Impedancia característica

Propiedad de un circuito eléctrico.

Una línea de transmisión dibujada como dos cables negros. A una distancia x dentro de la línea, hay un fasor de corriente I ( x ) que viaja a través de cada cable, y hay un fasor de diferencia de voltaje V ( x ) entre los cables (voltaje inferior menos voltaje superior). Si es la impedancia característica de la línea, entonces para una onda que se mueve hacia la derecha o para una onda que se mueve hacia la izquierda. ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle V(x)/I(x)=Z_{0}}$ ${\displaystyle V(x)/I(x)=-Z_{0}}$

Representación esquemática de un circuito donde una fuente está acoplada a una carga con una línea de transmisión que tiene impedancia característica. ${\displaystyle Z_{0}}$

La impedancia característica o impedancia de sobretensión (generalmente escrita Z ₀ ) de una línea de transmisión uniforme es la relación entre las amplitudes de voltaje y corriente de una sola onda que se propaga a lo largo de la línea; es decir, una onda que viaja en una dirección en ausencia de reflejos en la otra dirección. Alternativamente, y de manera equivalente, se puede definir como la impedancia de entrada de una línea de transmisión cuando su longitud es infinita. La impedancia característica está determinada por la geometría y los materiales de la línea de transmisión y, para una línea uniforme, no depende de su longitud. La unidad SI de impedancia característica es el ohmio .

La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es puramente real , sin componente reactivo . La energía suministrada por una fuente en un extremo de dicha línea se transmite a través de la línea sin disiparse en la propia línea. Una línea de transmisión de longitud finita (sin pérdidas o con pérdidas) que termina en un extremo con una impedancia igual a la impedancia característica aparece ante la fuente como una línea de transmisión infinitamente larga y no produce reflejos.

Modelo de línea de transmisión

La impedancia característica de una línea de transmisión infinita a una frecuencia angular dada es la relación entre el voltaje y la corriente de una onda sinusoidal pura de la misma frecuencia que viaja a lo largo de la línea. Esta relación también es válida para líneas de transmisión finitas hasta que la onda llega al final de la línea. Generalmente, una onda se refleja a lo largo de la línea en la dirección opuesta. Cuando la onda reflejada llega a la fuente, se refleja una vez más, sumándose a la onda transmitida y cambiando la relación entre el voltaje y la corriente en la entrada, lo que hace que la relación voltaje-corriente ya no sea igual a la impedancia característica. Esta nueva relación que incluye la energía reflejada se llama impedancia de entrada . ${\displaystyle Z(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

La impedancia de entrada de una línea infinita es igual a la impedancia característica ya que la onda transmitida nunca se refleja desde el final. De manera equivalente: La impedancia característica de una línea es aquella impedancia que, al terminar una longitud arbitraria de línea en su salida, produce una impedancia de entrada de igual valor . Esto es así porque no hay reflexión en una línea terminada en su propia impedancia característica.

Esquema del modelo de Heaviside de un segmento infinitesimal de línea de transmisión

Aplicando el modelo de línea de transmisión basado en las ecuaciones del telégrafo que se derivan a continuación, ^{[1] [2]} la expresión general para la impedancia característica de una línea de transmisión es:

$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\,}}}$$

• ${\displaystyle R}$es la resistencia por unidad de longitud, considerando que los dos conductores están en serie ,
• ${\displaystyle L}$es la inductancia por unidad de longitud,
• ${\displaystyle G}$es la conductancia del dieléctrico por unidad de longitud,
• ${\displaystyle C}$es la capacitancia por unidad de longitud,
• ${\displaystyle j}$es la unidad imaginaria , y
• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular .

Esta expresión se extiende a DC haciendo que tienda a 0. ${\displaystyle \omega }$

Un aumento de energía en una línea de transmisión finita verá una impedancia antes de que regrese cualquier reflexión; por lo tanto, la impedancia de sobretensión es un nombre alternativo para la impedancia característica . Aunque se supone una línea infinita, dado que todas las cantidades son por unidad de longitud, las partes “por longitud” de todas las unidades se cancelan y la impedancia característica es independiente de la longitud de la línea de transmisión. ${\displaystyle Z_{0}}$

Los fasores de voltaje y corriente en la línea están relacionados por la impedancia característica como:

$${\displaystyle {\frac {V_{(+)}}{I_{(+)}}}=Z_{\text{0}}=-{\frac {V_{(-)}}{I_{(-)}}}}$$

Derivación

Usando la ecuación del telegrafista

Considere una sección de la línea de transmisión para derivar la impedancia característica. El voltaje del lado izquierdo sería V y del lado derecho sería V + d V. Esta cifra se utilizará para ambos métodos de derivación.

