marzo de 1818 y que posteriormente se perdió hasta 1846. [19] En esa memoria , [4] Fresnel informó que si la luz polarizada era completamente "despolarizada" por un rombo, sus propiedades no se modificaban más mediante un paso posterior a través de un medio ópticamente giratorio, ya fuera ese medio un cristal o un líquido o incluso su propio emulador; por ejemplo, la luz conservó su capacidad de ser repolarizada por un segundo rombo.
Como ingeniero de puentes y carreteras, y como defensor de la teoría ondulatoria de la luz, Fresnel todavía era un extraño al establishment de la física cuando presentó su paralelepípedo en marzo de 1818. Pero era cada vez más difícil ignorarlo. En abril de 1818 reclamó prioridad para las integrales de Fresnel . En julio presentó las grandes memorias sobre difracción que inmortalizaron su nombre en los libros de texto de física elemental. En 1819 se anunció el premio por las memorias sobre difracción, la publicación de las leyes de Fresnel-Arago y la presentación de la propuesta de Fresnel para instalar "lentes escalonadas" en los faros.
En 1821, Fresnel derivó fórmulas equivalentes a sus leyes del seno y la tangente ( ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), arriba ) modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que anteriormente se había llamado plano de polarización . [20] [Nota 4] Utilizando datos experimentales antiguos, confirmó rápidamente que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente desde el aire sobre el vidrio. o agua. [21] La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel expuso su madura teoría de la polarización cromática, introduciendo ondas transversales. [22] Los detalles de la derivación se dieron más tarde, en una memoria leída en la academia en enero de 1823. [2] La derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en la componente normal de la vibración. [23] (La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875. [24] )
Mientras tanto, en abril de 1822, Fresnel explicó las direcciones y polarizaciones de los rayos refractados en cristales birrefringentes de clase biaxial , una hazaña que se ganó la admiración de Pierre-Simon Laplace .
En una memoria sobre la birrefringencia inducida por tensión (ahora llamada fotoelasticidad ) leída en septiembre de 1822, [25] Fresnel informó sobre un experimento que involucraba una fila de prismas de vidrio con sus ángulos refractantes en direcciones alternas y con dos semiprismas en los extremos, haciendo todo el conjunto rectangular. Cuando los prismas orientados en la misma dirección se comprimían en un tornillo de banco, los objetos vistos a lo largo del conjunto parecían dobles. Al final de sus memorias propuso una variación del experimento, involucrando un rombo de Fresnel, con el fin de verificar que la rotación óptica es una forma de birrefringencia: predijo que si los prismas de vidrio comprimido fueran reemplazados por prismas de cuarzo monocristalinos (sin tensión) con el mismo sentido de rotación óptica y con sus ejes ópticos alineados a lo largo de la fila, un objeto visto mirando a lo largo del eje óptico común daría dos imágenes, que parecerían no polarizadas si se vieran solo a través de un analizador; pero si se vieran a través de un rombo de Fresnel, estarían polarizados a ±45° con respecto al plano de reflexión.
La confirmación de esta predicción se informó en una memoria leída en diciembre de 1822, [5] en la que Fresnel acuñó los términos polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica . [26] En el experimento, el rombo de Fresnel reveló que las dos imágenes estaban polarizadas circularmente en direcciones opuestas, y la separación de las imágenes mostró que las diferentes polarizaciones (circulares) se propagaban a diferentes velocidades. Para obtener una separación visible, Fresnel necesitaba sólo un prisma de 14°-152°-14° y dos semiprismas. Sin embargo, descubrió que la separación mejoraba si los semiprismas de vidrio se reemplazaban por semiprismas de cuarzo cuya dirección de rotación óptica fuera opuesta a la del prisma de 14°-152°-14°. [27]
Así, aunque ahora pensamos en el rombo de Fresnel principalmente como un dispositivo para convertir entre polarización lineal y circular, no fue hasta las memorias de diciembre de 1822 que el propio Fresnel pudo describirlo en esos términos.
