Retardo de grupo y retardo de fase

Retrasos experimentados a través de un sistema lineal invariante en el tiempo

En el procesamiento de señales , el retardo de grupo y el retardo de fase son funciones que describen de diferentes maneras los tiempos de retardo que experimentan los diversos componentes de frecuencia sinuoidal de una señal a medida que pasan a través de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) (como un micrófono , un cable coaxial , un amplificador , un altavoz , un sistema de comunicaciones , un cable Ethernet , un filtro digital o un filtro analógico ).

Desafortunadamente, estos retrasos a veces dependen de la frecuencia , ^[1] lo que significa que los diferentes componentes de frecuencia sinusoidal experimentan diferentes retrasos de tiempo. Como resultado, la forma de onda de la señal experimenta distorsión a medida que pasa a través del sistema. Esta distorsión puede causar problemas como baja fidelidad en el video analógico y el audio analógico , o una alta tasa de errores de bits en un flujo de bits digital.

Fondo

Componentes de frecuencia de una señal

El análisis de Fourier revela cómo las señales en el tiempo pueden expresarse alternativamente como la suma de componentes de frecuencia sinusoidal , cada uno basado en la función trigonométrica con una amplitud y fase fijas y sin principio ni fin. ${\displaystyle \sin(x)}$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo procesan cada componente sinusoidal independientemente; la propiedad de linealidad significa que satisfacen el principio de superposición .

Introducción

Las propiedades de retardo de grupo y retardo de fase de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) son funciones de la frecuencia, que dan el tiempo desde que un componente de frecuencia de una cantidad física que varía en el tiempo (por ejemplo, una señal de voltaje) aparece en la entrada del sistema LTI, hasta el tiempo en que una copia de ese mismo componente de frecuencia (quizás de un fenómeno físico diferente) aparece en la salida del sistema LTI.

Una respuesta de fase variable en función de la frecuencia, a partir de la cual se puede calcular el retardo de grupo y el retardo de fase, ocurre típicamente en dispositivos como micrófonos, amplificadores, altavoces, grabadoras magnéticas, auriculares, cables coaxiales y filtros antialiasing. ^[2] Todos los componentes de frecuencia de una señal sufren un retardo cuando pasan a través de dichos dispositivos o cuando se propagan a través del espacio o un medio, como el aire o el agua.

Mientras que la respuesta de fase describe el cambio de fase en unidades angulares (como grados o radianes ), el retardo de fase se expresa en unidades de tiempo y es igual al negativo del cambio de fase en cada frecuencia dividido por el valor de esa frecuencia. El retardo de grupo es la derivada negativa del cambio de fase con respecto a la frecuencia.

Retardo de fase

Un sistema o dispositivo lineal invariante en el tiempo tiene una propiedad de respuesta de fase y una propiedad de retardo de fase, donde una puede calcularse exactamente a partir de la otra. El retardo de fase mide directamente el retardo de tiempo del dispositivo o sistema de los componentes de frecuencia sinusoidal individuales . Si la función de retardo de fase en cualquier frecuencia dada, dentro de un rango de frecuencia de interés, tiene la misma constante de proporcionalidad entre la fase en una frecuencia seleccionada y la frecuencia seleccionada en sí, el sistema/dispositivo tendrá el ideal de una propiedad de retardo de fase plana, también conocida como fase lineal . ^[1] Dado que el retardo de fase es una función de la frecuencia que da el retardo de tiempo, una desviación de la planitud de su gráfico de función puede revelar diferencias de retardo de tiempo entre los diversos componentes de frecuencia sinusoidal de la señal, en cuyo caso esas diferencias contribuirán a la distorsión de la señal, que se manifiesta como la forma de onda de la señal de salida que es diferente de la de la señal de entrada.

La propiedad de retardo de fase en general no brinda información útil si la entrada del dispositivo es una señal modulada . Para ello, se debe utilizar el retardo de grupo.

