En geometría algebraica , el problema de resolución de singularidades pregunta si toda variedad algebraica V tiene una resolución, una variedad no singular W con un mapa biracional adecuado W → V. Para variedades sobre campos de característica 0 esto fue demostrado por Hironaka (1964), [1] mientras que para variedades sobre campos de característica p es un problema abierto en dimensiones al menos 4. [2]
Originalmente el problema de resolución de singularidades era encontrar un modelo no singular para el campo funcional de una variedad X , es decir, una variedad no singular completa X′ con el mismo campo funcional. En la práctica , es más conveniente pedir una condición diferente de la siguiente manera: una variedad X tiene una resolución de singularidades si podemos encontrar una variedad no singular X′ y un mapa biracional adecuado de X′ a X. La condición de que el mapa sea adecuado es necesaria para excluir soluciones triviales, como tomar X′ como la subvariedad de puntos no singulares de X.
De manera más general, suele ser útil resolver las singularidades de una variedad X incrustada en una variedad más grande W. Supongamos que tenemos una incrustación cerrada de X en una variedad regular W. Una fuerte desingularización de X viene dada por un morfismo biracional adecuado de una variedad regular W ′ a W sujeto a algunas de las siguientes condiciones (la elección exacta de las condiciones depende del autor):
Hironaka demostró que hay una fuerte desingularización que satisface las tres primeras condiciones anteriores siempre que X se define sobre un campo de característica 0, y varios autores mejoraron su construcción (ver más abajo) para que satisfaga todas las condiciones anteriores.
Cada curva algebraica tiene un modelo proyectivo no singular único, lo que significa que todos los métodos de resolución son esencialmente iguales porque todos construyen este modelo. En dimensiones superiores esto ya no es cierto: las variedades pueden tener muchos modelos proyectivos no singulares diferentes.
Kollár (2007) enumera alrededor de 20 formas de demostrar la resolución de singularidades de curvas.
La resolución de singularidades de curvas fue demostrada esencialmente por primera vez por Newton (1676), quien demostró la existencia de series de Puiseux para una curva de la que se deduce fácilmente la resolución.
Riemann construyó una superficie de Riemann suave a partir del campo funcional de una curva algebraica compleja, lo que proporciona una resolución de sus singularidades. Esto se puede hacer en campos más generales utilizando el conjunto de anillos de valoración discretos del campo como sustituto de la superficie de Riemann.
El método de Albanese consiste en tomar una curva que abarca un espacio proyectivo de dimensión suficientemente grande (más del doble del grado de la curva) y proyectarla repetidamente desde puntos singulares hacia espacios proyectivos de dimensión más pequeña. Este método se extiende a variedades de dimensiones superiores y muestra que cualquier variedad de n dimensiones tiene un modelo proyectivo con singularidades de multiplicidad como máximo n !. Para una curva, n = 1 y, por tanto, no hay puntos singulares.
Muhly y Zariski (1939) dieron un método de un solo paso para resolver singularidades de una curva tomando la normalización de la curva. La normalización elimina todas las singularidades en la codimensión 1, por lo que funciona para curvas pero no en dimensiones superiores.
Otro método de un solo paso para resolver singularidades de una curva es tomar un espacio de anillos de valoración del campo funcional de la curva. Este espacio se puede convertir en una curva proyectiva no singular biracional a la curva original.
Ampliar repetidamente los puntos singulares de una curva eventualmente resolverá las singularidades. La tarea principal de este método es encontrar una manera de medir la complejidad de una singularidad y demostrar que la explosión mejora esta medida. Hay muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, se puede utilizar el género aritmético de la curva.
El método de Noether toma una curva plana y aplica repetidamente transformaciones cuadráticas (determinadas por un punto singular y dos puntos en posición general). Finalmente, esto produce una curva plana cuyas únicas singularidades son puntos múltiples ordinarios (todas las rectas tangentes tienen multiplicidad dos).
El método de Bertini es similar al método de Noether. Comienza con una curva plana y aplica repetidamente transformaciones birracionales al plano para mejorar la curva. Las transformaciones birracionales son más complicadas que las transformaciones cuadráticas utilizadas en el método de Noether, pero producen el mejor resultado de que las únicas singularidades son puntos dobles ordinarios.
Las superficies tienen muchos modelos proyectivos no singulares diferentes (a diferencia del caso de las curvas donde el modelo proyectivo no singular es único). Sin embargo, una superficie todavía tiene una resolución mínima única, que todas las demás tienen en cuenta (todas las demás son resoluciones de la misma). En dimensiones superiores no es necesario que haya una resolución mínima.