En las mismas memorias, Fresnel explicó la rotación óptica señalando que la luz polarizada linealmente podría descomponerse en dos componentes polarizados circularmente que giran en direcciones opuestas. Si estos componentes se propagaran a velocidades ligeramente diferentes (como había demostrado con el cuarzo), entonces la diferencia de fase entre ellos (y, por tanto, la orientación de su resultante polarizada linealmente) variaría continuamente con la distancia. [28]
El concepto de polarización circular fue útil en las memorias de enero de 1823, [2] que contenían las derivaciones detalladas de las leyes del seno y la tangente: en esas mismas memorias, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, los coeficientes de reflexión resultantes eran complejos con magnitud unitaria. Al observar que la magnitud representaba la relación de amplitud como de costumbre, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis mediante un experimento. [29] La verificación involucrada
Este procedimiento era necesario porque, con la tecnología de la época, no se podían medir los cambios de fase s y p directamente, y no se podía medir un grado arbitrario de elipticalidad de la polarización, como el que podría ser causado por la diferencia entre las fases. turnos. Pero se pudo comprobar que la polarización era circular , porque el brillo de la luz era entonces insensible a la orientación del analizador.
Para vidrio con un índice de refracción de 1,51, Fresnel calculó que una diferencia de fase de 45° entre los dos coeficientes de reflexión (por lo tanto, una diferencia de 90° después de dos reflexiones) requería un ángulo de incidencia de 48°37' o 54°37'. Cortó un rombo en el último ángulo y descubrió que funcionaba como se esperaba. [31] Así se completó la especificación del rombo de Fresnel.
De manera similar, Fresnel calculó y verificó el ángulo de incidencia que daría una diferencia de fase de 90° después de tres reflexiones en el mismo ángulo y cuatro reflexiones en el mismo ángulo. En cada caso había dos soluciones, y en cada caso informó que el ángulo de incidencia mayor daba una polarización circular precisa (para una polarización lineal inicial a 45° con respecto al plano de reflexión). Para el caso de tres reflexiones, también probó el ángulo más pequeño, pero descubrió que daba cierta coloración debido a la proximidad del ángulo crítico y su ligera dependencia de la longitud de onda. (Compárese con la Fig. 2 anterior, que muestra que la diferencia de fase δ es más sensible al índice de refracción para ángulos de incidencia más pequeños).
Para mayor confianza, Fresnel predijo y verificó que cuatro reflexiones internas en total a 68°27' darían una polarización circular precisa si dos de las reflexiones tuvieran agua como medio externo mientras que las otras dos tuvieran aire, pero no si todas las superficies reflectantes fueran mojado o todo seco. [32]
En resumen, la invención del rombo no fue un acontecimiento único en la carrera de Fresnel, sino un proceso que abarcó gran parte de ella. Podría decirse que el cálculo del cambio de fase en la reflexión interna total marcó no sólo la finalización de su teoría del rombo, sino también la finalización esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel ).
El cálculo del desfase también marcó un hito en la aplicación de números complejos. Leonhard Euler había sido pionero en el uso de exponentes complejos en soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , en el entendido de que la parte real de la solución era la parte relevante. [33] Pero el tratamiento que hace Fresnel de la reflexión interna total parece haber sido la primera ocasión en la que se atribuyó un significado físico al argumento de un número complejo. Según Salomón Bochner ,
Pensamos que ésta fue la primera vez que números complejos o cualquier otro objeto matemático que no son "nada más que símbolos" fueron colocados en el centro de un contexto interpretativo de la "realidad", y es un hecho extraordinario que esta interpretación, aunque el primero de su tipo, resistió tan bien la verificación mediante experimentos y la posterior "maxwellización" de toda la teoría. En términos muy generales se puede decir que ésta fue la primera vez que la "naturaleza" fue abstraída de las matemáticas "puras", es decir, de una matemática que no había sido previamente abstraída de la naturaleza misma. [34]
