Relación lineal

Tipo de ecuación matemática

En álgebra lineal , una relación lineal , o simplemente relación , entre elementos de un espacio vectorial o un módulo es una ecuación lineal que tiene estos elementos como solución.

Más precisamente, si son elementos de un módulo (izquierdo) M sobre un anillo R (el caso de un espacio vectorial sobre un cuerpo es un caso especial), una relación entre es una secuencia de elementos de R tal que ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

Las relaciones entre forman un módulo. En general, se está interesado en el caso en el que es un conjunto generador de un módulo finitamente generado M , en cuyo caso el módulo de las relaciones se suele llamar módulo sicigiesco de M . El módulo sicigiesco depende de la elección de un conjunto generador, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Es decir, si y son módulos sicigiescos correspondientes a dos conjuntos generadores del mismo módulo, entonces son isomorfos de manera estable , lo que significa que existen dos módulos libres y tales que y son isomorfos . ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Los módulos de sicigia de orden superior se definen recursivamente: un primer módulo de sicigia de un módulo M es simplemente su módulo de sicigia. Para k > 1 , un k -ésimo módulo de sicigia de M es un módulo de sicigia de un ( k – 1) -ésimo módulo de sicigia. El teorema de sicigia de Hilbert establece que, si es un anillo polinomial en n indeterminados sobre un cuerpo, entonces cada n -ésimo módulo de sicigia es libre. El caso n = 0 es el hecho de que cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso n = 1 es el hecho de que K [ x ] es un dominio ideal principal y que cada submódulo de un módulo K [ x ] libre finitamente generado también es libre. ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

La construcción de módulos de sicigia de orden superior se generaliza como la definición de resoluciones libres , lo que permite reformular el teorema de sicigia de Hilbert como un anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo que tiene dimensión homológica global n .

Si a y b son dos elementos del anillo conmutativo R , entonces ( b , – a ) es una relación que se dice trivial . El módulo de relaciones triviales de un ideal es el submódulo del primer módulo de sicigia del ideal que se genera por las relaciones triviales entre los elementos de un conjunto generador de un ideal. El concepto de relaciones triviales se puede generalizar a módulos de sicigia de orden superior, y esto conduce al concepto de complejo de Koszul de un ideal, que proporciona información sobre las relaciones no triviales entre los generadores de un ideal.

Definiciones básicas

Sea R un anillo y M un módulo R izquierdo . Una relación lineal , o simplemente una relación entre k elementos de M, es una secuencia de elementos de R tal que ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

Si es un conjunto generador de M , la relación a menudo se denomina sicigia de M . Tiene sentido llamarla sicigia de sin tener en cuenta porque, aunque el módulo de sicigia depende del conjunto generador elegido, la mayoría de sus propiedades son independientes; consulte § Propiedades estables, a continuación. ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$

Si el anillo R es noetheriano o, al menos, coherente , y si M es finitamente generado , entonces el módulo de sicigia también es finitamente generado. Un módulo de sicigia de este módulo de sicigia es un segundo módulo de sicigia de M. Continuando de esta manera, se puede definir un k- ésimo módulo de sicigia para cada entero positivo k .

El teorema de sicigia de Hilbert afirma que, si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo de polinomios sobre un cuerpo , entonces cualquier n- ésimo módulo de sicigia es un módulo libre . ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Propiedades estables

En términos generales, en el lenguaje de la teoría K , una propiedad es estable si se cumple al realizar una suma directa con un módulo libre suficientemente grande . Una propiedad fundamental de los módulos de sicigias es que existen opciones "establemente independientes" de conjuntos generadores para los módulos involucrados. El siguiente resultado es la base de estas propiedades estables.

Proposición  —  Sea un conjunto generador de un R -módulo M , y sean otros elementos de M . El módulo de las relaciones entre es la suma directa del módulo de las relaciones entre y un módulo libre de rango n . ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$

Demostración. Como es un conjunto generador, cada uno puede escribirse Esto proporciona una relación entre Ahora bien, si es cualquier relación, entonces es una relación entre el único. En otras palabras, cada relación entre es una suma de una relación entre y una combinación lineal de los s. Es sencillo demostrar que esta descomposición es única, y esto demuestra el resultado. ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$ ${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Esto demuestra que el primer módulo de sicigia es "establemente único". Más precisamente, dados dos conjuntos generadores y de módulo M , si y son los módulos correspondientes de las relaciones, entonces existen dos módulos libres y tales que y son isomorfos. Para demostrarlo, basta aplicar dos veces la proposición precedente para obtener dos descomposiciones del módulo de las relaciones entre la unión de los dos conjuntos generadores. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Para obtener un resultado similar para módulos de sicigia superiores, queda por demostrar que, si M es un módulo cualquiera y L es un módulo libre, entonces M y M ⊕ L tienen módulos de sicigia isomorfos. Basta con considerar un conjunto generador de M ⊕ L que consta de un conjunto generador de M y una base de L . Para cada relación entre los elementos de este conjunto generador, los coeficientes de los elementos de la base de L son todos cero, y las sicigias de M ⊕ L son exactamente las sicigias de M extendidas con coeficientes cero. Esto completa la demostración del siguiente teorema.