Retraso de grupo

El retardo de grupo es una medida conveniente de la linealidad de la fase con respecto a la frecuencia en un sistema de modulación. ^{[3] [4]} Para una señal de modulación (señal de banda de paso), la información transportada por la señal se transporta exclusivamente en la envolvente de onda . Por lo tanto, el retardo de grupo opera solo con los componentes de frecuencia derivados de la envolvente.

Sistema de modulación básico

Figura 1: Dispositivos LTI internos y externos

El retardo de grupo de un dispositivo se puede calcular exactamente a partir de la respuesta de fase del dispositivo, pero no al revés. El caso de uso más simple para el retardo de grupo se ilustra en la Figura 1, que muestra un sistema de modulación conceptual , que es en sí mismo un sistema LTI con una salida de banda base que es idealmente una copia precisa de la entrada de señal de banda base. Este sistema en su conjunto se denomina aquí el sistema/dispositivo LTI externo, que contiene un sistema/dispositivo LTI interno (bloque rojo). Como suele ser el caso de un sistema de radio, el sistema LTI rojo interno de la Figura 1 puede representar dos sistemas LTI en cascada, por ejemplo, un amplificador que acciona una antena de transmisión en el extremo de envío y el otro una antena y un amplificador en el extremo de recepción.

Amplitud modulada

La modulación de amplitud crea la señal de banda de paso desplazando los componentes de frecuencia de banda base a un rango de frecuencia mucho más alto. Aunque las frecuencias son diferentes, la señal de banda de paso lleva la misma información que la señal de banda base. El demodulador hace lo inverso, desplazando las frecuencias de banda de paso hacia abajo hasta el rango de frecuencia de banda base original. Idealmente, la señal de salida (banda base) es una versión con retardo de tiempo de la señal de entrada (banda base) donde la forma de onda de la salida es idéntica a la de la entrada.

En la Figura 1, el retardo de fase del sistema externo es la métrica de rendimiento significativa. Para la modulación de amplitud, el retardo de grupo del dispositivo LTI rojo interno se convierte en el retardo de fase del dispositivo LTI externo . Si el retardo de grupo del dispositivo rojo interno es completamente plano en el rango de frecuencia de interés, el dispositivo externo tendrá el ideal de un retardo de fase que también es completamente plano, donde se elimina la contribución de la distorsión debido a la respuesta de fase del dispositivo LTI externo, determinada completamente por la respuesta de fase posiblemente diferente del dispositivo interno. En ese caso, el retardo de grupo del dispositivo rojo interno y el retardo de fase del dispositivo externo dan la misma cifra de retardo de tiempo para la señal en su conjunto, desde la entrada de banda base hasta la salida de banda base. Es importante señalar que es posible que el dispositivo interno (rojo) tenga un retardo de fase muy no plano (pero un retardo de grupo plano), mientras que el dispositivo externo tiene el ideal de un retardo de fase perfectamente plano. Esto es afortunado porque en el diseño de dispositivos LTI, un retardo de grupo plano es más fácil de lograr que un retardo de fase plano.

Modulación angular

En un sistema de modulación angular (como la modulación de frecuencia (FM) o la modulación de fase (PM)), la señal de banda de paso (FM o PM) aplicada a una entrada del sistema LTI se puede analizar como dos señales de banda de paso independientes: una señal de banda de paso AM con modulación de amplitud en fase (I) y una señal de banda de paso AM con modulación de amplitud en cuadratura (Q), donde su suma reconstruye exactamente la señal de banda de paso (FM o PM) con modulación angular original. Si bien la señal de banda de paso (FM/PM) no es modulación de amplitud y, por lo tanto, no tiene una envolvente externa aparente, las señales de banda de paso I y Q sí tienen envolventes de modulación de amplitud independientes. (Sin embargo, a diferencia de la modulación de amplitud regular, las envolventes I y Q no se parecen a la forma de onda de las señales de banda base, aunque el 100 por ciento de la señal de banda base está representada de manera compleja por sus envolventes). Entonces, para cada una de las señales de banda de paso I y Q, un retardo de grupo plano asegura que ni la envolvente de banda de paso I ni la envolvente de banda de paso Q tendrán distorsión de forma de onda, por lo que cuando la señal de banda de paso I y la señal de banda de paso Q se vuelven a sumar, la suma es la señal de banda de paso FM/PM original, que también permanecerá inalterada.

