Radio de giro

Distancia del centro de masa al eje de rotación

El radio de giro de un cuerpo sobre su eje de rotación se define como la distancia radial hasta un punto que tendría un momento de inercia igual a la distribución real de la masa del cuerpo, si la masa total del cuerpo estuviera concentrada allí. El radio de giro tiene dimensiones de distancia [L] o [M ⁰ LT ⁰ ] y la unidad del SI es el metro (m).

Formulación

Matemáticamente, el radio de giro es la distancia cuadrática media de las partes del objeto desde su centro de masa o desde un eje determinado, según la aplicación pertinente. En realidad, es la distancia perpendicular desde la masa puntual hasta el eje de rotación. Se puede representar la trayectoria de un punto en movimiento como un cuerpo. Luego, el radio de giro se puede utilizar para caracterizar la distancia típica recorrida por este punto.

Supongamos que un cuerpo está formado por partículas de masa . Sean sus distancias perpendiculares al eje de rotación. Entonces, el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}$

Si todas las masas son iguales ( ), entonces el momento de inercia es . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}$

Dado que ( es la masa total del cuerpo), ${\displaystyle m=M/n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

De las ecuaciones anteriores, tenemos

${\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

El radio de giro es la distancia cuadrática media de las partículas desde el eje. Fórmula

${\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Por lo tanto, el radio de giro de un cuerpo alrededor de un eje dado también puede definirse como la distancia cuadrática media de las distintas partículas del cuerpo respecto del eje de rotación. También se conoce como una medida de la forma en que se distribuye la masa de un cuerpo rígido giratorio alrededor de su eje de rotación.

Definición de la IUPAP

Radio de giro (en ciencia de polímeros) ( , unidad: nm o unidad SI: m): Para una macromolécula compuesta de elementos de masa, de masas , =1,2,…, , ubicadas a distancias fijas del centro de masa, el radio de giro es la raíz cuadrada del promedio de masa de todos los elementos de masa, es decir, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{2}}$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}}$

Nota: Los elementos de masa se toman generalmente como las masas de los grupos esqueléticos que constituyen la macromolécula, por ejemplo, –CH ₂ – en poli(metileno). ^[1]

Aplicaciones en ingeniería estructural

En ingeniería estructural , el radio de giro bidimensional se utiliza para describir la distribución del área de la sección transversal de una columna alrededor de su eje centroidal con la masa del cuerpo. El radio de giro se obtiene mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}$

Donde es el segundo momento del área y es el área de la sección transversal total. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$

El radio de giro es útil para estimar la rigidez de una columna. Si los momentos principales del tensor de giro bidimensional no son iguales, la columna tenderá a pandearse alrededor del eje con el momento principal más pequeño. Por ejemplo, una columna con una sección transversal elíptica tenderá a pandearse en la dirección del semieje más pequeño.

En ingeniería , donde los cuerpos continuos de materia son generalmente los objetos de estudio, el radio de giro suele calcularse como una integral.

Aplicaciones en mecánica

El radio de giro alrededor de un eje dado ( ) se puede calcular en términos del momento de inercia de masa alrededor de ese eje y la masa total m ; ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}}$ ${\displaystyle I_{\text{axis}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}}$

${\displaystyle I_{\text{axis}}}$es un escalar , y no es el tensor del momento de inercia . ^[2]

Aplicaciones moleculares

Definición de la IUPAC para el radio de giro

En física de polímeros , el radio de giro se utiliza para describir las dimensiones de una cadena de polímeros . El radio de giro de un homopolímero individual con un grado de polimerización N en un momento dado se define como: ^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}}$

donde es la posición media de los monómeros. Como se detalla a continuación, el radio de giro también es proporcional a la distancia cuadrática media entre los monómeros: ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

Como tercer método, el radio de giro también se puede calcular sumando los momentos principales del tensor de giro .

Dado que las conformaciones de cadena de una muestra de polímero son casi infinitas en número y cambian constantemente con el tiempo, el "radio de giro" del que se habla en física de polímeros debe entenderse normalmente como una media de todas las moléculas de polímero de la muestra y con el tiempo. Es decir, el radio de giro que se mide como un promedio en el tiempo o en el conjunto :

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle }$

donde los corchetes angulares indican el promedio del conjunto . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Una cadena de polímeros gobernada entrópicamente (es decir, en las llamadas condiciones theta) sigue un recorrido aleatorio en tres dimensiones. El radio de giro para este caso está dado por

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}$

Téngase en cuenta que, si bien representa la longitud del contorno del polímero, depende en gran medida de la rigidez del polímero y puede variar en órdenes de magnitud. se reduce en consecuencia. ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$

Una de las razones por las que el radio de giro es una propiedad interesante es que se puede determinar experimentalmente con dispersión de luz estática , así como con dispersión de neutrones y rayos X de ángulo pequeño . Esto permite a los físicos teóricos de polímeros comprobar sus modelos con la realidad. El radio hidrodinámico es numéricamente similar y se puede medir con dispersión de luz dinámica (DLS).

Derivación de la identidad

Para demostrar que las dos definiciones de son idénticas, primero multiplicamos el sumando en la primera definición: ${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]}$

Realizando la suma sobre los dos últimos términos y utilizando la definición de se obtiene la fórmula ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}$

Por otra parte, la segunda definición se puede calcular de la misma manera de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las dos definiciones son la misma.

La última transformación utiliza la relación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }.\end{aligned}}}$

Aplicaciones en el análisis de datos geográficos

En el análisis de datos, el radio de giro se utiliza para calcular muchas estadísticas diferentes, incluida la distribución geográfica. Estas ubicaciones se han recopilado recientemente de los usuarios de las redes sociales para investigar las menciones típicas de un usuario. Esto puede ser útil para comprender cómo un determinado grupo de usuarios de las redes sociales utiliza la plataforma.

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

Notas

1. Stepto, R.; Chang, T.; Kratochvíl, P.; Hess, M.; Horie, K.; Sato, T.; Vohlídal, J. (2015). "Definiciones de términos relacionados con macromoléculas individuales, conjuntos macromoleculares, soluciones poliméricas y polímeros amorfos a granel (Recomendaciones IUPAC 2014)" (PDF) . Pure Appl Chem . 87 (1): 71. doi :10.1515/pac-2013-0201.
2. Véase, por ejemplo, Goldstein, Herbert (1950), Mecánica clásica (1.ª ed.), Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company.ecuación 5-30
3. Fixman, Marshall (1962). "Radio de giro de cadenas de polímeros". The Journal of Chemical Physics . 36 (2): 306–310. Código Bibliográfico :1962JChPh..36..306F. doi :10.1063/1.1732501.

Referencias

• Grosberg AY y Khokhlov AR. (1994) Física estadística de macromoléculas (traducido por Atanov YA), AIP Press. ISBN 1-56396-071-0 
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry , Universidad de Cornell, págs. 428-429 (Apéndice C del Capítulo X).