Circunvolución

Integral expressing the amount of overlap of one function as it is shifted over another

Comparación visual de convolución, correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función y suponiendo que la altura de es 1.0, el valor del resultado en 5 puntos diferentes se indica mediante el área sombreada debajo de cada punto. La simetría de es la razón y son idénticos en este ejemplo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle g*f}$

En matemáticas (en particular, análisis funcional ), la convolución es una operación matemática sobre dos funciones ( y ) que produce una tercera función ( ). El término convolución se refiere tanto a la función resultante como al proceso de calcularla. Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja sobre el eje y y se desplaza. La integral se evalúa para todos los valores de desplazamiento, produciendo la función de convolución. La elección de qué función se refleja y se desplaza antes de la integral no cambia el resultado integral (ver conmutatividad). Gráficamente, expresa cómo la "forma" de una función es modificada por la otra. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$

Algunas características de la convolución son similares a la correlación cruzada : para funciones de valores reales, de una variable continua o discreta, la convolución ( ) difiere de la correlación cruzada ( ) solo en que o se refleja sobre el eje y en la convolución; por lo tanto, es una correlación cruzada de y , o y . ^[A]  Para funciones de valores complejos, el operador de correlación cruzada es el adjunto del operador de convolución. ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(-x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

La convolución tiene aplicaciones que incluyen probabilidad , estadística , acústica , espectroscopia , procesamiento de señales y procesamiento de imágenes , geofísica , ingeniería , física , visión artificial y ecuaciones diferenciales . ^[1]

La convolución puede definirse para funciones en el espacio euclidiano y otros grupos (como estructuras algebraicas ). ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, las funciones periódicas , como la transformada de Fourier de tiempo discreto , pueden definirse en un círculo y convolucionarse mediante convolución periódica . (Véase la fila 18 en DTFT § Propiedades ). Una convolución discreta puede definirse para funciones en el conjunto de números enteros .

Las generalizaciones de convolución tienen aplicaciones en el campo del análisis numérico y el álgebra lineal numérica , y en el diseño e implementación de filtros de respuesta de impulso finito en el procesamiento de señales. ^{[ cita requerida ]}

El cálculo de la inversa de la operación de convolución se conoce como deconvolución .

Definición

La convolución de y se escribe , denotando al operador con el símbolo . ^[B] Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja sobre el eje y y se desplaza. Como tal, es un tipo particular de transformación integral : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Una definición equivalente es (ver conmutatividad):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

Si bien el símbolo se utiliza arriba, no necesita representar el dominio del tiempo. En cada , la fórmula de convolución se puede describir como el área bajo la función ponderada por la función desplazada por la cantidad . A medida que cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada ; Si es un valor positivo, entonces es igual a que se desliza o se desplaza a lo largo del eje hacia la derecha (hacia ) por la cantidad de , mientras que si es un valor negativo, entonces es igual a que se desliza o se desplaza hacia la izquierda (hacia ) por la cantidad de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle f(\tau )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle |t|}$

Para las funciones admitidas únicamente en (es decir, cero para argumentos negativos), los límites de integración se pueden truncar, lo que da como resultado: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

Para la formulación multidimensional de la convolución, consulte el dominio de definición (a continuación).

Notación

Una convención de notación de ingeniería común es: ^[2]

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}$

que debe interpretarse con cuidado para evitar confusiones. Por ejemplo, es equivalente a , pero en realidad es equivalente a . ^[3] ${\displaystyle f(t)*g(t-t_{0})}$ ${\displaystyle (f*g)(t-t_{0})}$ ${\displaystyle f(t-t_{0})*g(t-t_{0})}$ ${\displaystyle (f*g)(t-2t_{0})}$

Relaciones con otras transformaciones

Dadas dos funciones y con transformadas de Laplace bilaterales (transformada de Laplace de dos lados) ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u}$

y

${\displaystyle G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v}$

respectivamente, la operación de convolución se puede definir como la transformada de Laplace inversa del producto de y . ^{[4] [5]} Más precisamente, ${\displaystyle (f*g)(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}}$

Sea tal que ${\displaystyle t=u+v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t\end{aligned}}}$

Nótese que es la transformada de Laplace bilateral de . Se puede hacer una derivación similar utilizando la transformada de Laplace unilateral (transformada de Laplace de un solo lado). ${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$ ${\displaystyle (f*g)(t)}$

La operación de convolución también describe la salida (en términos de la entrada) de una clase importante de operaciones conocidas como operaciones lineales invariantes en el tiempo (LTI). Véase la teoría de sistemas LTI para una derivación de la convolución como resultado de las restricciones LTI. En términos de las transformadas de Fourier de la entrada y la salida de una operación LTI, no se crean nuevos componentes de frecuencia. Los existentes solo se modifican (amplitud y/o fase). En otras palabras, la transformada de salida es el producto puntual de la transformada de entrada con una tercera transformada (conocida como función de transferencia ). Véase el teorema de convolución para una derivación de esa propiedad de la convolución. A la inversa, la convolución puede derivarse como la transformada de Fourier inversa del producto puntual de dos transformadas de Fourier.

