En geometría y teoría de grupos matemáticos , una red unimodular es una red integral de determinante 1 o −1. Para una red en un espacio euclidiano n -dimensional , esto es equivalente a exigir que el volumen de cualquier dominio fundamental de la red sea 1.
La red E 8 y la red Leech son dos ejemplos famosos.
Los tres ejemplos más importantes de redes unimodulares son:
Una red integral es unimodular si y solo si su red dual es integral. Las redes unimodulares son iguales a sus redes duales y, por esta razón, las redes unimodulares también se conocen como autoduales.
Dado un par ( m , n ) de números enteros no negativos, existe una red unimodular par de signatura ( m , n ) si y solo si m − n es divisible por 8, pero siempre existe una red unimodular impar de signatura ( m , n ). En particular, las redes definidas unimodulares pares solo existen en dimensión divisible por 8. Los ejemplos en todas las signaturas admisibles se dan mediante las construcciones II m,n e I m,n , respectivamente.
La función theta de una red unimodular positiva definida es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si la red es par, la forma tiene nivel 1, y si la red es impar, la forma tiene estructura Γ 0 (4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido a la dimensión límite en los espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector distinto de cero de una red unimodular par no es mayor que ⎣ n /24⎦ + 1. Una red unimodular par que alcanza este límite se llama extremal. Las redes unimodulares pares extremas se conocen en dimensiones relevantes hasta 80, [1] y su inexistencia se ha demostrado para dimensiones superiores a 163,264. [2]
Para redes indefinidas, la clasificación es fácil de describir. Escriba R m , n para el espacio vectorial de dimensión m + n R m + n con el producto interno de ( a 1 , ..., a m + n ) y ( b 1 , ..., b m + n ) dado por
En R m , n hay una red unimodular indefinida impar hasta el isomorfismo , denotada por
que viene dada por todos los vectores ( a 1 ,..., a m + n ) en R m , n con todos los a i enteros.
No existen redes unimodulares indefinidas, a menos que
en cuyo caso hay un ejemplo único hasta el isomorfismo, denotado por
Esto se da por todos los vectores ( a 1 ,..., a m + n ) en R m , n tales que o bien todos los a i son números enteros o son todos números enteros más 1/2, y su suma es par. La red II 8,0 es la misma que la red E 8 .
Las redes unimodulares definidas positivas se han clasificado hasta la dimensión 25. Hay un único ejemplo I n ,0 en cada dimensión n menor que 8, y dos ejemplos ( I 8,0 y II 8,0 ) en dimensión 8. El número de redes aumenta moderadamente hasta la dimensión 25 (donde hay 665 de ellas), pero más allá de la dimensión 25 la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel implica que el número aumenta muy rápidamente con la dimensión; por ejemplo, hay más de 80.000.000.000.000.000 en la dimensión 32.
En cierto sentido, las redes unimodulares hasta la dimensión 9 están controladas por E 8 , y hasta la dimensión 25 están controladas por la red Leech, y esto explica su comportamiento inusualmente bueno en estas dimensiones. Por ejemplo, el diagrama de Dynkin de los vectores de norma-2 de redes unimodulares en dimensión hasta 25 se puede identificar naturalmente con una configuración de vectores en la red Leech. El aumento salvaje en números más allá de 25 dimensiones podría atribuirse al hecho de que estas redes ya no están controladas por la red Leech.
Incluso las redes unimodulares definidas positivas existen sólo en dimensiones divisibles por 8. Hay una en dimensión 8 (la red E 8 ), dos en dimensión 16 ( E 8 2 y II 16,0 ), y 24 en dimensión 24, llamadas redes de Niemeier (ejemplos: la red Leech , II 24,0 , II 16,0 + II 8,0 , II 8,0 3 ). Más allá de 24 dimensiones el número aumenta muy rápidamente; en 32 dimensiones hay más de mil millones de ellas.
Las redes unimodulares sin raíces (vectores de norma 1 o 2) se han clasificado hasta la dimensión 28. No hay ninguna de dimensión menor que 23 (¡excepto la red cero!). Hay una en dimensión 23 (llamada red Leech corta ), dos en dimensión 24 (la red Leech y la red Leech impar ), y Bacher y Venkov (2001) demostraron que hay 0, 1, 3, 38 en dimensiones 25, 26, 27, 28, respectivamente. Más allá de esto, el número aumenta muy rápidamente; hay al menos 8000 en dimensión 29. En dimensiones suficientemente altas, la mayoría de las redes unimodulares no tienen raíces.
El único ejemplo distinto de cero de redes unimodulares definidas positivas sin raíces en dimensión menor que 32 es la red Leech en dimensión 24. En dimensión 32 hay más de diez millones de ejemplos, y por encima de dimensión 32 el número aumenta muy rápidamente.
La siguiente tabla de (King 2003) proporciona el número de (o límites inferiores para) redes unimodulares pares o impares en varias dimensiones, y muestra el crecimiento muy rápido que comienza poco después de la dimensión 24.
Más allá de las 32 dimensiones, los números aumentan aún más rápidamente.
El segundo grupo de cohomología de una 4-variedad topológica orientada , simplemente conexa y cerrada es una red unimodular. Michael Freedman demostró que esta red casi determina la variedad : existe una única variedad de este tipo para cada red unimodular par, y exactamente dos para cada red unimodular impar. En particular, si tomamos la red como 0, esto implica la conjetura de Poincaré para variedades topológicas de 4 dimensiones. El teorema de Donaldson establece que si la variedad es lisa y la red es definida positiva, entonces debe ser una suma de copias de Z , por lo que la mayoría de estas variedades no tienen una estructura lisa . Un ejemplo de ello es la variedad .
