Relaciones Kramers-Kronig

Tipo de relación matemática

Las relaciones de Kramers-Kronig son relaciones matemáticas bidireccionales que conectan las partes real e imaginaria de cualquier función compleja que sea analítica en el semiplano superior . Las relaciones se utilizan a menudo para calcular la parte real a partir de la parte imaginaria (o viceversa) de funciones de respuesta en sistemas físicos , porque para sistemas estables, la causalidad implica la condición de analiticidad y, a la inversa, la analiticidad implica la causalidad del correspondiente sistema físico estable. . ^[1] La relación lleva el nombre de Ralph Kronig y Hans Kramers . ^{[2] [3]} En matemáticas , estas relaciones se conocen con los nombres de teorema de Sokhotski-Plemelj y transformada de Hilbert .

Formulación

Ilustración de una de las relaciones Kramers-Kronig, determinando la parte real de la susceptibilidad dada la parte imaginaria.

Sea una función compleja de la variable compleja , donde y son reales . Supongamos que esta función es analítica en el semiplano superior cerrado de y tiende a ser . Las relaciones Kramers-Kronig están dadas por ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}$$

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',}$$

valor principal de Cauchy ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Derivación

Contorno integral para derivar las relaciones Kramers-Kronig

La prueba comienza con una aplicación del teorema del residuo de Cauchy para la integración compleja. Dada cualquier función analítica en el semiplano superior cerrado, la función , donde es real, es analítica en el semiplano superior (abierto). En consecuencia, el teorema del residuo establece que ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0}$$

contornopolo ${\displaystyle \omega '=\omega }$ ${\displaystyle |\omega '|}$ ${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}}$ ${\displaystyle 1/|\omega '|}$

$${\displaystyle 0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$$

El segundo término de la última expresión se obtiene utilizando la teoría de los residuos, ^[4] más concretamente, el teorema de Sokhotski-Plemelj . Reordenando, llegamos a la forma compacta de las relaciones Kramers-Kronig:

$${\displaystyle \chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '.}$$

El único en el denominador efectúa la conexión entre los componentes real e imaginario. Finalmente, divida y la ecuación en sus partes real e imaginaria para obtener las formas citadas anteriormente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Interpretación física y forma alternativa.

El formalismo de Kramers-Kronig se puede aplicar a funciones de respuesta . En ciertos sistemas físicos lineales, o en campos de la ingeniería como el procesamiento de señales , la función de respuesta describe cómo alguna propiedad dependiente del tiempo de un sistema físico responde a una fuerza de impulso en el tiempo. Por ejemplo, podría ser el ángulo de un péndulo y la fuerza aplicada. de un motor que impulsa el movimiento pendular. La respuesta debe ser cero ya que un sistema no puede responder a una fuerza antes de que se aplique. Se puede demostrar (por ejemplo, invocando el teorema de Titchmarsh ) que esta condición de causalidad implica que la transformada de Fourier es analítica en el semiplano superior. ^[5] Además, si el sistema está sujeto a una fuerza oscilatoria con una frecuencia mucho más alta que su frecuencia de resonancia más alta, casi no habrá tiempo para que el sistema responda antes de que la fuerza haya cambiado de dirección, por lo que la respuesta de frecuencia convergerá. a cero a medida que se vuelve muy grande. De estas consideraciones físicas se deduce que normalmente se cumplirán las condiciones necesarias para las relaciones Kramers-Kronig. ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t')}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle t<t'}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

La parte imaginaria de una función de respuesta describe cómo un sistema disipa energía , ya que está en fase con la fuerza impulsora . ^{[ cita necesaria ]} Las relaciones Kramers-Kronig implican que observar la respuesta disipativa de un sistema es suficiente para determinar su respuesta desfasada (reactiva), y viceversa.

Las integrales van desde hasta , lo que implica que conocemos la respuesta en frecuencias negativas. Afortunadamente, en la mayoría de los sistemas físicos, la respuesta de frecuencia positiva determina la respuesta de frecuencia negativa porque es la transformada de Fourier de una respuesta de valor real . Haremos esta suposición de ahora en adelante. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

Como consecuencia, . Esta media es una función par de la frecuencia y es impar . ${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

Usando estas propiedades, podemos contraer los rangos de integración a . Consideremos la primera relación, que da la parte real . Transformamos la integral en una de paridad definida multiplicando el numerador y denominador del integrando por y separando: ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega '+\omega }$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Como es impar, la segunda integral desaparece y nos queda ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

La misma derivación para la parte imaginaria da

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Éstas son las relaciones de Kramers-Kronig en una forma que resulta útil para funciones de respuesta físicamente realistas.