Explicación visual

Desarrollos históricos

Uno de los primeros usos de la integral de convolución apareció en la derivación del teorema de Taylor de D'Alembert en Recherches sur différents points importants du système du monde, publicado en 1754. ^[6]

Además, una expresión del tipo:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

es utilizado por Sylvestre François Lacroix en la página 505 de su libro titulado Tratado de las diferencias y las series , que es el último de los 3 volúmenes de la serie enciclopédica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, París, 1797-1800. ^[7] Poco después, las operaciones de convolución aparecen en las obras de Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson y otros. El término en sí no entró en uso generalizado hasta la década de 1950 o 1960. Antes de eso, a veces se conocía como Faltung (que significa plegado en alemán ), producto de composición , integral de superposición e integral de Carson . ^[8] Sin embargo, aparece ya en 1903, aunque la definición es bastante desconocida en usos más antiguos. ^{[9] [10]}

La operación:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

es un caso particular de productos de composición considerados por el matemático italiano Vito Volterra en 1913. ^[11]

Convolución circular

Cuando una función es periódica, con período , entonces para funciones, , tales que existe, la convolución también es periódica e idéntica a: ${\displaystyle g_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f*g_{T}}$

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

donde es una elección arbitraria. La suma se denomina suma periódica de la función . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Cuando es una suma periódica de otra función, , entonces se conoce como una convolución circular o cíclica de y . ${\displaystyle g_{T}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g_{T}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Y si la suma periódica anterior se reemplaza por , la operación se llama convolución periódica de y . ${\displaystyle f_{T}}$ ${\displaystyle f_{T}}$ ${\displaystyle g_{T}}$

Convolución discreta

Animación de convolución 2D discreta

Para funciones de valor complejo y definidas en el conjunto de números enteros, la convolución discreta de y viene dada por: ^[12] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

o equivalentemente (ver conmutatividad) por:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

La convolución de dos secuencias finitas se define extendiendo las secuencias a funciones finitas en el conjunto de números enteros. Cuando las secuencias son los coeficientes de dos polinomios , entonces los coeficientes del producto ordinario de los dos polinomios son la convolución de las dos secuencias originales. Esto se conoce como el producto de Cauchy de los coeficientes de las secuencias.

Por lo tanto, cuando g tiene un soporte finito en el conjunto (lo que representa, por ejemplo, una respuesta de impulso finita ), se puede utilizar una suma finita: ^[13] ${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

Convolución circular discreta

Cuando una función es periódica, con período entonces para funciones tales que existe, la convolución también es periódica e idéntica a : ${\displaystyle g_{_{N}}}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

${\displaystyle (f*g_{_{N}})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{_{N}}[n-m].}$

La suma de se llama suma periódica de la función. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f.}$

Si es una suma periódica de otra función, entonces se conoce como convolución circular de y ${\displaystyle g_{_{N}}}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Cuando las duraciones distintas de cero de ambos y están limitadas al intervalo se reducen a estas formas comunes : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,N-1],}$  ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

La notación para convolución cíclica denota convolución sobre el grupo cíclico de números enteros módulo N. ${\displaystyle f*_{N}g}$

La convolución circular surge con mayor frecuencia en el contexto de la convolución rápida con un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Algoritmos de convolución rápida

En muchas situaciones, las convoluciones discretas se pueden convertir en convoluciones circulares, de modo que se puedan utilizar transformaciones rápidas con una propiedad de convolución para implementar el cálculo. Por ejemplo, la convolución de secuencias de dígitos es la operación principal en la multiplicación de números de varios dígitos, que por lo tanto se puede implementar de manera eficiente con técnicas de transformación (Knuth 1997, §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003, §8.2).

La ecuación 1 requiere N operaciones aritméticas por valor de salida y N ² operaciones para N salidas. Esto se puede reducir significativamente con cualquiera de varios algoritmos rápidos. El procesamiento de señales digitales y otras aplicaciones suelen utilizar algoritmos de convolución rápidos para reducir el coste de la convolución a una complejidad de O( N log N ).

Los algoritmos de convolución rápida más comunes utilizan algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) a través del teorema de convolución circular . Específicamente, la convolución circular de dos secuencias de longitud finita se encuentra tomando una FFT de cada secuencia, multiplicando puntualmente y luego realizando una FFT inversa. Las convoluciones del tipo definido anteriormente se implementan luego de manera eficiente utilizando esa técnica junto con la extensión cero y/o descartando partes de la salida. Otros algoritmos de convolución rápida, como el algoritmo de Schönhage-Strassen o la transformada de Mersenne, ^[14] utilizan transformadas rápidas de Fourier en otros anillos . El método de Winograd se utiliza como una alternativa a la FFT. ^[15] Acelera significativamente la convolución 1D, ^[16] 2D, ^[17] y 3D ^[18] .

Si una secuencia es mucho más larga que la otra, la extensión cero de la secuencia más corta y la convolución circular rápida no es el método computacionalmente más eficiente disponible. ^[19] En cambio, descomponer la secuencia más larga en bloques y convolucionar cada bloque permite algoritmos más rápidos como el método de superposición-guardado y el método de superposición-adición . ^[20] Un método de convolución híbrido que combina algoritmos de bloque y FIR permite una latencia de entrada-salida cero que es útil para cálculos de convolución en tiempo real. ^[21]

Dominio de definición

La convolución de dos funciones de valor complejo en R ^d es en sí misma una función de valor complejo en R ^d , definida por:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

y está bien definida sólo si f y g decaen lo suficientemente rápido en el infinito para que exista la integral. Las condiciones para la existencia de la convolución pueden ser complicadas, ya que una explosión en g en el infinito puede compensarse fácilmente con un decaimiento suficientemente rápido en f . La cuestión de la existencia puede implicar, por tanto, diferentes condiciones en f y g :

Funciones compatibles de forma compacta

Si f y g son funciones continuas con soporte compacto , entonces existe su convolución, que también tiene soporte compacto y es continua (Hörmander 1983, Capítulo 1). En términos más generales, si una de las funciones (por ejemplo, f ) tiene soporte compacto y la otra es localmente integrable , entonces la convolución f ∗ g está bien definida y es continua.