Teoría

Según la teoría de sistemas LTI (utilizada en teoría de control y procesamiento de señales digitales o analógicas ), la señal de salida de un sistema LTI se puede determinar convolucionando la respuesta al impulso en el dominio del tiempo del sistema LTI con la señal de entrada . El sistema lineal invariante en el tiempo § Transformadas de Fourier y Laplace expresa esta relación como: ${\displaystyle \displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\,X(s)\}\,,}$

donde denota la operación de convolución, y son las transformadas de Laplace de la entrada y la respuesta al impulso , respectivamente, s es la frecuencia compleja y es la transformada inversa de Laplace. se denomina función de transferencia del sistema LTI y, al igual que la respuesta al impulso , define completamente las características de entrada-salida del sistema LTI. Esta convolución se puede evaluar utilizando la expresión integral en el dominio del tiempo o (según la expresión más a la derecha) utilizando la multiplicación en el dominio de Laplace y luego aplicando la transformada inversa para volver al dominio del tiempo. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$

Respuesta del sistema LTI al paquete de ondas

Supongamos que dicho sistema es impulsado por un paquete de ondas formado por una sinusoide multiplicada por una envolvente de amplitud , por lo que la entrada se puede expresar en la siguiente forma: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

Supongamos también que la envolvente cambia lentamente en relación con la frecuencia de la sinusoide . Esta condición se puede expresar matemáticamente como: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

La aplicación de la ecuación de convolución anterior revelaría que la salida de dicho sistema LTI se aproxima muy bien ^{[ aclaración necesaria ]} como:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

Aquí está el retardo de grupo y es el retardo de fase, y se dan por las expresiones a continuación (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular ). La fase de la sinusoide, como lo indican las posiciones de los cruces por cero, se retrasa en el tiempo por una cantidad igual al retardo de fase, . La envolvente de la sinusoide se retrasa en el tiempo por el retardo de grupo, . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$

Definición matemática de retardo de grupo y retardo de fase

El retardo de grupo , , y el retardo de fase , , son (potencialmente) dependientes de la frecuencia ^[5] y se pueden calcular a partir del desplazamiento de fase desenrollado . El retardo de fase en cada frecuencia es igual al negativo del desplazamiento de fase en esa frecuencia dividido por el valor de esa frecuencia: ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

El retardo de grupo en cada frecuencia es igual al negativo de la pendiente (es decir, la derivada con respecto a la frecuencia) de la fase en esa frecuencia: ^[6]

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

En un sistema de fase lineal (con ganancia no inversora), tanto como son constantes (es decir, independientes de ) e iguales, y su valor común es igual al retardo general del sistema; y el desplazamiento de fase desenrollado del sistema (es decir , ) es negativo, y la magnitud aumenta linealmente con la frecuencia . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

Respuesta del sistema LTI a una sinusoide compleja

De manera más general, se puede demostrar que para un sistema LTI con función de transferencia impulsada por una sinusoide compleja de amplitud unitaria, ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

La salida es

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

donde esta el cambio de fase ${\displaystyle \displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

Ejemplo de filtro RC de paso alto o bajo de primer orden

La fase de un filtro pasa bajo de primer orden formado por un circuito RC con frecuencia de corte es: ^[7] ${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

De manera similar, la fase de un filtro paso alto RC de primer orden es:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

Al tomar la derivada negativa con respecto a este filtro de paso bajo o paso alto se obtiene el mismo retardo de grupo de: ^[8] ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

Para frecuencias significativamente inferiores a la frecuencia de corte, la respuesta de fase es aproximadamente lineal (el arctan para entradas pequeñas se puede aproximar como una línea), por lo que el retardo de grupo se simplifica a un valor constante de:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

De manera similar, justo en la frecuencia de corte, ${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

A medida que las frecuencias se hacen aún mayores, el retardo de grupo disminuye con el cuadrado inverso de la frecuencia y se acerca a cero a medida que la frecuencia se acerca al infinito.