Teorema  :  Para cada entero positivo k , el k -ésimo módulo sicigótico de un módulo dado depende de la elección de los grupos electrógenos, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Más precisamente, si y son k- ésimos módulos sicigóticos que se obtienen con diferentes elecciones de grupos electrógenos, entonces hay módulos libres y tales que y son isomorfos. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Relación con resoluciones libres

Dado un conjunto generador de un módulo R , se puede considerar un módulo libre de L de base donde son nuevas indeterminadas. Esto define una sucesión exacta ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde la flecha izquierda es el mapa lineal que asigna cada uno al correspondiente El núcleo de esta flecha izquierda es un primer módulo de sicigia de M. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}.}$

Se puede repetir esta construcción con este núcleo en lugar de M. Repitiendo una y otra vez esta construcción, se obtiene una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde todos son módulos libres. Por definición, una secuencia exacta tan larga es una resolución libre de M . ${\displaystyle L_{i}}$

Para cada k ≥ 1 , el núcleo de la flecha que parte de es un k -ésimo módulo de sicigia de M . De ello se deduce que el estudio de resoluciones libres es el mismo que el estudio de módulos de sicigia. ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle L_{k-1}}$

Una resolución libre es finita de longitud ≤ n si es libre. En este caso, se puede tomar y (el módulo cero ) para cada k > n . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$ ${\displaystyle L_{k}=0}$

Esto permite reformular el teorema de sicigia de Hilbert : si es un anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo K , entonces cada resolución libre es finita de longitud como máximo n . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

La dimensión global de un anillo noetheriano conmutativo es infinita o el mínimo n tal que cada resolución libre es finita de longitud como máximo n . Un anillo noetheriano conmutativo es regular si su dimensión global es finita. En este caso, la dimensión global es igual a su dimensión de Krull . Por lo tanto, el teorema de sicigia de Hilbert puede reformularse en una oración muy corta que esconde mucha matemática: Un anillo polinómico sobre un cuerpo es un anillo regular.

Relaciones triviales

En un anillo conmutativo R , siempre se tiene ab – ba = 0 . Esto implica trivialmente que ( b , – a ) es una relación lineal entre a y b . Por lo tanto, dado un conjunto generador de un ideal I , se llama relación trivial o sicigia trivial a todo elemento del submódulo del módulo de sicigia que se genera por estas relaciones triviales entre dos elementos generadores. Más precisamente, el módulo de sicigias triviales se genera por las relaciones ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

tal que y de otra manera. ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$ ${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$ ${\displaystyle x_{h}=0}$

Historia

La palabra sicigia llegó a las matemáticas con el trabajo de Arthur Cayley . ^[1] En ese artículo, Cayley la utilizó en la teoría de resultantes y discriminantes . ^[2] Como la palabra sicigia se usaba en astronomía para denotar una relación lineal entre planetas, Cayley la usó para denotar relaciones lineales entre menores de una matriz, como, en el caso de una matriz 2×3:

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

Luego, la palabra sicigia fue popularizada (entre los matemáticos) por David Hilbert en su artículo de 1890, que contiene tres teoremas fundamentales sobre polinomios, el teorema de sicigia de Hilbert , el teorema de la base de Hilbert y el Nullstellensatz de Hilbert .

En su artículo, Cayley hace uso, en un caso especial, de lo que más tarde ^[3] se denominó complejo de Koszul , en honor a una construcción similar en geometría diferencial realizada por el matemático Jean-Louis Koszul .

Notas

1. 1847[Cayley 1847] A. Cayley, “Sobre la teoría de la involución en geometría”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. Véase también Collected Papers, vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
2. [Gel'fand et al. 1994] IM Gel'fand, MM Kapranov y AV Zelevinsky, Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales, Matemáticas: teoría y aplicaciones, Birkhäuser, Boston, 1994.
3. Serre, local de Jean-Pierre Algèbre. Multiplicidades. (Francés) Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé par Pierre Gabriel. Segunda edición, 1965. Lecture Notes in Mathematics, 11 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York 1965 vii+188 págs.; ésta es la forma publicada de notas mimeografiadas de las conferencias de Serre en el College de France en 1958.

Referencias

• Cox, David; Little, John; O'Shea, Donal (2007). "Ideales, variedades y algoritmos". Textos de pregrado en matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN  0172-6056.
• Cox, David; Little, John; O'Shea, Donal (2005). "Uso de la geometría algebraica". Textos de posgrado en matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b138611. ISBN. 0-387-20706-6.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN . 0-387-94268-8.
• David Eisenbud, La geometría de las sicigias, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 229, Springer, 2005.