La simetría rotacional , también conocida como simetría radial en geometría , es la propiedad que tiene una forma cuando se ve igual después de una rotación parcial. El grado de simetría rotacional de un objeto es la cantidad de orientaciones distintas en las que se ve exactamente igual en cada rotación.
Ciertos objetos geométricos son parcialmente simétricos cuando se rotan en ciertos ángulos, como los cuadrados rotados 90°, sin embargo, los únicos objetos geométricos que son completamente simétricos rotacionalmente en cualquier ángulo son las esferas, los círculos y otros esferoides . [1] [2]
Formalmente, la simetría rotacional es la simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en el espacio euclidiano de dimensión m . Las rotaciones son isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación . Por lo tanto, un grupo de simetría de simetría rotacional es un subgrupo de E + ( m ) (véase grupo euclidiano ).
La simetría con respecto a todas las rotaciones sobre todos los puntos implica simetría traslacional con respecto a todas las traslaciones, por lo que el espacio es homogéneo y el grupo de simetría es todo E ( m ) . Con la noción modificada de simetría para campos vectoriales, el grupo de simetría también puede ser E + ( m ) .
Para la simetría con respecto a las rotaciones sobre un punto podemos tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman el grupo ortogonal especial SO( m ) , el grupo de matrices ortogonales m × m con determinante 1. Para m = 3 este es el grupo de rotación SO(3) .
En otra definición de la palabra, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro de E + ( n ) , el grupo de isometrías directas ; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría completa y el grupo de isometrías directas. Para los objetos quirales es lo mismo que el grupo de simetría completa.
Las leyes de la física son SO(3)-invariantes si no distinguen direcciones diferentes en el espacio. Debido al teorema de Noether , la simetría rotacional de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento angular .
La simetría rotacional de orden n , también llamada simetría rotacional de n pliegues o simetría rotacional discreta de orden n , con respecto a un punto particular (en 2D) o eje (en 3D) significa que la rotación en un ángulo de (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 ⁄ 7 °, etc.) no cambia el objeto. Una simetría de "1 pliegue" no es simetría (todos los objetos se ven iguales después de una rotación de 360°).
La notación para la simetría n -fold es C n o simplemente n . El grupo de simetría real se especifica por el punto o eje de simetría, junto con n . Para cada punto o eje de simetría, el tipo de grupo abstracto es grupo cíclico de orden n , Z n . Aunque para este último también se utiliza la notación C n , el C n geométrico y abstracto deben distinguirse: hay otros grupos de simetría del mismo tipo de grupo abstracto que son geométricamente diferentes, ver grupos de simetría cíclica en 3D .
El dominio fundamental es un sector de
Ejemplos sin simetría de reflexión adicional :
C n es el grupo de rotación de un polígono regular de n lados en 2D y de una pirámide regular de n lados en 3D.
Si existe, por ejemplo, simetría rotacional con respecto a un ángulo de 100°, entonces también con respecto a uno de 20°, el máximo común divisor de 100° y 360°.
Un objeto 3D típico con simetría rotacional (posiblemente también con ejes perpendiculares) pero sin simetría especular es una hélice .
Para simetría discreta con múltiples ejes de simetría que pasan por el mismo punto, existen las siguientes posibilidades:
En el caso de los sólidos platónicos , los ejes de 2 pliegues pasan por los puntos medios de las aristas opuestas, y el número de ellos es la mitad del número de aristas. Los demás ejes pasan por vértices opuestos y por centros de caras opuestas, excepto en el caso del tetraedro, donde los ejes de 3 pliegues pasan cada uno por un vértice y el centro de una cara.
La simetría rotacional respecto de cualquier ángulo es, en dos dimensiones, simetría circular . El dominio fundamental es una semirrecta .
En tres dimensiones podemos distinguir simetría cilíndrica y simetría esférica (sin cambios al rotar sobre un eje, o para cualquier rotación). Es decir, no hay dependencia del ángulo usando coordenadas cilíndricas y no hay dependencia de ninguno de los ángulos usando coordenadas esféricas . El dominio fundamental es un semiplano a través del eje, y una semilínea radial, respectivamente. Axisimétrico y axisimétrico son adjetivos que se refieren a un objeto que tiene simetría cilíndrica, o axisimetría (es decir, simetría rotacional con respecto a un eje central) como un donut ( toro ). Un ejemplo de simetría esférica aproximada es la Tierra (con respecto a la densidad y otras propiedades físicas y químicas).
En 4D, la simetría rotacional continua o discreta respecto de un plano corresponde a la simetría rotacional 2D correspondiente en cada plano perpendicular, respecto del punto de intersección. Un objeto también puede tener simetría rotacional respecto de dos planos perpendiculares, por ejemplo, si es el producto cartesiano de dos figuras 2D con simetría rotacional, como en el caso, por ejemplo, del duocilindro y de varios duoprismas regulares .
La simetría rotacional doble junto con la simetría traslacional simple es uno de los grupos Frieze . Un rotocentro es el punto fijo o invariante de una rotación. [3] Hay dos rotocentros por celda primitiva .
Junto con la doble simetría traslacional, los grupos de rotación son los siguientes grupos de papel tapiz , con ejes por celda primitiva:
La escala de una red divide el número de puntos por unidad de área por el cuadrado del factor de escala. Por lo tanto, el número de rotocentros de 2, 3, 4 y 6 pliegues por celda primitiva es 4, 3, 2 y 1, respectivamente, incluyendo nuevamente el cuádruple como un caso especial del doble pliegue, etc.
La simetría rotacional triple en un punto y doble en otro (o lo mismo en 3D con respecto a ejes paralelos) implica un grupo de rotación p6, es decir, simetría traslacional doble y simetría rotacional séxtuple en algún punto (o, en 3D, eje paralelo). La distancia de traslación para la simetría generada por un par de rotocentros de este tipo es multiplicada por su distancia.
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