Las ecuaciones diferenciales que describen la dependencia del voltaje y la corriente con el tiempo y el espacio son lineales, de modo que una combinación lineal de soluciones vuelve a ser una solución. Esto significa que podemos considerar soluciones que dependen del tiempo ; hacerlo es funcionalmente equivalente a resolver los coeficientes de Fourier para amplitudes de voltaje y corriente a alguna frecuencia angular fija . Al hacerlo, se factoriza la dependencia del tiempo, dejando una ecuación diferencial ordinaria para los coeficientes, que serán fasores , que dependen únicamente de la posición (espacio). Además, los parámetros se pueden generalizar para que dependan de la frecuencia. ^[1] ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega }$

Dejar

$${\displaystyle V(x,t)\equiv V(x)\ e^{+j\omega t}}$$

$${\displaystyle I(x,t)\equiv I(x)\ e^{+j\omega t}}$$

Tome la dirección positiva para y en el bucle en el sentido de las agujas del reloj. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Encontramos eso

$${\displaystyle \mathrm {d} V=-\left(R+j\omega L\right)I\ \mathrm {d} x=-Z'\ I\ \mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} I=-\left(G+j\omega C\right)V\ \mathrm {d} x=-Y'\ V\ \mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-Z'\ I\qquad {\text{ and }}\qquad {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-Y'\ V}$$

$${\displaystyle Z'\equiv R+j\omega L\qquad {\text{ and }}\qquad Y'\equiv G+j\omega C~.}$$

Estas dos ecuaciones de primer orden se desacoplan fácilmente mediante una segunda diferenciación, con los resultados:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} x^{2}}}=Z'Y'\,V}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}=Z'Y'\,I}$$

Observe que ambos y satisfacen la misma ecuación. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Como es independiente de y , puede representarse mediante una sola constante . (El signo menos se incluye para mayor comodidad). Es decir: ${\displaystyle Z'Y'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -k^{2}}$

$${\displaystyle -k^{2}\equiv Z'\,Y'}$$

$${\displaystyle jk=\pm {\sqrt {Z'\,Y'\,}}}$$

Podemos escribir la ecuación anterior como

$${\displaystyle k=\pm \omega {\sqrt {\left(L-j{\frac {R}{\omega }}\right)\left(C-j{\frac {G}{\omega }}\right)\,}}=\pm \omega {\sqrt {L\ C\ }}{\sqrt {\left(1-j{\frac {R}{\omega L}}\right)\left(1-j{\frac {G}{\omega C}}\right)\,}}}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega L}$ ${\displaystyle \omega C}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle k\approx \pm \omega {\sqrt {LC\,}}\,.}$$

Con esta definición de , la parte dependiente de la posición aparecerá como en las soluciones exponenciales de la ecuación, similar a la parte dependiente del tiempo , por lo que la solución se lee ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm j\,k\,x}$ ${\displaystyle +j\,\omega \,t}$

$${\displaystyle V(x)=v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}e^{+jkx}}$$

constantes de integración ${\displaystyle v_{(+)}}$ ${\displaystyle v_{(-)}}$

$${\displaystyle V(x,t)~=~V(x)\ e^{+j\omega t}~=~v_{(+)}\ e^{-jkx+j\omega t}+v_{(-)}e^{+jkx+j\omega t}\,.}$$

Como la ecuación para tiene la misma forma, tiene una solución de la misma forma: ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I(x)=i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\,,}$$

constantes de integración ${\displaystyle i_{(+)}}$ ${\displaystyle i_{(-)}}$

Las ecuaciones anteriores son la solución de onda para y . Para ser compatibles, aún deben satisfacer las ecuaciones diferenciales originales, una de las cuales es ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-Z'I\,.}$$

