Superficie de revolución

Superficie creada al rotar una curva alrededor de un eje

Una porción de la curva x = 2 + cos( z ) girada alrededor del eje z

Un toro como un cuadrado gira alrededor de un eje paralelo a una de sus diagonales.

Una superficie de revolución es una superficie en el espacio euclidiano creada al rotar una curva (la generatriz ) una revolución completa alrededor de un eje de rotación (normalmente no interseca la generatriz, excepto en sus puntos finales). ^[1] El volumen delimitado por la superficie creada por esta revolución es el sólido de revolución .

Ejemplos de superficies de revolución generadas por una línea recta son las superficies cilíndricas y cónicas según que la línea sea o no paralela al eje. Un círculo que se hace girar alrededor de un diámetro cualquiera genera una esfera de la que es entonces un círculo máximo , y si el círculo se hace girar alrededor de un eje que no interseca el interior de un círculo, entonces genera un toro que no se interseca a sí mismo (un toro anular ).

Propiedades

Las secciones de la superficie de revolución realizadas por planos que pasan por el eje se denominan secciones meridionales . Cualquier sección meridional puede considerarse como la generatriz en el plano determinado por ella y el eje. ^[2]

Las secciones de la superficie de revolución formadas por planos perpendiculares al eje son círculos.

Algunos casos especiales de hiperboloides (de una o dos láminas) y paraboloides elípticos son superficies de revolución. Se pueden identificar como aquellas superficies cuadráticas cuyas secciones transversales perpendiculares al eje son todas circulares.

Fórmula del área

Si la curva se describe mediante las funciones paramétricas x ( t ) , y ( t ) , con t en un intervalo [ a , b ] , y el eje de revolución es el eje y , entonces el área superficial A _y está dada por la integral siempre que x ( t ) nunca sea negativo entre los puntos finales a y b . Esta fórmula es el equivalente en cálculo del teorema del centroide de Pappus . ^[3] La cantidad proviene del teorema de Pitágoras y representa un pequeño segmento del arco de la curva, como en la fórmula de la longitud del arco . La cantidad 2π x ( t ) es la trayectoria de (el centroide de) este pequeño segmento, como lo requiere el teorema de Pappus. $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$$

De la misma manera, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y ( t ) nunca sea negativo, el área viene dada por ^[4] $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$$

Si la curva continua se describe mediante la función y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , entonces la integral se convierte en para la revolución alrededor del eje x y para la revolución alrededor del eje y (siempre que a ≥ 0 ). Estos provienen de la fórmula anterior. ^[5] $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$$ $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Esto también se puede derivar de la integración multivariable. Si una curva plana está dada por entonces su superficie de revolución correspondiente cuando gira alrededor del eje x tiene coordenadas cartesianas dadas por con . Entonces el área de la superficie está dada por la integral de superficie ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ $${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

Al calcular las derivadas parciales se obtiene y al calcular el producto vectorial se obtiene donde se utilizó la identidad trigonométrica . Con este producto vectorial, obtenemos donde se utilizó nuevamente la misma identidad trigonométrica. La derivación para una superficie obtenida al girar alrededor del eje y es similar. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, la superficie esférica con radio unitario se genera mediante la curva y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , cuando t varía en [0,π] . Por lo tanto, su área es $${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$$

Para el caso de la curva esférica con radio r , y ( x ) = √ r ² − x ² rotada sobre el eje x $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$$

Una superficie de revolución mínima es la superficie de revolución de la curva entre dos puntos dados que minimiza el área de superficie . ^[6] Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produce esta superficie de revolución mínima. ^[6]

Sólo hay dos superficies de revolución mínimas ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y el catenoide . ^[7]

Expresiones de coordenadas

Una superficie de revolución dada al rotar una curva descrita por alrededor del eje x puede describirse de manera más simple mediante . Esto produce la parametrización en términos de y como . Si, en cambio, rotamos la curva alrededor del eje y, entonces la curva se describe mediante , lo que produce la expresión en términos de los parámetros y . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$ ${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Si x e y se definen en términos de un parámetro , entonces obtenemos una parametrización en términos de y . Si y son funciones de , entonces la superficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje x se describe por , y la superficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje y se describe por . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$

Geodésicas

Los meridianos son siempre geodésicas sobre una superficie de revolución. Las demás geodésicas se rigen por la relación de Clairaut . ^[8]

Toroides

Un toroide generado a partir de un cuadrado

Una superficie de revolución con un agujero en el interior, donde el eje de revolución no interseca la superficie, se llama toroide. ^[9] Por ejemplo, cuando un rectángulo se gira alrededor de un eje paralelo a una de sus aristas, se produce un anillo hueco de sección cuadrada. Si la figura girada es un círculo , entonces el objeto se llama toro .

Véase también

• Superficie de canal , una generalización de una superficie de revolución
• Cuerno de Gabriel
• Helicoide generalizado
• Limón (geometría) , superficie de revolución de un arco circular.
• Superficie de Liouville , otra generalización de una superficie de revolución
• Esferoide
• Integral de superficie
• Superficie de traslación (geometría diferencial)

Referencias

1. Middlemiss; Marks; Smart. "15-4. Superficies de revolución". Geometría analítica (3.ª ed.). pág. 378. LCCN  68015472.
2. Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath and Co., pág. 227
3. Thomas, George B. "6.7: Área de una superficie de revolución; 6.11: Los teoremas de Pappus". Cálculo (3.ª ed.). págs. 206-209, 217-219. LCCN  69016407.
4. Singh, RR (1993). Matemáticas de ingeniería (6.ª ed.). Tata McGraw-Hill. pág. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
5. Swokowski, Earl W. (1983). Cálculo con geometría analítica (edición alternativa). Prindle, Weber & Schmidt. pág. 617. ISBN 0-87150-341-7.
6. Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de revolución". MathWorld .
7. Weisstein, Eric W. "Catenoide". MathWorld .
8. Pressley, Andrew. “Capítulo 9 - Geodésicas”. Elementary Differential Geometry , 2.ª ed., Springer, Londres, 2012, págs. 227-230.
9. Weisstein, Eric W. "Toroide". MathWorld .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie de revolución". MathWorld .
• "Superficie de revolución". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).