La convolución de f y g también está bien definida cuando ambas funciones son integrables localmente cuadradas en R y están soportadas en un intervalo de la forma [ a , +∞) (o ambas están soportadas en [−∞, a ] ).

Funciones integrables

La convolución de f y g existe si f y g son ambas funciones integrables de Lebesgue en L ¹ ( R ^d ) , y en este caso f ∗ g también es integrable (Stein y Weiss 1971, Teorema 1.3). Esto es una consecuencia del teorema de Tonelli . Esto también es cierto para funciones en L ¹ , bajo la convolución discreta, o más generalmente para la convolución en cualquier grupo.

De la misma manera, si f ∈ L ¹ ( R ^d ) y   g ∈ L ^p ( R ^d ) donde 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces   f * g ∈ L ^p ( R ^d ), y

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

En el caso particular p = 1 , esto demuestra que L ¹ es un álgebra de Banach bajo la convolución (y la igualdad de los dos lados se cumple si f y g son no negativos en casi todas partes).

En términos más generales, la desigualdad de Young implica que la convolución es una función bilineal continua entre espacios L ^p adecuados . Específicamente, si 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ satisfacen:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

entonces

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},}$

de modo que la convolución es una aplicación bilineal continua de L ^p × L ^q a L ^r . La desigualdad de Young para la convolución también es verdadera en otros contextos (grupo de círculos, convolución en Z ). La desigualdad anterior no es nítida en la línea real: cuando 1 < p , q , r < ∞ , existe una constante B _{p , q} < 1 tal que:

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.}$

El valor óptimo de B _{p , q} fue descubierto en 1975 ^[22] e independientemente en 1976, ^[23] véase desigualdad de Brascamp-Lieb .

Una estimación más fuerte es verdadera siempre que 1 < p , q , r < ∞ :

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

donde es la norma débil L q . La convolución también define una función continua bilineal para , debido a la desigualdad débil de Young: ^[24] ${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$ ${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

Funciones de desintegración rápida

Además de las funciones con soporte compacto y las funciones integrables, también se pueden convolucionar las funciones que tienen un decaimiento suficientemente rápido en el infinito. Una característica importante de la convolución es que si f y g decaen rápidamente, entonces f ∗ g también decae rápidamente. En particular, si f y g son funciones que decrecen rápidamente , entonces también lo es la convolución f ∗ g . Combinado con el hecho de que la convolución conmuta con la diferenciación (ver #Propiedades), se deduce que la clase de funciones de Schwartz está cerrada bajo convolución (Stein & Weiss 1971, Teorema 3.3).

Distribuciones

Si f es una función suave que está soportada de forma compacta y g es una distribución, entonces f ∗ g es una función suave definida por

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).}$

De manera más general, es posible extender la definición de la convolución de una manera única con la misma f anterior, de modo que la ley asociativa ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }$

sigue siendo válida en el caso en que f es una distribución y g una distribución con soporte compacto (Hörmander 1983, §4.2).

Medidas

La convolución de dos medidas de Borel cualesquiera μ y ν de variación acotada es la medida definida por (Rudin 1962) ${\displaystyle \mu *\nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}$

En particular,

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}$

donde es un conjunto medible y es la función indicadora de . ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Esto concuerda con la convolución definida anteriormente cuando μ y ν se consideran distribuciones, así como con la convolución de funciones L ¹ cuando μ y ν son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue.

La convolución de medidas también satisface la siguiente versión de la desigualdad de Young

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

donde la norma es la variación total de una medida. Debido a que el espacio de medidas de variación acotada es un espacio de Banach , la convolución de medidas se puede tratar con métodos estándar de análisis funcional que pueden no ser aplicables para la convolución de distribuciones.

Propiedades

Propiedades algebraicas

La convolución define un producto en el espacio lineal de funciones integrables. Este producto satisface las siguientes propiedades algebraicas, que formalmente significan que el espacio de funciones integrables con el producto dado por la convolución es un álgebra asociativa conmutativa sin identidad (Strichartz 1994, §3.3). Otros espacios lineales de funciones, como el espacio de funciones continuas de soporte compacto, son cerrados bajo la convolución y, por lo tanto, también forman álgebras asociativas conmutativas.

Conmutatividad

$${\displaystyle f*g=g*f}$$Demostración: Por definición: Cambiando la variable de integración al resultado se sigue. $${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle u=t-\tau }$

Asociatividad

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$Demostración: Esto se deduce del uso del teorema de Fubini (es decir, las integrales dobles pueden evaluarse como integrales iteradas en cualquier orden).

Distributividad

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$Demostración: Esto se deduce de la linealidad de la integral.