Retraso de grupo negativo

• Figura 2: Circuito de filtro de retardo de grupo negativo
• Circuito con retardo de grupo negativo de = −RC = −1 ms para frecuencias mucho más bajas que 1 ⁄ RC = 1 kHz . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Simulación de CA LTspice de 1 Hz ( ≅ −1 ms ) a 10 kHz ( ≅ 0 ms ). ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Simulación transitoria de una onda de entrada (verde) cuya salida (roja) está adelantada 1 ms , pero con inestabilidad cuando la entrada se enciende y se apaga.

Los filtros tendrán un retardo de grupo negativo en rangos de frecuencia donde su respuesta de fase tiene pendiente positiva. Si una señal está limitada en banda dentro de una frecuencia máxima B, entonces es predecible en un pequeño grado (dentro de períodos de tiempo menores a 1 ⁄ B ). Un filtro cuyo retardo de grupo sea negativo en todo el rango de frecuencia de esa señal es capaz de usar la previsibilidad de la señal para proporcionar una ilusión de un avance temporal no causal. Sin embargo, si la señal contiene un evento impredecible (como un cambio abrupto que hace que el espectro de la señal exceda su límite de banda), entonces la ilusión se rompe. ^[9] Los circuitos con retardo de grupo negativo (por ejemplo, Figura 2) son posibles, aunque no se viola la causalidad . ^[10]

Los filtros de retardo de grupo negativo se pueden fabricar tanto en el dominio digital como en el analógico. Las aplicaciones incluyen la compensación del retardo inherente de los filtros de paso bajo, para crear filtros de fase cero , que se pueden utilizar para detectar rápidamente cambios en las tendencias de los datos de los sensores o en los precios de las acciones. ^[11]

Retraso de grupo en el audio

El retardo de grupo tiene cierta importancia en el campo del audio y especialmente en el campo de la reproducción de sonido. ^{[12] [13]} Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, en particular los altavoces y las redes de cruce de altavoces multivía , introducen un retardo de grupo en la señal de audio. ^{[2] [13]} Por lo tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, ^{[14] [15] [16]} especialmente si se supone que la cadena de audio proporciona una reproducción de alta fidelidad . La mejor tabla de umbrales de audibilidad ha sido proporcionada por Blauert y Laws. ^[17]

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz, un retardo de grupo de aproximadamente 1,6 ms es audible con auriculares en una condición no reverberante. ^[18] Otros resultados experimentales sugieren que cuando el retardo de grupo en el rango de frecuencia de 300 Hz a 1 kHz es inferior a 1,0 ms, es inaudible. ^[15]

La forma de onda de cualquier señal puede ser reproducida con exactitud por un sistema que tenga una respuesta de frecuencia plana y un retardo de grupo en todo el ancho de banda de la señal. Leach ^[19] introdujo el concepto de distorsión diferencial por retardo de tiempo, definida como la diferencia entre el retardo de fase y el retardo de grupo:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$.

Un sistema ideal debería presentar una distorsión de retardo de tiempo diferencial nula o insignificante. ^[19]

Es posible utilizar técnicas de procesamiento de señales digitales para corregir la distorsión de retardo de grupo que surge debido al uso de redes de cruce en sistemas de altavoces multivía. ^[20] Esto implica un modelado computacional considerable de los sistemas de altavoces para aplicar con éxito la ecualización de retardo, ^[21] utilizando el algoritmo de diseño de filtro de ondulación equitativa FIR de Parks-McClellan . ^{[1] [4] [22] [23]}

Retardo de grupo en la óptica

El retardo de grupo es importante en física y, en particular, en óptica .