Sustituyendo las soluciones de y en la ecuación anterior, obtenemos ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}\ e^{+jkx}\right]=-(R+j\omega L)\left[\ i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\right]}$$

$${\displaystyle -jk\ v_{(+)}\ e^{-jkx}+jk\ v_{(-)}\ e^{+jkx}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}\ e^{-jkx}-(R+j\omega L)\ i_{(-)}\ e^{+jkx}}$$

Aislando distintas potencias de y combinando potencias idénticas, vemos que para que la ecuación anterior se cumpla para todos los valores posibles de debemos tener: ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle x}$

• Para los coeficientes de : ${\displaystyle e^{-jkx}}$
  $${\displaystyle -j\,k\ v_{(+)}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}}$$
• Para los coeficientes de : ${\displaystyle e^{+jkx}}$
  $${\displaystyle +j\,k\ v_{(-)}=-(R+j\omega L)\ i_{(-)}}$$

Desde ${\textstyle jk={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)\,}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}+{\frac {v_{(+)}}{i_{(+)}}}&={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\\[1ex]-{\frac {v_{(-)}}{i_{(-)}}}&={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle v_{(+)}=+Z_{0}\ i_{(+)}\quad {\text{ and }}\quad v_{(-)}=-Z_{0}\ i_{(-)}}$$

Se puede ver que la constante definida en las ecuaciones anteriores tiene las dimensiones de impedancia (relación de voltaje a corriente) y es función de las constantes primarias de la línea y la frecuencia de operación. Se denomina “impedancia característica” de la línea de transmisión y convencionalmente se denota por . ^[2] ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

$${\displaystyle Z_{0}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\quad =\quad {\sqrt {\ {\frac {\ L\ }{C}}\ }}{\sqrt {{\frac {\ 1-j\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\,}{\ 1-j\left({\frac {G}{\omega C}}\right)\,}}\,}}}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}}$$

Como caso límite de redes de escalera infinitas

Intuición

Considere una red de escalera infinita que consta de una impedancia en serie Z y una admitancia en derivación Y. Sea su impedancia de entrada . Si se agrega un nuevo par de impedancia Z y admitancia Y delante de la red, su impedancia de entrada permanece sin cambios ya que la red es infinita. Por lo tanto, se puede reducir a una red finita con una impedancia en serie Z y dos impedancias en paralelo y . Su impedancia de entrada está dada por, ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle Z_{\mathrm {IT} }}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {IT} }}$ ${\displaystyle 1/Y}$ ${\displaystyle Z_{\text{IT}}}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {IT} }=Z+({\frac {1}{Y}}\parallel Z_{\mathrm {IT} })}$

que también se conoce como impedancia iterativa . Su solución es:

${\displaystyle Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}\pm {\sqrt {{Z^{2} \over 4}+{Z \over Y}}}}$

Para una línea de transmisión, puede verse como un caso límite de una red en escalera infinita con impedancia y admitancia infinitesimales en una relación constante. ^{[6] [4] [5]} Tomando la raíz positiva, esta ecuación se simplifica a:

${\displaystyle Z_{\mathrm {IT} }={\sqrt {Z \over Y}}}$

Derivación

Utilizando esta idea, existen muchas derivaciones similares en varios libros ^{[6] [4] [5]} y son aplicables tanto a líneas sin pérdidas como a líneas con pérdidas. ^[7]

Aquí seguimos un enfoque publicado por Tim Healy. ^[8] La línea está modelada por una serie de segmentos diferenciales con series diferenciales y elementos en derivación (como se muestra en la figura al principio del artículo). La impedancia característica se define como la relación entre el voltaje de entrada y la corriente de entrada de una longitud de línea semiinfinita. A esto lo llamamos impedancia. Es decir, la impedancia que mira hacia la línea de la izquierda es . Pero, por supuesto, si recorremos la línea una longitud diferencial , la impedancia en la línea sigue siendo . Por lo tanto, podemos decir que la impedancia mirando hacia la línea del extremo izquierdo es igual a en paralelo con y , todo lo cual está en serie con y . Por eso: ${\displaystyle \left(R\ \mathrm {d} x,L\ \mathrm {d} x\right)}$ ${\displaystyle \left(C\ \mathrm {d} x,G\ \mathrm {d} x\right)}$ ${\displaystyle Z_{0}\,.}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle C\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle G\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle R\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle L\,\mathrm {d} x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+{\frac {1}{~(G+j\omega C)\ \mathrm {d} x+{\frac {1}{\ Z_{0}\ }}\,}}\\[1ex]Z_{0}&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+{\frac {\ Z_{0}\ }{Z_{0}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x+1\,}}\\[1ex]Z_{0}+Z_{0}^{2}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x\ (R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\end{aligned}}}$$

