Filtro "L" óptimo

Comparación de la magnitud del filtro entre los filtros tipo 1 de Butterworth, Legendre y Chebyshev

El filtro Optimum "L" (también conocido como filtro Legendre–Papoulis ) fue propuesto por Athanasios Papoulis en 1958. Tiene la tasa de caída máxima para un orden de filtro dado mientras mantiene una respuesta de frecuencia monótona . Proporciona un compromiso entre el filtro Butterworth , que es monótono pero tiene una caída más lenta, y el filtro Chebyshev , que tiene una caída más rápida pero tiene ondulación en la banda de paso o en la banda de rechazo . El diseño del filtro se basa en polinomios de Legendre , que es la razón de su nombre alternativo y de la "L" en Optimum "L".

Sintetizando los polinomios característicos

La solución a la síntesis polinomial característica del filtro L óptimo de orden N surge de la resolución del polinomio característico, , dadas las siguientes restricciones y definiciones. ^[1] ${\displaystyle L_{N}(\omega ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{N}(0)=0\\&L(1)=1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }\geq {\text{ 0 for 0 }}\leq \omega \leq 1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }{\biggr |}_{\omega =1}{\text{ is maximum}}\\\end{aligned}}}$

El caso de orden impar ^[2] y el caso de orden par ^[1] pueden resolverse utilizando polinomios de Legendre de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{N Odd:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})={\frac {2}{N+1}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}{\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&P_{i}(x){\text{ is the Legendre polynomial of the first kind of order i}}\\&k={\frac {N-1}{2}}\\&a_{i}={\frac {2i+1}{\sqrt {2(k+1)}}}\\&\\&\\&{\text{N Even:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&k={\frac {N-2}{2}}\\&a_{i}={\begin{cases}{\frac {2i+1}{\sqrt {(k+2)(k+1)}}},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}k{\text{ is odd OR }}i{\text{ is even and }}k{\text{ is even}}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}$

Respuesta de frecuencia y función de transferencia

La magnitud de la frecuencia de magnitud se crea utilizando la siguiente fórmula. Dado que la función característica "L" óptima ya está en forma cuadrada, no se la debe elevar al cuadrado nuevamente como se hace para otros tipos de filtros, como los filtros Chebyshev y los filtros Butterworth .

${\displaystyle {\begin{aligned}&T(\omega )={\sqrt {\frac {1}{1+\epsilon ^{2}L_{N}(\omega ^{2})}}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.0103}}\\\end{aligned}}}$

Para obtener la función de transferencia, , haga que todos los coeficientes sean positivos para tener en cuenta el eje de frecuencia y luego use los polos del semiplano izquierdo para construir . Tenga en cuenta que es +1 para N par y -1 para N impar (consulte la tabla a continuación). El signo de debe factorizarse en las ecuaciones para las siguientes. ^{[3] [4]} ${\displaystyle T(j\omega )}$ ${\displaystyle L_{N}(\omega ^{2})}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle T(j\omega )}$ ${\displaystyle L_{N}((j\omega )^{2})}$ ${\displaystyle L_{N}(\omega ^{2})}$ ${\displaystyle L_{N}((j\omega )^{2})}$ ${\displaystyle T(j\omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&T(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{a+\epsilon ^{2}L_{N}((j\omega )^{2})}}}{\bigg |}_{\text{Left half plane}}\\&{\text{Where:}}\\&a={\begin{cases}1,&{\text{if }}N{\text{ is even}}\\-1,&{\text{if }}N{\text{ is odd}}\end{cases}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.010}}\\\end{aligned}}}$

La restricción del "Semiplano izquierdo" se refiere a encontrar las raíces en todos los polinomios contenidos entre corchetes, seleccionar solo las raíces en el semiplano izquierdo y recrear los polinomios a partir de esas raíces.

Ejemplo: Función de transferencia de cuarto orden

N = 4 (cuarto orden), atenuación de banda de paso = -3,010 a 1 r/s.

Un filtro de cuarto orden tiene un valor para k de 1, que es impar, por lo que la suma utiliza solo valores impares de i para y , que incluye solo el término i = 1 en la suma. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$

La función de transferencia, , puede derivarse de la siguiente manera: ${\displaystyle T_{4}(j\omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {N-2}{2}}=1{\text{ (}}k{\text{ is odd)}}\\&a_{1}={\frac {2(1)+1}{\sqrt {((1)+2)((1)+1)}}}=1.2247449\\&P_{1}(x)=x\\&(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}=(x+1){\bigr (}1.2247449(x){\bigr )}^{2}=1.5x^{3}+1.5x^{2}\\&L_{4}(x^{2})=\int _{-1}^{2x^{2}-1}1.5x^{3}+1.5x^{2}{\text{ }}dx=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(x^{2})=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(j\omega ^{2})=6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4}\\&echo={\sqrt {\epsilon ^{3.0103/10}-1}}=1\\&T_{4}(j\omega )={\bigg [}{\frac {1}{1+1^{2}(6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4})}}{\bigg ]}_{\text{Left Half Plane}}\\&\\&T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}\end{aligned}}}$

Una rápida comprobación de cordura calcula un valor de -3,0103 dB, que es lo esperado. ${\displaystyle T_{4}(j)}$

Tabla de los primeros 10 polinomios característicos

La tabla se calcula a partir de las ecuaciones anteriores para ${\displaystyle L_{N}(\omega ^{2})}$

Véase también

• Filtro de Bessel
• Filtro Butterworth
• Filtro Chebyshev
• Filtro elíptico
• Polinomios de Legendre

Referencias

1. Fukada, Minoru (septiembre de 1959). "Filtros óptimos de órdenes pares con respuesta monótona". IRE Transactions on Circuit Theory . 6 (3): 277–281. doi :10.1109/TCT.1959.1086558 – vía IEEE Xplore.
2. Papoulis, Athanasios (marzo de 1958). "Filtros óptimos con respuesta monótona". Actas del IRE . 46 (3): 606–609. doi :10.1109/JRPROC.1958.286876 – vía IEEE Xplore.
3. Notas de la conferencia sobre diseño de filtros del Dr. Byron Bennett, 1985, Universidad Estatal de Montana, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Bozeman , Montana, EE. UU.
4. Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Teoría y diseño de filtros: activos y pasivos. Beaverton, Oegon, EE. UU.: Matrix Publishers, Inc., págs. 45-73. ISBN 978-0916460143.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

• Papoulis, Athanasios (1958). "Filtros óptimos con respuesta monótona". Proc. IRE . 46 (marzo): 606–609. doi :10.1109/JRPROC.1958.286876.
• Kuo, Franklin F. (1966). Análisis y síntesis de redes . Wiley. ISBN 0-471-51118-8.Segunda edición.
• Filtros “L” óptimos: polinomios, polos y elementos de circuitos, de C. Bond, 2004
• Notas sobre filtros “L” (óptimos) por C. Bond, 2011