Asociatividad con multiplicación escalar

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$para cualquier número real (o complejo) . ${\displaystyle a}$

Identidad multiplicativa

Ningún álgebra de funciones posee una identidad para la convolución. La falta de identidad no suele ser un inconveniente importante, ya que la mayoría de las colecciones de funciones en las que se realiza la convolución pueden convolucionarse con una distribución delta (un impulso unitario, centrado en cero) o, como mínimo (como es el caso de L ¹ ) admiten aproximaciones a la identidad . Sin embargo, el espacio lineal de distribuciones con soporte compacto admite una identidad bajo la convolución. En concreto, donde δ es la distribución delta. $${\displaystyle f*\delta =f}$$

Elemento inverso

Algunas distribuciones S tienen un elemento inverso S ⁻¹ para la convolución que luego debe satisfacer, a partir de lo cual se puede obtener una fórmula explícita para S ^{−1 .} $${\displaystyle S^{-1}*S=\delta }$$

El conjunto de distribuciones invertibles forma un grupo abeliano bajo la convolución.

Conjugación compleja

$${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$$

Inversión del tiempo

Si     entonces   ${\displaystyle q(t)=r(t)*s(t),}$ ${\displaystyle q(-t)=r(-t)*s(-t).}$

Prueba (usando el teorema de convolución ):

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}$

${\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}$

Relación con la diferenciación

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$Prueba:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}$

Relación con la integración

Si y entonces ${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$ ${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$ $${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}$$

Integración

Si f y g son funciones integrables, entonces la integral de su convolución en todo el espacio se obtiene simplemente como el producto de sus integrales: ^[25]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}$

Esto se desprende del teorema de Fubini . El mismo resultado se obtiene si se supone que f y g son funciones mensurables no negativas, según el teorema de Tonelli .

Diferenciación

En el caso de una variable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

donde es la derivada . De manera más general, en el caso de funciones de varias variables, se cumple una fórmula análoga con la derivada parcial : ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

Una consecuencia particular de esto es que la convolución puede verse como una operación de "suavizado": la convolución de f y g es diferenciable tantas veces como f y g lo sean en total.

Estas identidades se cumplen, por ejemplo, bajo la condición de que f y g sean absolutamente integrables y al menos una de ellas tenga una derivada débil absolutamente integrable (L ¹ ), como consecuencia de la desigualdad de convolución de Young . Por ejemplo, cuando f es continuamente diferenciable con soporte compacto y g es una función arbitraria localmente integrable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

Estas identidades también se cumplen de manera mucho más amplia en el sentido de distribuciones templadas si una de f o g es una distribución templada de rápida disminución , una distribución templada con soporte compacto o una función de Schwartz y la otra es una distribución templada. Por otro lado, dos funciones integrables positivas e infinitamente diferenciables pueden tener una convolución continua en ninguna parte.

En el caso discreto, el operador de diferencia D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) satisface una relación análoga:

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

Teorema de convolución

El teorema de convolución establece que ^[26]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

donde denota la transformada de Fourier de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ ${\displaystyle f}$

Convolución en otros tipos de transformaciones

Versiones de este teorema también son válidas para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace de dos caras , la transformada Z y la transformada de Mellin .

Convolución en matrices

Si es la matriz de transformada de Fourier , entonces ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$,

donde es el producto de división de caras , ^{[27] [28] [29] [30] [31]} denota el producto de Kronecker , denota el producto de Hadamard (este resultado es una evolución de las propiedades del bosquejo de conteo ^[32] ). ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Esto se puede generalizar para matrices apropiadas : ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)}$

de las propiedades del producto que parte la cara .

Equivariancia traslacional

La convolución conmuta con las traslaciones, lo que significa que

${\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}$

donde τ _x f es la traslación de la función f por x definida por

${\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}$

Si f es una función de Schwartz , entonces τ _x f es la convolución con una función delta de Dirac trasladada τ _x f = f ∗ τ _x δ . Por lo tanto, la invariancia de la traslación de la convolución de las funciones de Schwartz es una consecuencia de la asociatividad de la convolución.

Además, en determinadas condiciones, la convolución es la operación de traducción invariante más general. En términos informales, se cumple lo siguiente:

Supóngase que S es un operador lineal acotado que actúa sobre funciones que conmutan con traslaciones: S ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) para todo x . Entonces S se da como convolución con una función (o distribución) g _S ; es decir Sf = g _S ∗ f .

Por lo tanto, algunas operaciones invariantes de traslación pueden representarse como convolución. Las convoluciones desempeñan un papel importante en el estudio de sistemas invariantes en el tiempo , y especialmente en la teoría de sistemas LTI . La función representativa g _S es la respuesta al impulso de la transformación S .

Una versión más precisa del teorema citado anteriormente requiere especificar la clase de funciones en las que se define la convolución, y también requiere suponer además que S debe ser un operador lineal continuo con respecto a la topología apropiada . Se sabe, por ejemplo, que todo operador lineal continuo invariante de traslación continua sobre L ^{1 es la convolución con una} medida de Borel finita . De manera más general, todo operador lineal continuo invariante de traslación continua sobre L ^p para 1 ≤ p < ∞ es la convolución con una distribución templada cuya transformada de Fourier está acotada. Es decir, todos están dados por multiplicadores de Fourier acotados .