Prueba relacionada del dominio del tiempo

Hu ^[6] y Hall y Heck ^[7] dan una prueba relacionada y posiblemente más intuitiva que evita la integración de contornos. Se basa en los hechos que:

• Una respuesta de impulso causal se puede expresar como la suma de una función par y una función impar, donde la función impar es la función par multiplicada por la función de signo .
• Las partes pares e impares de una forma de onda en el dominio del tiempo corresponden a las partes real e imaginaria de su integral de Fourier, respectivamente.
• La multiplicación por la función de signo en el dominio del tiempo corresponde a la transformada de Hilbert (es decir, convolución por el núcleo de Hilbert ) en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle 1/\pi \omega }$

La combinación de las fórmulas proporcionadas por estos hechos produce las relaciones Kramers-Kronig. Esta prueba cubre un terreno ligeramente diferente de la anterior en el sentido de que relaciona las partes real e imaginaria en el dominio de la frecuencia de cualquier función que sea causal en el dominio del tiempo, ofreciendo un enfoque algo diferente de la condición de analiticidad en el semiplano superior de el dominio de la frecuencia.

También está disponible un artículo con una versión pictórica e informal de esta prueba. ^[8]

Relación magnitud (ganancia)-fase

La forma convencional de Kramers-Kronig anterior relaciona la parte real e imaginaria de una función de respuesta compleja. Un objetivo relacionado es encontrar una relación entre la magnitud y la fase de una función de respuesta compleja.

En general, lamentablemente, la fase no se puede predecir únicamente a partir de la magnitud. ^[9] Un ejemplo simple de esto es un retardo de tiempo puro de tiempo T , que tiene amplitud 1 en cualquier frecuencia independientemente de T , pero tiene una fase que depende de T (específicamente, fase = 2 π × T × frecuencia).

Sin embargo, existe una relación única amplitud versus fase en el caso especial de un sistema de fase mínima , ^[9] a veces llamada relación ganancia-fase de Bode . Los términos relaciones de Bayard-Bode y teorema de Bayard-Bode , inspirados en los trabajos de Marcel Bayard (1936) y Hendrik Wade Bode (1945), también se utilizan para las relaciones de Kramers-Kronig en general o para la relación amplitud-fase en particular. en los campos de las telecomunicaciones y la teoría del control . ^{[10] [11]}

Aplicaciones en física

Índice de refracción complejo

Las relaciones de Kramers-Kronig se utilizan para relacionar las porciones real e imaginaria del índice de refracción complejo de un medio, donde es el coeficiente de extinción . ^[12] Por lo tanto, en efecto, esto también se aplica a la permitividad relativa compleja y a la susceptibilidad eléctrica . ^[13] ${\displaystyle {\tilde {n}}=n+i\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Actividad óptica

Las relaciones Kramers-Kronig establecen una conexión entre la dispersión rotatoria óptica y el dicroísmo circular .

Magnetoóptica

Las relaciones Kramers-Kronig permiten soluciones exactas de problemas de dispersión no triviales, que encuentran aplicaciones en magnetoóptica. ^[14]

espectroscopia electrónica

En espectroscopia de pérdida de energía de electrones , el análisis de Kramers-Kronig permite calcular la dependencia energética de las partes real e imaginaria de la permitividad óptica de la luz de una muestra , junto con otras propiedades ópticas como el coeficiente de absorción y la reflectividad . ^[15]

En resumen, midiendo el número de electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV) que pierden una determinada cantidad de energía al atravesar una muestra muy delgada (aproximación de dispersión única), se puede calcular la parte imaginaria de la permitividad a esa energía. Utilizando estos datos con el análisis de Kramers-Kronig, también se puede calcular la parte real de la permitividad (en función de la energía).