Hubo varios intentos de demostrar la resolución de superficies sobre números complejos por parte de Del Pezzo (1892), Levi (1899), Severi (1914), Chisini (1921) y Albanese (1924), pero Zariski (1935, capítulo I sección 6 ) señala que ninguno de estos primeros intentos está completo y todos son vagos (o incluso erróneos) en algún punto crítico del argumento. La primera prueba rigurosa fue dada por Walker (1935), y Zariski (1939) dio una prueba algebraica para todos los campos de la característica 0. Abhyankar (1956) dio una prueba para superficies de característica distinta de cero. Lipman (1978) también ha demostrado la resolución de singularidades para todos los esquemas bidimensionales excelentes (incluidas todas las superficies aritméticas).
El método de resolución de singularidades de superficies de Zariski consiste en alternar repetidamente la normalización de la superficie (lo que elimina las singularidades de la codimensión 1) con la explosión de puntos (lo que mejora las singularidades de la codimensión 2, pero puede introducir nuevas singularidades de la codimensión 1). Aunque esto resolverá las singularidades de las superficies por sí solo, Zariski utilizó un método más indirecto: primero demostró un teorema de uniformización local que mostraba que toda valoración de una superficie podía resolverse, luego utilizó la compacidad de la superficie de Zariski-Riemann para demostrar que es posible encontrar un conjunto finito de superficies tal que el centro de cada valoración sea simple en al menos una de estas superficies, y finalmente al estudiar mapas birracionales entre superficies se demostró que este conjunto finito de superficies podría ser reemplazado por un único no singular superficie.
Al aplicar una fuerte resolución incrustada para las curvas, Jung (1908) las reduce a una superficie con singularidades bastante especiales (singularidades de cociente abeliano) que luego se tratan explícitamente. La versión de dimensiones superiores de este método es el método de De Jong.
En general, el análogo del método de Albanese para curvas muestra que para cualquier variedad se puede reducir a singularidades de orden como máximo n !, donde n es la dimensión. Para superficies, esto se reduce al caso de singularidades de orden 2, que son bastante fáciles de hacer explícitamente.
Abhyankar (1956) demostró la resolución de singularidades para superficies sobre un campo de cualquier característica demostrando un teorema de uniformización local para anillos de valoración. El caso más difícil son los anillos de valoración de rango 1 cuyo grupo de valoración es un subgrupo no discreto de números racionales. El resto de la prueba sigue el método de Zariski.
El método de Hironaka para variedades características arbitrarias proporciona un método de resolución para superficies, que implica ampliar repetidamente puntos o curvas suaves en el conjunto singular.
Lipman (1978) demostró que una superficie Y (un esquema noetheriano reducido bidimensional) tiene una desingularización si y sólo si su normalización es finita sobre Y y analíticamente normal (las terminaciones de sus puntos singulares son normales) y sólo tiene un número finito de puntos singulares. puntos. En particular, si Y es excelente , entonces tiene una desingularización.
Su método consistía en considerar superficies normales Z con un mapa biracional propio de Y y demostrar que existe uno mínimo con el mínimo género aritmético posible. Luego muestra que todas las singularidades de este Z mínimo son pseudoracionales, y muestra que las singularidades pseudoracionales pueden resolverse haciendo estallar puntos repetidamente.
El problema de la resolución de singularidades en dimensiones superiores es notorio por muchas pruebas publicadas incorrectamente y anuncios de pruebas que nunca aparecieron.
Para 3 veces, Zariski (1944) demostró la resolución de singularidades en la característica 0. Primero demostró un teorema sobre la uniformización local de anillos de valoración, válido para variedades de cualquier dimensión sobre cualquier campo de característica 0. Luego demostró que el espacio de valoraciones de Zariski-Riemann es cuasicompacto (para cualquier variedad de cualquier dimensión sobre cualquier campo ), lo que implica que existe una familia finita de modelos de cualquier variedad proyectiva, de modo que cualquier valoración tiene un centro suave sobre al menos uno de estos modelos. La parte final y más difícil de la prueba, que utiliza el hecho de que la variedad es de dimensión 3 pero que sirve para todas las características, es mostrar que dados 2 modelos se puede encontrar un tercero que resuelva las singularidades que tiene cada uno de los dos modelos dados. resolver.