En una fibra óptica , el retardo de grupo es el tiempo de tránsito necesario para que la potencia óptica , que viaja a la velocidad de grupo de un modo determinado , recorra una distancia determinada. Para fines de medición de la dispersión de la fibra óptica , la cantidad de interés es el retardo de grupo por unidad de longitud, que es el recíproco de la velocidad de grupo de un modo particular. El retardo de grupo medido de una señal a través de una fibra óptica exhibe una dependencia de la longitud de onda debido a los diversos mecanismos de dispersión presentes en la fibra.

A menudo es deseable que el retardo de grupo sea constante en todas las frecuencias; de lo contrario, se produce una distorsión temporal de la señal. Debido a que el retardo de grupo es , se deduce que se puede lograr un retardo de grupo constante si la función de transferencia del dispositivo o medio tiene una respuesta de fase lineal (es decir, donde el retardo de grupo es constante). El grado de no linealidad de la fase indica la desviación del retardo de grupo con respecto a un valor constante. ${\textstyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=\phi (0)-\tau _{g}\omega }$ ${\displaystyle \tau _{g}}$

El retardo de grupo diferencial es la diferencia en el tiempo de propagación entre las polarizaciones de los dos modos propios X e Y. Consideremos dos modos propios que son los estados de polarización lineal de 0° y 90° . Si el estado de polarización de la señal de entrada es el estado lineal a 45° entre los dos modos propios, la señal de entrada se divide equitativamente entre los dos modos propios. La potencia de la señal transmitida E _{T ,total} es la combinación de las señales transmitidas de ambos modos x e y .

${\displaystyle E_{T}=(E_{i,x}\cdot t_{x})^{2}+(E_{i,y}\cdot t_{y})^{2}\,}$

El retardo de grupo diferencial D _t se define como la diferencia en el tiempo de propagación entre los modos propios: D _t  = | t _{t , x}  −  t _{t , y} |.

Retardo de tiempo real

Se dice que un aparato de transmisión tiene un retardo de tiempo real (TTD) si el retardo de tiempo es independiente de la frecuencia de la señal eléctrica. ^{[24] [25]} El TTD permite un amplio ancho de banda de señal instantánea prácticamente sin distorsión de señal, como ensanchamiento de pulso durante el funcionamiento pulsado.

El TTD es una característica importante de las líneas de transmisión sin pérdidas y con pérdidas bajas y sin dispersión . Las ecuaciones de Telegrapher § La transmisión sin pérdidas revela que las señales se propagan a través de ellas a una velocidad de para una inductancia distribuida L y una capacitancia C . Por lo tanto, el retardo de propagación de cualquier señal a través de la línea simplemente es igual a la longitud de la línea dividida por esta velocidad. ${\displaystyle 1/{\sqrt {LC}}}$

Retardo de grupo a partir de polinomios de funciones de transferencia

Si una función de transferencia o Sij de un parámetro de dispersión , está en forma de transformada de Laplace polinómica , entonces la definición matemática para el retardo de grupo anterior puede resolverse analíticamente en forma cerrada. Una función de transferencia polinómica puede tomarse a lo largo del eje y definirse como . puede determinarse a partir de , y luego el retardo de grupo puede determinarse resolviendo para . ${\displaystyle P(S)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle -d\phi (\omega )|/d\omega }$

para determinar a partir de , utilice la definición de . Dado que siempre es real y siempre es imaginario, puede redefinirse como donde par e impar se refieren a los polinomios que contienen solo los coeficientes de orden par o impar respectivamente. El en el numerador simplemente convierte el numerador imaginario en un valor real, ya que por sí mismo es puramente imaginario. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(P(j\omega )_{imag}/P(j\omega )_{real})}$ ${\displaystyle j^{2N}}$ ${\displaystyle j^{2N+1}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(-jP(j\omega )_{odd}/P(j\omega )_{even})}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dtan^{-1}(f(x))}{dx}}={\frac {df(x)/dx}{1+f(x)^{2}}}\\&f(x)={\frac {-jP(j\omega )_{odd}}{P(j\omega )_{even}}}\\&{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {P(j\omega )_{even}{\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}--jP(j\omega )_{odd}{\frac {d(-jP(j\omega )_{even})}{dx}}}{P(j\omega )_{even}^{2}}}\end{aligned}}}$