Convoluciones en grupos

Si G es un grupo adecuado dotado de una medida λ, y si f y g son funciones integrables reales o complejas en G , entonces podemos definir su convolución por

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

En general, no es conmutativa. En casos típicos de interés, G es un grupo topológico localmente compacto de Hausdorff y λ es una medida de Haar (izquierda) . En ese caso, a menos que G sea unimodular , la convolución definida de esta manera no es la misma que . La preferencia de una sobre la otra se realiza de modo que la convolución con una función fija g conmute con la traslación izquierda en el grupo: ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Además, la convención también es necesaria para mantener la coherencia con la definición de la convolución de medidas que se da a continuación. Sin embargo, con una medida de Haar derecha en lugar de izquierda, se prefiere la última integral a la primera.

En los grupos abelianos localmente compactos , se cumple una versión del teorema de convolución : la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. El grupo circular T con la medida de Lebesgue es un ejemplo inmediato. Para una g fija en L ¹ ( T ), tenemos el siguiente operador familiar que actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( T ):

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

El operador T es compacto . Un cálculo directo muestra que su adjunto T* es convolución con

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

Por la propiedad de conmutatividad citada anteriormente, T es normal : T * T = TT * . Además, T conmuta con los operadores de traslación. Considere la familia S de operadores que consiste en todas esas convoluciones y los operadores de traslación. Entonces S es una familia conmutativa de operadores normales. Según la teoría espectral , existe una base ortonormal { h _k } que diagonaliza simultáneamente a S . Esto caracteriza las convoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

que son precisamente los caracteres de T . Cada convolución es un operador de multiplicación compacto en esta base. Esto puede verse como una versión del teorema de convolución discutido anteriormente.

Un ejemplo discreto es un grupo cíclico finito de orden n . Los operadores de convolución se representan aquí mediante matrices circulantes y se pueden diagonalizar mediante la transformada de Fourier discreta .

Un resultado similar se aplica a los grupos compactos (no necesariamente abelianos): los coeficientes matriciales de representaciones unitarias de dimensión finita forman una base ortonormal en L ² según el teorema de Peter-Weyl , y un análogo del teorema de convolución sigue siendo válido, junto con muchos otros aspectos del análisis armónico que dependen de la transformada de Fourier.

Convolución de medidas

Sea G un grupo topológico (escrito multiplicativamente). Si μ y ν son medidas de Borel finitas en G , entonces su convolución μ ∗ ν se define como la medida de empuje hacia delante de la acción del grupo y se puede escribir como

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

para cada subconjunto medible E de G . La convolución es también una medida finita, cuya variación total satisface

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

En el caso en que G es localmente compacto con medida de Haar (izquierda) λ, y μ y ν son absolutamente continuos con respecto a λ, de modo que cada uno tiene una función de densidad , entonces la convolución μ∗ν también es absolutamente continua, y su función de densidad es simplemente la convolución de las dos funciones de densidad separadas.

Si μ y ν son medidas de probabilidad en el grupo topológico ( R ,+), entonces la convolución μ ∗ ν es la distribución de probabilidad de la suma X + Y de dos variables aleatorias independientes X e Y cuyas distribuciones respectivas son μ y ν.

Convolución infimal

En el análisis convexo , la convolución infimal de funciones convexas propias (no idénticas ) en se define por: ^[33] Se puede demostrar que la convolución infimal de funciones convexas es convexa. Además, satisface una identidad análoga a la de la transformada de Fourier de una convolución tradicional, con el papel de la transformada de Fourier desempeñado en su lugar por la transformada de Legendre : Tenemos: ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.}$$ $${\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).}$$ $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}$$

Biálgebras

Sea ( X , Δ, ∇, ε , η ) una biálgebra con comultiplicación Δ, multiplicación ∇, unidad η y counit ε . La convolución es un producto definido en el álgebra de endomorfismos End( X ) de la siguiente manera. Sean φ , ψ ∈ End( X ), es decir, φ , ψ : X → X funciones que respetan toda la estructura algebraica de X , entonces la convolución φ ∗ ψ se define como la composición

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

La convolución aparece notablemente en la definición de álgebras de Hopf (Kassel 1995, §III.3). Una biálgebra es un álgebra de Hopf si y sólo si tiene un antípoda: un endomorfismo S tal que

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

Aplicaciones

El desenfoque gaussiano se puede utilizar para obtener una imagen digital en escala de grises suave de una impresión de medios tonos .

La convolución y operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas.