Abhyankar (1966) demostró la resolución de singularidades para 3 veces en una característica mayor que 6. La restricción sobre la característica surge porque Abhyankar muestra que es posible resolver cualquier singularidad de una multiplicidad triple menor que la característica, y luego usa ¡El método de Albanese para mostrar que las singularidades se pueden reducir a las de multiplicidad como máximo (dimensión)! = 3! = 6. Cutkosky (2009) dio una versión simplificada de la prueba de Abhyankar.
Cossart y Piltant (2008, 2009) demostraron la resolución de singularidades de 3 veces en todas las características, demostrando una uniformización local en la dimensión 3 como máximo, y luego verificando que la prueba de Zariski de que esto implica una resolución de 3 veces todavía funciona en la característica positiva. caso.
Hironaka (1964) demostró por primera vez la resolución de singularidades en la característica 0 en todas las dimensiones. Demostró que era posible resolver singularidades de variedades en campos de característica 0 ampliando repetidamente subvariedades no singulares, utilizando un argumento muy complicado por inducción en la dimensión. Varias personas dieron versiones simplificadas de su formidable prueba, entre ellas Bierstone & Milman (1991), Bierstone & Milman (1997), Villamayor (1992), Encinas & Villamayor (1998), Encinas & Hauser (2002), Wlodarczyk (2005). , Kollár (2007). Algunas de las demostraciones recientes tienen aproximadamente una décima parte de la extensión de la demostración original de Hironaka y son bastante fáciles de dar en un curso introductorio de posgrado. Para una descripción expositiva del teorema, ver (Hauser 2003) y para una discusión histórica ver (Hauser 2000).
de Jong (1996) found a different approach to resolution of singularities, generalizing Jung's method for surfaces, which was used by Bogomolov & Pantev (1996) and by Abramovich & de Jong (1997) to prove resolution of singularities in characteristic 0. De Jong's method gave a weaker result for varieties of all dimensions in characteristic p, which was strong enough to act as a substitute for resolution for many purposes. De Jong proved that for any variety X over a field there is a dominant proper morphism which preserves the dimension from a regular variety onto X. This need not be a birational map, so is not a resolution of singularities, as it may be generically finite to one and so involves a finite extension of the function field of X. De Jong's idea was to try to represent X as a fibration over a smaller space Y with fibers that are curves (this may involve modifying X), then eliminate the singularities of Y by induction on the dimension, then eliminate the singularities in the fibers.
It is easy to extend the definition of resolution to all schemes. Not all schemes have resolutions of their singularities: Grothendieck & Dieudonné (1965, section 7.9) showed that if a locally Noetherian scheme X has the property that one can resolve the singularities of any finite integral scheme over X, then X must be quasi-excellent. Grothendieck also suggested that the converse might hold: in other words, if a locally Noetherian scheme X is reduced and quasi excellent, then it is possible to resolve its singularities. When X is defined over a field of characteristic 0 and is Noetherian, this follows from Hironaka's theorem, and when X has dimension at most 2 it was proved by Lipman.
Hauser (2010) gave a survey of work on the unsolved characteristic p resolution problem.
The lingering perception that the proof of resolution is very hard gradually diverged from reality. ... it is feasible to prove resolution in the last two weeks of a beginning algebraic geometry course.
(Kollár 2007, Lectures on Resolution of Singularities)
There are many constructions of strong desingularization but all of them give essentially the same result. In every case the global object (the variety to be desingularized) is replaced by local data (the ideal sheaf of the variety and those of the exceptional divisors and some orders that represents how much should be resolved the ideal in that step). With this local data the centers of blowing-up are defined. The centers will be defined locally and therefore it is a problem to guarantee that they will match up into a global center. This can be done by defining what blowings-up are allowed to resolve each ideal. Done appropriately, this will make the centers match automatically. Another way is to define a local invariant depending on the variety and the history of the resolution (the previous local centers) so that the centers consist of the maximum locus of the invariant. The definition of this is made such that making this choice is meaningful, giving smooth centers transversal to the exceptional divisors.
In either case the problem is reduced to resolve singularities of the tuple formed by the ideal sheaf and the extra data (the exceptional divisors and the order, d, to which the resolution should go for that ideal). This tuple is called a marked ideal and the set of points in which the order of the ideal is larger than d is called its co-support. The proof that there is a resolution for the marked ideals is done by induction on dimension. The induction breaks in two steps:
Here we say that a marked ideal is of maximal order if at some point of its co-support the order of the ideal is equal to d. A key ingredient in the strong resolution is the use of the Hilbert–Samuel function of the local rings of the points in the variety. This is one of the components of the resolution invariant.
