En geometría diferencial clásica , la relación de Clairaut , llamada así por Alexis Claude de Clairaut , es una fórmula que caracteriza las trayectorias de los círculos máximos en la esfera unitaria . La fórmula establece que si γ es una parametrización de un círculo máximo, entonces
donde ρ ( P ) es la distancia desde un punto P en el círculo máximo hasta el eje z , y ψ ( P ) es el ángulo entre el círculo máximo y el meridiano que pasa por el punto P .
La relación sigue siendo válida para una geodésica sobre una superficie arbitraria de revolución .
Una exposición de la versión general de la relación de Clairaut es: [1]
Sea γ una geodésica en una superficie de revolución S , sea ρ la distancia de un punto de S al eje de rotación y sea ψ el ángulo entre γ y el meridiano de S . Entonces ρ sen ψ es constante a lo largo de γ. Por el contrario, si ρ sen ψ es constante a lo largo de alguna curva γ en la superficie y si ninguna parte de γ es parte de algún paralelo de S , entonces γ es una geodésica.
— Andrew Pressley: Geometría diferencial elemental , pág. 183
Pressley (p. 185) explica este teorema como una expresión de la conservación del momento angular alrededor del eje de revolución cuando una partícula se mueve a lo largo de una geodésica sin otras fuerzas que las que la mantienen en la superficie.
