Estructura suave

Atlas máximo y suave para una variedad topológica

En matemáticas , una estructura suave en una variedad permite una noción inequívoca de función suave . En particular, una estructura suave permite realizar análisis matemáticos en la variedad. ^[1]

Definición

Una estructura suave en una variedad es una colección de atlas suaves equivalentes. Aquí, un atlas suave para una variedad topológica es un atlas para tal que cada función de transición es una función suave , y dos atlas suaves para son suavemente equivalentes siempre que su unión sea nuevamente un atlas suave para Esto da una relación de equivalencia natural en el conjunto de atlas suaves. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

Una variedad suave es una variedad topológica junto con una estructura suave en ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

Atlas lisos máximos

Al tomar la unión de todos los atlas que pertenecen a una estructura lisa, obtenemos un atlas liso máximo . Este atlas contiene todos los gráficos que son compatibles con la estructura lisa. Existe una correspondencia natural biunívoca entre las estructuras lisas y los atlas lisos máximos. Por lo tanto, podemos considerar una estructura lisa como un atlas liso máximo y viceversa.

En general, los cálculos con el atlas máximo de una variedad son bastante complicados. Para la mayoría de las aplicaciones, basta con elegir un atlas más pequeño. Por ejemplo, si la variedad es compacta , se puede encontrar un atlas con un número finito de gráficos.

Equivalencia de estructuras lisas

Si y son dos atlas máximos en las dos estructuras lisas asociadas a y se dice que son equivalentes si existe un difeomorfismo tal que ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle \mu \circ f=\nu .}$

Esferas exóticas

John Milnor demostró en 1956 que la esfera de siete dimensiones admite una estructura lisa que no es equivalente a la estructura lisa estándar. Una esfera dotada de una estructura lisa no estándar se denomina esfera exótica .

Colector E8

La variedad E8 es un ejemplo de variedad topológica que no admite una estructura lisa. Esto demuestra, en esencia, que el teorema de Rokhlin se cumple únicamente para estructuras lisas y no para variedades topológicas en general.

Estructuras relacionadas

Los requisitos de suavidad de las funciones de transición se pueden debilitar, de modo que solo se requiera que las funciones de transición sean continuamente diferenciables varias veces; o se pueden reforzar, de modo que se requiera que las funciones de transición sean real-analíticas. En consecuencia, esto da una estructura o (real-)analítica en la variedad en lugar de una suave. De manera similar, se puede definir una estructura compleja al requerir que las funciones de transición sean holomorfas. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Véase también

• Marco liso  – Generalización de una base ordenada de un espacio vectorialPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Atlas (topología)  : conjunto de gráficos que describen una variedad

Referencias

1. Callahan, James J. (1974). "Singularidades y mapas planos". Amer. Math. Monthly . 81 : 211–240. doi :10.2307/2319521.

• Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
• Lee, John M. (2006). Introducción a las variedades lisas. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de Lie compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.