The most obvious invariant of a singularity is its multiplicity. However this need not decrease under blowup, so it is necessary to use more subtle invariants to measure the improvement.
Por ejemplo, la cúspide ramphoides y 2 = x 5 tiene una singularidad de orden 2 en el origen. Después de explotar en su punto singular, se convierte en la cúspide ordinaria y 2 = x 3 , que todavía tiene multiplicidad 2.
Está claro que la singularidad ha mejorado, ya que el grado de definición del polinomio ha disminuido. Esto no sucede en general. Un ejemplo en el que no es así lo da la singularidad aislada de x 2 + y 3 z + z 3 = 0 en el origen. Al expandirlo se obtiene la singularidad x 2 + y 2 z + yz 3 = 0. No es inmediatamente obvio que esta nueva singularidad sea mejor, ya que ambas singularidades tienen multiplicidad 2 y están dadas por la suma de monomios de grados 2, 3, y 4.
Una idea natural para mejorar las singularidades es hacer estallar el lugar de los "peores" puntos singulares. El paraguas Whitney x 2 = y 2 z tiene un conjunto singular en el eje z , la mayoría de cuyos puntos son puntos dobles ordinarios, pero hay una singularidad de punto de pellizco más complicada en el origen, por lo que hacer estallar los peores puntos singulares sugiere que uno debería comenzar haciendo estallar el origen. Sin embargo, al ampliar el origen se reproduce la misma singularidad en uno de los mapas de coordenadas. Entonces, hacer estallar los (aparentemente) "peores" puntos singulares no mejora la singularidad. En cambio, la singularidad se puede resolver explotando a lo largo del eje z .
Hay algoritmos que funcionan ampliando los "peores" puntos singulares en algún sentido, como (Bierstone y Milman 1997), pero este ejemplo muestra que la definición de los "peores" puntos debe ser bastante sutil.
Para singularidades más complicadas, como x 2 = y m z n , que es singular a lo largo de x = yz =0, hacer estallar la peor singularidad en el origen produce las singularidades x 2 = y m + n −2 z n y x 2 = y m z m + n −2 que son peores que la singularidad original si m y n son al menos 3.
Después de la resolución, la transformada total (la unión de la transformada estricta y los divisores excepcionales) es una variedad con singularidades del tipo cruces normales simples. Es natural considerar la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades, esto es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruce normales suaves y simples. Cuando la transformada estricta es un divisor (es decir, se puede incrustar como una codimensión de una subvariedad en una variedad suave) se sabe que existe una resolución fuerte que evita puntos de cruce normales simples. El paraguas de Whitney muestra que no es posible resolver singularidades evitando hacer estallar las singularidades de cruces normales.
Una forma natural de resolver singularidades es hacer estallar repetidamente alguna subvariedad suave elegida canónicamente. Esto se topa con el siguiente problema. El conjunto singular de x 2 = y 2 z 2 es el par de rectas dadas por los ejes y y z . Las únicas variedades razonables para hacer estallar son el origen, uno de estos dos ejes o el conjunto singular completo (ambos ejes). Sin embargo, no se puede utilizar todo el conjunto singular porque no es suave y elegir uno de los dos ejes rompe la simetría entre ellos, por lo que no es canónico. Esto significa que tenemos que empezar por hacer estallar el origen, pero esto reproduce la singularidad original, por lo que parece que estamos dando vueltas en círculos.
La solución a este problema es que aunque volar el origen no cambia el tipo de singularidad, sí da una sutil mejora: rompe la simetría entre los dos ejes singulares porque uno de ellos es un divisor excepcional para una explosión anterior, por lo que ahora está permitido volar sólo uno de ellos. Sin embargo, para aprovechar esto, el procedimiento de resolución debe tratar estas dos singularidades de manera diferente, aunque sean localmente iguales. Esto a veces se hace dándole algo de memoria al procedimiento de resolución, de modo que el centro de la ampliación en cada paso dependa no sólo de la singularidad, sino de las ampliaciones anteriores utilizadas para producirla.
Algunos métodos de resolución (en la característica 0) son funcionales para todos los morfismos suaves. Sin embargo, no es posible encontrar un functorial de resolución fuerte para todos los morfismos (posiblemente no suaves). Un ejemplo lo da el mapa del plano afín A 2 a la singularidad cónica x 2 + y 2 = z 2 tomando ( X , Y ) a (2 XY , X 2 − Y 2 , X 2 + Y 2 ). El plano XY ya no es singular, por lo que no debe cambiarse según la resolución, y cualquier resolución de la singularidad cónica se factoriza a través de la resolución mínima dada al hacer estallar el punto singular. Sin embargo, el mapa racional desde el plano XY hasta esta ampliación no se extiende a un mapa regular.