Esta medición se realiza con electrones, en lugar de con luz, y se puede realizar con una resolución espacial muy alta. De este modo se podrían, por ejemplo, buscar bandas de absorción ultravioleta (UV) en una muestra de laboratorio de polvo interestelar de menos de 100 nm de diámetro, es decir, demasiado pequeñas para la espectroscopia UV. Aunque la espectroscopia electrónica tiene una resolución de energía peor que la espectroscopia de luz, en el mismo experimento se pueden registrar datos sobre propiedades en los rangos espectrales visible, ultravioleta y de rayos X suaves .

En la espectroscopia de fotoemisión con resolución angular, las relaciones de Kramers-Kronig se pueden utilizar para vincular las partes real e imaginaria de la autoenergía de los electrones . Esto es característico de la interacción de muchos cuerpos que experimenta el electrón en el material. Ejemplos notables están en los superconductores de alta temperatura , donde se observan torceduras correspondientes a la parte real de la autoenergía en la dispersión de la banda y también se observan cambios en el ancho del MDC correspondientes a la parte imaginaria de la autoenergía. ^[dieciséis]

dispersión hadrónica

Las relaciones de Kramers-Kronig también se utilizan bajo el nombre de "relaciones de dispersión integrales" en referencia a la dispersión hadrónica . ^[17] En este caso, la función es la amplitud de dispersión. Mediante el uso del teorema óptico, la parte imaginaria de la amplitud de dispersión se relaciona con la sección transversal total , que es una cantidad físicamente mensurable.

dispersión de electrones

De manera similar a la dispersión hadrónica, las relaciones de Kramers-Kronig se emplean en la dispersión de electrones de alta energía . En particular, entran en la derivación de la regla de la suma de Gerasimov-Drell-Hearn . ^[18]

Geofísica

Para la propagación de ondas sísmicas, la relación Kramer-Kronig ayuda a encontrar la forma correcta del factor de calidad en un medio atenuante. ^[19]

Espectroscopía de impedancia electroquímica

La prueba de Kramers-Kronig se utiliza en aplicaciones de baterías y pilas de combustible ( espectroscopia dieléctrica ) para comprobar la linealidad , la causalidad y la estacionariedad . Dado que en la práctica no es posible obtener datos en todo el rango de frecuencias, como requiere la fórmula de Kramers-Kronig, necesariamente se realizan aproximaciones.

A frecuencias altas (> 1 MHz), normalmente es seguro asumir que la impedancia está dominada por la resistencia óhmica del electrolito, aunque a menudo se observan artefactos de inductancia .

A bajas frecuencias, la prueba KK se puede utilizar para verificar si los datos experimentales son confiables. En la práctica con baterías, los datos obtenidos con experimentos de duración inferior a un minuto normalmente no pasan la prueba para frecuencias inferiores a 10 Hz. Por lo tanto, se debe tener cuidado al interpretar dichos datos. ^[20]

En la práctica de la electroquímica, debido al rango de frecuencia finito de los datos experimentales, se utiliza la relación Z-HIT en lugar de las relaciones de Kramers-Kronig. A diferencia de Kramers-Kronig (que está escrito para un rango de frecuencia infinito), la integración Z-HIT requiere solo un rango de frecuencia finito. Además, Z-HIT es más robusto con respecto al error en Re e Im de impedancia, ya que su precisión depende principalmente de la exactitud de los datos de fase.

Ver también

• Dispersión (óptica)
• Función de respuesta lineal
• Continuación analítica numérica

Referencias

Citas

1. John S. Peaje (1956). "Causalidad y relación de dispersión: fundamentos lógicos". Revisión física . 104 (6): 1760-1770. Código bibliográfico : 1956PhRv..104.1760T. doi : 10.1103/PhysRev.104.1760.
2. R. de L. Kronig (1926). "Sobre la teoría de la dispersión de los rayos X". J. Optar. Soc. Soy . 12 (6): 547–557. doi :10.1364/JOSA.12.000547.
3. HA Kramers (1927). "La difusión de la luz par les atomes". Atti Cong. Interno. Fisici, (Transacciones del Congreso del Centenario de la Volta) Como . 2 : 545–557.
4. G. Arfken (1985). Métodos matemáticos para físicos . Orlando: Prensa académica. ISBN 0-12-059877-9.
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8. Colin Warwick. "Comprensión de la relación Kramers-Kronig mediante una prueba pictórica" ​​(PDF) .
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12. Zorro, Mark (2010). Propiedades ópticas de los sólidos (2 ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 44-46. ISBN 978-0-19-957337-0.
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Fuentes

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