• Las redes neuronales convolucionales aplican múltiples núcleos de convolución en cascada con aplicaciones en visión artificial e inteligencia artificial . ^{[34] [35]} Aunque en realidad se trata de correlaciones cruzadas en lugar de convoluciones en la mayoría de los casos. ^[36]
• En el procesamiento de imágenes no basado en redes neuronales
  • En el procesamiento de imágenes digitales, el filtrado convolucional juega un papel importante en muchos algoritmos importantes en la detección de bordes y procesos relacionados (ver Kernel (procesamiento de imágenes) ).
  • En óptica , una fotografía desenfocada es una convolución de la imagen nítida con una función de lente. El término fotográfico para esto es bokeh .
  • En aplicaciones de procesamiento de imágenes, como agregar desenfoque.
• En el procesamiento de datos digitales
  • En química analítica , los filtros de suavizado Savitzky-Golay se utilizan para el análisis de datos espectroscópicos. Pueden mejorar la relación señal-ruido con una distorsión mínima de los espectros.
  • En estadística , una media móvil ponderada es una convolución.
• En acústica , la reverberación es la convolución del sonido original con ecos de los objetos que rodean la fuente del sonido.
  • En el procesamiento de señales digitales, se utiliza la convolución para mapear la respuesta al impulso de una sala real en una señal de audio digital.
  • En la música electrónica, la convolución es la imposición de una estructura espectral o rítmica a un sonido. A menudo, esta envolvente o estructura se toma de otro sonido. La convolución de dos señales es el filtrado de una a través de la otra. ^[37]
• En ingeniería eléctrica , la convolución de una función (la señal de entrada ) con una segunda función (la respuesta al impulso) da como resultado un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En cualquier momento dado, el resultado es un efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, y los valores más recientes suelen tener la mayor influencia (expresada como un factor multiplicativo). La función de respuesta al impulso proporciona ese factor como una función del tiempo transcurrido desde que se produjo cada valor de entrada.
• En física , siempre que hay un sistema lineal con un " principio de superposición ", aparece una operación de convolución. Por ejemplo, en espectroscopia , el ensanchamiento de línea debido al efecto Doppler por sí solo da una forma de línea espectral gaussiana y el ensanchamiento por colisión por sí solo da una forma de línea lorentziana . Cuando ambos efectos están en funcionamiento, la forma de la línea es una convolución de Gauss y Lorentziana, una función de Voigt .
  • En la espectroscopia de fluorescencia resuelta en el tiempo , la señal de excitación puede tratarse como una cadena de pulsos delta, y la fluorescencia medida es una suma de desintegraciones exponenciales de cada pulso delta.
  • En dinámica de fluidos computacional , el modelo de turbulencia de simulación de grandes remolinos (LES) utiliza la operación de convolución para reducir el rango de escalas de longitud necesarias en el cálculo, reduciendo así el costo computacional.
• En teoría de probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales.
  • En la estimación de densidad de kernel , una distribución se estima a partir de puntos de muestra mediante convolución con un kernel, como un gaussiano isótropo. ^[38]
• En los sistemas de planificación de tratamientos de radioterapia, la mayor parte de todos los códigos de cálculo modernos aplican un algoritmo de superposición de convolución. ^{[ aclaración necesaria ]}
• En confiabilidad estructural, el índice de confiabilidad se puede definir con base en el teorema de convolución.
  • La definición del índice de fiabilidad para funciones de estado límite con distribuciones no normales se puede establecer a partir de la función de distribución conjunta . De hecho, la función de distribución conjunta se puede obtener utilizando la teoría de convolución. ^[39]
• En la hidrodinámica de partículas suavizadas , las simulaciones de la dinámica de fluidos se calculan utilizando partículas, cada una con núcleos circundantes. Para cualquier partícula dada , se calcula alguna cantidad física como una convolución de con una función de ponderación, donde denota los vecinos de la partícula : aquellos que se encuentran dentro de su núcleo. La convolución se aproxima como una suma sobre cada vecino. ^[40] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$
• En el cálculo fraccional, la convolución es fundamental en varias definiciones de integral fraccional y derivada fraccional.

Véase también

• Procesamiento de señales analógicas
• Matriz circulante
• Convolución para respuestas ópticas de haz ancho en medios de dispersión
• Potencia de convolución
• Cociente de convolución
• Convolución de Dirichlet
• Promedio de señal generalizado
• Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad
• Teoría de sistemas LTI#Respuesta al impulso y convolución
• Convolución discreta multidimensional
• Correlación escalada
• Teorema de convolución de Titchmarsh
• Matriz de Toeplitz (las convoluciones pueden considerarse una operación de matriz de Toeplitz donde cada fila es una copia desplazada del núcleo de convolución)
• Transformada wavelet

Notas

1. Los motivos de la reflexión incluyen:
   • Es necesario implementar el equivalente del producto puntual de las transformadas de Fourier de y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
   • Cuando la convolución se considera como un promedio ponderado móvil , la función de ponderación, , a menudo se especifica en términos de otra función, , llamada respuesta al impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo . ${\displaystyle g(-x)}$ ${\displaystyle g(x)}$
2. El símbolo U+2217 ∗ OPERADOR ASTERISCO es diferente de U+002A * ASTERISCO , que se utiliza a menudo para indicar una conjugación compleja. Véase Asterisco § Tipografía matemática .