Las resoluciones mínimas (resoluciones tales que cada resolución las tiene en cuenta) existen en las dimensiones 1 y 2, pero no siempre en dimensiones superiores. El fracaso de Atiyah da un ejemplo en 3 dimensiones de una singularidad sin resolución mínima. Sean Y los ceros de xy = zw en A 4 y sea V la ampliación de Y en el origen. El lugar excepcional de esta explosión es isomorfo a P 1 × P 1 y puede reducirse a P 1 de dos maneras diferentes, dando dos resoluciones pequeñas X 1 y X 2 de Y , ninguna de las cuales puede reducirse más.
Kollár (2007, ejemplo 3.4.4, página 121) ofrece el siguiente ejemplo que muestra que no se puede esperar un procedimiento de resolución suficientemente bueno para conmutar con productos. Si f : A → B es la ampliación del origen de un cono cuádrico B en un espacio tridimensional afín, entonces f × f : A × A → B × B no puede producirse mediante un procedimiento de resolución local étale, esencialmente porque el locus excepcional tiene 2 componentes que se cruzan.
Las singularidades de variedades tóricas dan ejemplos de singularidades de alta dimensión que son fáciles de resolver explícitamente. Una variedad tórica se define por un abanico, una colección de conos en una red. Las singularidades se pueden resolver subdividiendo cada cono en una unión de conos, cada uno de los cuales es generado por una base para la red, y tomando la variedad tórica correspondiente.
La construcción de una desingularización de una variedad X puede no producir centros de explosiones que sean subvariedades suaves de X. Muchas construcciones de una desingularización de una variedad abstracta X proceden incrustando localmente X en una variedad suave W , considerando su ideal en W y calculando una desingularización canónica de este ideal. La desingularización de ideales utiliza el orden del ideal como medida de cuán singular es el ideal. La desingularización del ideal puede hacerse de tal manera que se pueda justificar que los centros locales se unan para dar centros globales. Este método conduce a una prueba que es relativamente más sencilla de presentar, en comparación con la prueba original de Hironaka, que utiliza la función de Hilbert-Samuel como medida de cuán malas son las singularidades. Por ejemplo, las pruebas de Villamayor (1992), Encinas & Villamayor (1998), Encinas & Hauser (2002) y Kollár (2007) utilizan esta idea. Sin embargo, este método sólo garantiza centros de voladuras regulares en W.
El siguiente ejemplo muestra que este método puede producir centros que tienen intersecciones no suaves con la (transformación estricta de ) X. [3] Por lo tanto, la desingularización resultante, cuando se restringe a la variedad abstracta X , no se obtiene ampliando las subvariedades regulares de X.
Sea X la subvariedad del plano afín de cuatro dimensiones, con coordenadas x,y,z,w , generada por y 2 - x 3 y x 4 + xz 2 - w 3 . La desingularización canónica del ideal con estos generadores volaría el centro C 0 dado por x = y = z = w =0. La transformada del ideal en el gráfico x si se genera por x - y 2 e y 2 ( y 2 + z 2 - w 3 ). El siguiente centro de explosión de C 1 viene dado por x = y =0. Sin embargo, la transformada estricta de X es X 1 , que se genera por x - y 2 e y 2 + z 2 - w 3 . Esto significa que la intersección de C 1 y X 1 está dada por x = y =0 y z 2 - w 3 =0, lo cual no es regular.
Para producir centros de explosiones que sean subvariedades regulares de X , las pruebas más fuertes utilizan la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de X en lugar del orden de su ideal en la incrustación local en W. [4]
Después de la resolución, la transformada total, la unión de la transformada estricta, X , y el divisor excepcional, es una variedad que, en el mejor de los casos, puede tener singularidades de cruce normales simples. Entonces es natural considerar la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades. El problema es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruce normales suaves y simples. Cuando X es un divisor, es decir, puede incluirse como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave, se sabe que es cierta la existencia de una resolución fuerte que evita puntos de cruce normales simples. Aún no se conoce el caso general ni generalizaciones para evitar distintos tipos de singularidades. [5]
Evitar ciertas singularidades es imposible. Por ejemplo, no se pueden resolver singularidades evitando hacer estallar las singularidades de cruces normales. De hecho, para resolver la singularidad del punto de pellizco es necesario ampliar todo el lugar singular, incluidos los puntos donde están presentes singularidades de cruce normales.