Los términos añadidos se cancelan, quedando ${\displaystyle Z_{0}}$

$${\displaystyle Z_{0}^{2}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\ (G+j\omega C)\ (R+j\omega L)\ (\mathrm {d} x)^{2}}$$

Los términos de primera potencia son el orden restante más alto. Dividiendo el factor común de y dividiéndolo por el factor , obtenemos ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle (G+j\omega C)}$

$${\displaystyle Z_{0}^{2}={\frac {(R+j\omega L)}{\ (G+j\omega C)\ }}+Z_{0}\ (R+j\omega L)\,\mathrm {d} x\,.}$$

En comparación con los factores que se dividieron, el último término, que todavía lleva un factor restante , es infinitesimal en relación con los otros, ahora términos finitos, por lo que podemos eliminarlo. Eso lleva a ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$

$${\displaystyle Z_{0}=\pm {\sqrt {{\frac {\ R+j\omega L\ }{G+j\omega C}}\,}}\,.}$$

Invertir el signo ± aplicado a la raíz cuadrada tiene el efecto de invertir la dirección del flujo de corriente.

línea sin pérdidas

El análisis de líneas sin pérdidas proporciona una aproximación precisa a líneas de transmisión reales que simplifica las matemáticas consideradas en el modelado de líneas de transmisión. Una línea sin pérdidas se define como una línea de transmisión que no tiene resistencia de línea ni pérdida dieléctrica . Esto implicaría que los conductores actúan como conductores perfectos y el dieléctrico actúa como un dieléctrico perfecto. Para una línea sin pérdidas, R y G son ambos cero, por lo que la ecuación de impedancia característica derivada anteriormente se reduce a:

$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}\,.}$$

En particular, ya no depende de la frecuencia. La expresión anterior es totalmente real, ya que el término imaginario j se ha cancelado, lo que implica que es puramente resistivo. Para una línea sin pérdidas terminada en , no hay pérdida de corriente a través de la línea, por lo que el voltaje permanece igual a lo largo de la línea. El modelo de línea sin pérdidas es una aproximación útil para muchos casos prácticos, como líneas de transmisión de bajas pérdidas y líneas de transmisión de alta frecuencia. En ambos casos, R y G son mucho más pequeños que ωL y ωC , respectivamente, y por lo tanto pueden ignorarse. ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

Las soluciones a las ecuaciones de transmisión de líneas largas incluyen porciones incidentes y reflejadas del voltaje y la corriente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {V_{r}+I_{r}Z_{c}}{2}}e^{\gamma x}+{\frac {V_{r}-I_{r}Z_{c}}{2}}e^{-\gamma x}\\[1ex]I&={\frac {V_{r}/Z_{c}+I_{r}}{2}}e^{\gamma x}-{\frac {V_{r}/Z_{c}-I_{r}}{2}}e^{-\gamma x}\end{aligned}}}$$

Carga de impedancia de sobretensión

En la transmisión de energía eléctrica , la impedancia característica de una línea de transmisión se expresa en términos de carga de impedancia de sobretensión ( SIL ), o carga natural, siendo la carga de potencia a la que no se produce ni absorbe potencia reactiva :

$${\displaystyle {\mathit {SIL}}={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}}$$

voltaje RMSvoltios ${\displaystyle V_{\mathrm {LL} }}$

Cargado por debajo de su SIL, el voltaje en la carga será mayor que el voltaje del sistema. Por encima de él, la tensión de carga disminuye. El efecto Ferranti describe la ganancia de voltaje hacia el extremo remoto de una línea de transmisión con carga muy ligera (o de extremo abierto). Los cables subterráneos normalmente tienen una impedancia característica muy baja, lo que da como resultado un SIL que normalmente excede el límite térmico del cable.