Las expresiones anteriores contienen cuatro términos para calcular:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Se=P(j\omega )_{even}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(j\omega )^{2k}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(-1)^{k}(\omega )^{2k}\\So=P(j\omega )_{odd}&=&-j\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\De={\frac {d(P(j\omega )_{even})}{dx}}&=&-j\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\Do={\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-2}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-2}\\\\{\frac {df(x)}{dx}}&=&{\frac {SeDo-SoDe}{Se^{2}}}\end{array}}}$

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para determinar el retraso de grupo del polinomio en forma cerrada, que se muestra a continuación después de que las ecuaciones se han reducido a una forma simplificada. ${\displaystyle P(S)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(So*De+Se*Do)}{(Se^{2}+So^{2})}}{\text{ sec}}}$

Razón polinómica

Una relación polinomial de la forma , como la que se encuentra típicamente en la definición de diseños de filtros , puede tener el retardo de grupo determinado aprovechando la relación de fase, . ${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$ ${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

Ejemplo de filtro simple

A continuación se muestra una función de transferencia de filtro Legendre de cuatro polos utilizada en el ejemplo de filtro Legendre .

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

El retraso del grupo numerador por inspección es cero, por lo que solo es necesario determinar el retraso del grupo denominador.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

Evaluando en = 1 rad/seg: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

El procedimiento de cálculo del retardo de grupo y los resultados se pueden confirmar como correctos comparándolos con los resultados derivados de la derivada digital del ángulo de fase, , utilizando un delta pequeño de +/-1,e-04 rad/seg. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \Delta \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Dado que el retraso de grupo calculado por la derivada digital utilizando un delta pequeño tiene una precisión de 7 dígitos en comparación con el cálculo analítico preciso, se confirma que el procedimiento de cálculo del retraso de grupo y los resultados son correctos.

Desviación de la fase lineal

Desviación de la fase lineal , , a veces denominada simplemente "desviación de fase", es la diferencia entre la respuesta de fase, , y la porción lineal de la respuesta de fase , ^[26] y es una medida útil para determinar la linealidad de . ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{L}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$

Un método conveniente para medir es tomar la regresión lineal simple de la muestra en un rango de frecuencia de interés y restarla del valor real . Se esperaría que el de una respuesta de fase lineal ideal tuviera un valor de 0 en todo el rango de frecuencia de interés (como la banda de paso de un filtro), mientras que el de una respuesta de fase aproximadamente lineal del mundo real puede desviarse de 0 en una pequeña cantidad finita en todo el rango de frecuencia de interés. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$

Ventaja sobre el retraso de grupo

Una ventaja de medir o calcular sobre medir o calcular el retardo de grupo, , es que siempre converge a 0 a medida que la fase se vuelve lineal, mientras que converge a una cantidad finita que puede no conocerse de antemano. Teniendo en cuenta esto, una función de optimización de fase lineal puede ejecutarse más fácilmente con un objetivo que con un objetivo cuando el valor de no necesariamente ya se conoce. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$ ${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$ ${\displaystyle constant}$

Véase también

• Medidas del sistema de audio
• Fase lineal
• Filtro Bessel : filtro de paso bajo con retardo de grupo lo más plano posible
• Filtro Legendre : de la sección de ejemplos
• Patrón de ojos
• Velocidad de grupo : "La velocidad de grupo de la luz en un medio es la inversa del retardo de grupo por unidad de longitud". ^[27]
• Velocidad de fase
• Paquete de ondas

Referencias

 Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C. Administración de Servicios Generales . Archivado desde el original el 22 de enero de 2022.

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Enlaces externos

• Discusión sobre el retardo de grupo en los altavoces
• Explicación y aplicaciones del retraso de grupo
• "Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio", Julius O. Smith III, (edición de septiembre de 2007).