Referencias

1. Bahri, Mawardi; Ashino, Ryuichi; Vaillancourt, Rémi (2013). "Teoremas de convolución para la transformada de Fourier de cuaterniones: propiedades y aplicaciones" (PDF) . Abstract and Applied Analysis . 2013 : 1–10. doi : 10.1155/2013/162769 . Archivado (PDF) desde el original el 2020-10-21 . Consultado el 2022-11-11 .
2. Smith, Stephen W (1997). "13. Convolución". Guía para científicos e ingenieros sobre procesamiento de señales digitales (1.ª edición). California Technical Publishing. ISBN 0-9660176-3-3. Recuperado el 22 de abril de 2016 .
3. Irwin, J. David (1997). "4.3". Manual de electrónica industrial (1.ª edición). Boca Raton, FL: CRC Press. pág. 75. ISBN 0-8493-8343-9.
4. Ecuaciones diferenciales (primavera de 2010), MIT 18.03. «Conferencia 21: Fórmula de convolución». MIT Open Courseware . MIT . Consultado el 22 de diciembre de 2021 .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. "18.03SC Ecuaciones diferenciales Otoño 2011" (PDF) . Fórmula de Green, Transformada de Laplace de convolución . Archivado (PDF) desde el original el 6 de septiembre de 2015.
6. Domínguez-Torres, pág. 2
7. Domínguez-Torres, pág. 4
8. RN Bracewell (2005), "Trabajos tempranos sobre la teoría de imágenes en radioastronomía", en WT Sullivan (ed.), Los primeros años de la radioastronomía: reflexiones cincuenta años después del descubrimiento de Jansky , Cambridge University Press, pág. 172, ISBN 978-0-521-61602-7
9. John Hilton Grace y Alfred Young (1903), El álgebra de invariantes, Cambridge University Press, pág. 40
10. Leonard Eugene Dickson (1914), Invariantes algebraicos, J. Wiley, pág. 85
11. Según [Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen", Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse , volumen 128 , número 2, 6–7], la fuente es Volterra, Vito ( 1913), "Leçons sur les fonctions de linges". Gauthier-Villars, París 1913.
12. Damelin y Miller 2011, pág. 219
13. Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1989). Recetas numéricas en Pascal. Cambridge University Press. pág. 450. ISBN 0-521-37516-9.
14. Rader, CM (diciembre de 1972). "Convoluciones discretas mediante transformadas de Mersenne". IEEE Transactions on Computers . 21 (12): 1269–1273. doi :10.1109/TC.1972.223497. S2CID  1939809.
15. Winograd, Shmuel (enero de 1980). Complejidad aritmética de los cálculos. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi :10.1137/1.9781611970364. ISBN 978-0-89871-163-9.
16. Lyakhov, PA; Nagornov, NN; Semyonova, NF; Abdulsalyamova, AS (junio de 2023). "Reducción de la complejidad computacional del procesamiento de imágenes mediante la transformada wavelet basada en el método Winograd". Reconocimiento de patrones y análisis de imágenes . 33 (2): 184–191. doi :10.1134/S1054661823020074. ISSN  1054-6618. S2CID  259310351.
17. Wu, Di; Fan, Xitian; Cao, Wei; Wang, Lingli (mayo de 2021). "SWM: un acelerador CNN de multiplicación de matrices Sparse-Winograd de alto rendimiento". Transacciones IEEE sobre sistemas de integración a muy gran escala (VLSI) . 29 (5): 936–949. doi :10.1109/TVLSI.2021.3060041. ISSN  1063-8210. S2CID  233433757.
18. Mittal, Sparsh; Vibhu (mayo de 2021). "Un estudio de arquitecturas de aceleradores para redes neuronales de convolución 3D". Revista de arquitectura de sistemas . 115 : 102041. doi :10.1016/j.sysarc.2021.102041. S2CID  233917781.
19. Selesnick, Ivan W.; Burrus, C. Sidney (1999). "Convolución rápida y filtrado". En Madisetti, Vijay K. (ed.). Manual de procesamiento de señales digitales . CRC Press. pág. Sección 8. ISBN 978-1-4200-4563-5.
20. Juang, BH "Conferencia 21: Convolución de bloques" (PDF) . EECS en el Instituto de Tecnología de Georgia. Archivado (PDF) desde el original el 29 de julio de 2004 . Consultado el 17 de mayo de 2013 .
21. Gardner, William G. (noviembre de 1994). "Convolución eficiente sin retardo de entrada/salida" (PDF) . Convención de la Sociedad de Ingeniería de Audio 97. Documento 3897. Archivado (PDF) desde el original el 8 de abril de 2015. Consultado el 17 de mayo de 2013 .
22. Beckner, William (1975). "Desigualdades en el análisis de Fourier". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
23. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H. (1976). "Mejores constantes en la desigualdad de Young, su recíproco y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151–173. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
24. Reed y Simon 1975, IX.4
25. Weisstein, Eric W. "Convolución". mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de septiembre de 2021 .
26. Weisstein, Eric W. "De MathWorld: un recurso web de Wolfram".
27. Slyusar, VI (27 de diciembre de 1996). "Productos finales en matrices en aplicaciones de radar" (PDF) . Radioelectronics and Communications Systems . 41 (3): 50–53. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
28. Slyusar, VI (20 de mayo de 1997). "Modelo analítico de la red de antenas digitales basado en productos matriciales de división de caras" (PDF) . Proc. ICATT-97, Kyiv : 108–109. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
29. Slyusar, VI (15 de septiembre de 1997). "Nuevas operaciones de productos de matrices para aplicaciones de radares" (PDF) . Proc. Problemas directos e inversos de teoría de ondas electromagnéticas y acústicas (DIPED-97), Lviv. : 73–74. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
30. Slyusar, VI (13 de marzo de 1998). "Una familia de productos faciales de matrices y sus propiedades" (PDF) . Análisis de sistemas y cibernética C/C de Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007/BF02733426. S2CID  119661450. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
31. Slyusar, VI (2003). "Productos faciales generalizados de matrices en modelos de conjuntos de antenas digitales con canales no idénticos" (PDF) . Radioelectronics and Communications Systems . 46 (10): 9–17. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
32. Ninh, Pham; Pagh, Rasmus (2013). Núcleos polinómicos rápidos y escalables a través de mapas de características explícitas . Conferencia internacional SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos. Association for Computing Machinery. doi :10.1145/2487575.2487591.
33. R. Tyrrell Rockafellar (1970), Análisis convexo , Princeton University Press
34. Zhang, Yingjie; Soon, Hong Geok; Ye, Dongsen; Fuh, Jerry Ying Hsi; Zhu, Kunpeng (septiembre de 2020). "Monitoreo del proceso de fusión de lecho de polvo mediante visión artificial con redes neuronales convolucionales híbridas". IEEE Transactions on Industrial Informatics . 16 (9): 5769–5779. doi :10.1109/TII.2019.2956078. ISSN  1941-0050. S2CID  213010088.
35. Chervyakov, NI; Lyakhov, PA; Deryabin, MA; Nagornov, NN; Valueva, MV; Valuev, GV (septiembre de 2020). "Solución basada en sistemas de números residuales para reducir el costo de hardware de una red neuronal convolucional". Neurocomputing . 407 : 439–453. doi :10.1016/j.neucom.2020.04.018. S2CID  219470398. Las redes neuronales convolucionales representan arquitecturas de aprendizaje profundo que se utilizan actualmente en una amplia gama de aplicaciones, incluidas la visión artificial, el reconocimiento de voz, el análisis de series temporales en finanzas y muchas otras.
36. Atlas, Homma y Marks. "Una red neuronal artificial para patrones bipolares espacio-temporales: aplicación a la clasificación de fonemas" (PDF) . Sistemas de procesamiento de información neuronal (NIPS 1987) . 1 . Archivado (PDF) desde el original el 14 de abril de 2021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
37. Zölzer, Udo, ed. (2002). DAFX: Efectos de audio digital , págs. 48-49. ISBN 0471490784 . 
38. Diggle 1985.
39. Ghasemi y Nowak 2017.
40. Monaghan, JJ (1992). "Hidrodinámica de partículas suavizadas". Revista anual de astronomía y astrofísica . 30 : 543–547. Código Bibliográfico :1992ARA&A..30..543M. doi :10.1146/annurev.aa.30.090192.002551 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