Ejemplos prácticos

La impedancia característica de los cables coaxiales (coax) se elige comúnmente en 50 Ω para aplicaciones de RF y microondas . El coaxial para aplicaciones de vídeo suele ser de 75 Ω por su menor pérdida.

Ver también

• Ley del circuito de Ampère  - Concepto en electromagnetismo clásico
• Impedancia acústica característica  : oposición que presenta un sistema a una presión acústica.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• La impedancia iterativa , la impedancia característica es un caso limitante de esto.
• Ecuaciones de Maxwell  : ecuaciones que describen el electromagnetismo clásico
• Impedancia de onda  : constante relacionada con la propagación de ondas electromagnéticas en un medio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Tela espacial  : plano hipotético con una resistividad de 376,7 ohmios por cuadrado.

Referencias

1. "The Telegrapher's Equation". mysite.du.edu. Retrieved 9 September 2018.
2. "Derivation of Characteristic Impedance of Transmission line". GATE ECE 2018. 16 April 2016. Archived from the original on 9 September 2018. Retrieved 9 September 2018.
3. Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew. "Section 22-6. A ladder network". The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2..
4. Lee, Thomas H. (2004). "2.5. Driving-point impedance of Iterated Structure". Planar Microwave Engineering: a Practical Guide to Theory, Measurement, and Circuits. Cambridge University Press. p. 44.
5. Niknejad, Ali M. (2007). "Section 9.2. An Infinite Ladder Network.". Electromagnetics for high-speed analog and digital communication circuits.
6. Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew. "Section 22-7. Filter". The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. If we imagine the line as broken up into small lengths Δℓ, each length will look like one section of the L-C ladder with a series inductance ΔL and a shunt capacitance ΔC. We can then use our results for the ladder filter. If we take the limit as Δℓ goes to zero, we have a good description of the transmission line. Notice that as Δℓ is made smaller and smaller, both ΔL and ΔC decrease, but in the same proportion, so that the ratio ΔL/ΔC remains constant. So if we take the limit of Eq. (22.28) as ΔL and ΔC go to zero, we find that the characteristic impedance z0 is a pure resistance whose magnitude is √(ΔL/ΔC). We can also write the ratio ΔL/ΔC as L0/C0, where L0 and C0 are the inductance and capacitance of a unit length of the line; then we have ${\displaystyle {\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}}$.
7. Lee, Thomas H. (2004). "2.6.2. Characteristic Impedance of a Lossy Transmission Line". Planar Microwave Engineering: a Practical Guide to Theory, Measurement, and Circuits. Cambridge University Press. p. 47.
8. "Characteristic Impedance". www.ee.scu.edu. Archived from the original on 2017-05-19. Retrieved 2018-09-09.
9. "SuperCat OUTDOOR CAT 5e U/UTP" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-03-16.
10. "Chapter 2 – Hardware". USB in a NutShell. Beyond Logic.org. Retrieved 2007-08-25.
11. "Pautas de diseño de PCB DisplayPort AN10798" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 29 de diciembre de 2019 .
12. "Evaluación" (PDF) . materias.fi.uba.ar. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 29 de diciembre de 2019 .
13. "VMM5FL" (PDF) . Hojas de datos de vídeo profesional. Archivado desde el original (PDF) el 2 de abril de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2016 .
14. Singh 2008, pág. 212.

Fuentes

• Astucia, AE (1977). Sistemas de Energía Eléctrica . ISBN 0-08-021729-X.
• Pozar, DM (febrero de 2004). Ingeniería de microondas (3ª ed.). ISBN 0-471-44878-8.
• Ulaby, PIE (2004). Fundamentos de electromagnética aplicada (edición de medios). Prentice Hall. ISBN 0-13-185089-X.
• Singh, SN (23 de junio de 2008). Generación de energía eléctrica: transmisión y distribución (2 ed.). PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 212.ISBN​ 9788120335608. OCLC  1223330325.

enlaces externos

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