Lectura adicional

• Bracewell, R. (1986), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (2.ª ed.), McGraw–Hill, ISBN 0-07-116043-4.
• Damelin, S.; Miller, W. (2011), Las matemáticas del procesamiento de señales , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
• Diggle, PJ (1985), "Un método de núcleo para suavizar datos de procesos puntuales", Journal of the Royal Statistical Society, Serie C , 34 (2): 138–147, doi :10.2307/2347366, JSTOR  2347366, S2CID  116746157
• Dominguez-Torres, Alejandro (2 de noviembre de 2010). "Origen e historia de la convolución". 41 págs. https://slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, Reino Unido. Consultado el 13 de marzo de 2013.
• Ghasemi, S. Hooman; Nowak, Andrzej S. (2017), "Índice de confiabilidad para distribuciones no normales de funciones de estado límite", Ingeniería estructural y mecánica , 62 (3): 365–372, doi :10.12989/sem.2017.62.3.365
• Grinshpan, AZ (2017), "Una desigualdad para convoluciones múltiples con respecto a la medida de probabilidad de Dirichlet", Advances in Applied Mathematics , 82 (1): 102–119, doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Análisis armónico abstracto. vol. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 115 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, Sr.  0551496.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Análisis armónico abstracto. vol. II: Estructura y análisis de grupos compactos. Análisis de grupos abelianos localmente compactos , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0262773.
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035.
• Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 155, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN 978-0-387-94370-1, Sr.  1321145.
• Knuth, Donald (1997), Algoritmos seminuméricos (3.ª ed.), Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Métodos de la física matemática moderna. II. Análisis de Fourier, autoadjunción , Nueva York-Londres: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, pp. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, Sr.  0493420
• Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier en grupos , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 12, Nueva York–Londres: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, Sr.  0152834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Convolución de funciones", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Titchmarsh, E (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2.ª ed.), Nueva York, NY: Chelsea Pub. Co. (publicado en 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Uludag, AM (1998), "Sobre el posible deterioro de la suavidad bajo la operación de convolución", J. Math. Anal. Appl. , 227 (2): 335–358, doi : 10.1006/jmaa.1998.6091
• von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Álgebra informática moderna , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.

External links

• Earliest Uses: The entry on Convolution has some historical information.
• Convolution, on The Data Analysis BriefBook
• https://jhu.edu/~signals/convolve/index.html Visual convolution Java Applet
• https://jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Visual convolution Java Applet for discrete-time functions
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution discret-convolution online calculator
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Convolution demo and visualization in JavaScript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Another convolution demo in JavaScript
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution., by Alan Peters
• https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial
• Convolution at MathWorld
• Freeverb3 Impulse Response Processor: Opensource zero latency impulse response processor with VST plugins
• Stanford University CS 178 interactive Flash demo showing how spatial convolution works.
• A video lecture on the subject of convolution given by Salman Khan
• Example of FFT convolution for pattern-recognition (image processing)
• Intuitive Guide to Convolution A blogpost about an intuitive interpretation of convolution.