Función de base radial

Tipo de función matemática

En matemáticas, una función de base radial ( RBF ) es una función de valor real cuyo valor depende únicamente de la distancia entre la entrada y un punto fijo, ya sea el origen , de modo que , o algún otro punto fijo , llamado centro , de modo que . Cualquier función que satisface la propiedad es una función radial . La distancia suele ser la distancia euclidiana , aunque a veces se utilizan otras métricas . A menudo se utilizan como una colección que forma una base para algún espacio de funciones de interés, de ahí el nombre. ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ ${\textstyle \mathbf {c} }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}_{k}}$

Las sumas de funciones de base radial se utilizan normalmente para aproximar funciones dadas . Este proceso de aproximación también se puede interpretar como un tipo simple de red neuronal ; este fue el contexto en el que se aplicaron originalmente al aprendizaje automático, en el trabajo de David Broomhead y David Lowe en 1988, ^{[1] [2]} que surgió de la investigación seminal de Michael JD Powell de 1977. ^{[3] [4] [5]} Las RBF también se utilizan como núcleo en la clasificación de vectores de soporte . ^[6] La técnica ha demostrado ser lo suficientemente eficaz y flexible como para que las funciones de base radial se apliquen ahora en una variedad de aplicaciones de ingeniería. ^{[7] [8]}

Definición

Una función radial es una función . Cuando se combina con una norma en un espacio vectorial , se dice que una función de la forma es un núcleo radial centrado en . Se dice que una función radial y los núcleos radiales asociados son funciones de base radial si, para cualquier conjunto finito de nodos , se cumplen todas las siguientes condiciones: ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$ ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ ${\textstyle \mathbf {c} \in V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}\subseteq V}$

• Los núcleos son linealmente independientes (por ejemplo , no es una función de base radial) ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$
• Los núcleos forman una base para un espacio de Haar , lo que significa que la matriz de interpolación (que se muestra a continuación) no es singular. ^{[9] [10]} ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}$

Ejemplos

Los tipos de funciones de base radial comúnmente utilizados incluyen (escritos y utilizados para indicar un parámetro de forma que se puede utilizar para escalar la entrada del núcleo radial ^[11] ): ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ ${\textstyle \varepsilon }$

• RBF infinitamente suaves

  Estas funciones de base radial son funciones definidas estrictamente positivas ^[12] que requieren ajustar un parámetro de forma. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

  • Gaussiano :

    

    Función gaussiana para varias opciones de ${\displaystyle \varepsilon }$

    

    Gráfico de la función de relieve escalada con varias opciones de ${\displaystyle \varepsilon }$

  • Cuadrática inversa:
  • Multicuadrático inverso:
• Spline poliarmónico :*Para splines poliarmónicos de grado par , para evitar problemas numéricos en donde , la implementación computacional a menudo se escribe como . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle (k=2,4,6,\dotsc )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{k-1}\ln(r^{r})}$
• Spline de placa delgada (un spline poliarmónico especial):
• RBF con soporte compacto

  Estos RBF tienen un soporte compacto y, por lo tanto, son distintos de cero solo dentro de un radio de , y, por lo tanto, tienen matrices de diferenciación dispersas. ${\displaystyle 1/\varepsilon }$

  • Función de golpe :

Aproximación

Las funciones de base radial se utilizan normalmente para construir aproximaciones de funciones de la forma

donde la función de aproximación se representa como una suma de funciones de base radial, cada una asociada con un centro diferente , y ponderada por un coeficiente apropiado. Los pesos se pueden estimar utilizando los métodos matriciales de mínimos cuadrados lineales , porque la función de aproximación es lineal en los pesos . ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\textstyle w_{i}.}$ ${\textstyle w_{i}}$ ${\textstyle w_{i}}$

Los esquemas de aproximación de este tipo se han utilizado particularmente ^{[ cita requerida ]} en la predicción de series de tiempo y el control de sistemas no lineales que exhiben un comportamiento caótico suficientemente simple y reconstrucción 3D en gráficos de computadora (por ejemplo, RBF jerárquico y Deformación del Espacio de Pose ).

Red RBF

Dos funciones de base radiales gaussianas no normalizadas en una dimensión de entrada. Los centros de las funciones de base se encuentran en y . ${\textstyle x_{1}=0.75}$ ${\textstyle x_{2}=3.25}$

La suma

También se puede interpretar como un tipo bastante simple de red neuronal artificial de una sola capa llamada red de función de base radial , en la que las funciones de base radial asumen el papel de funciones de activación de la red. Se puede demostrar que cualquier función continua en un intervalo compacto puede, en principio, interpolarse con precisión arbitraria mediante una suma de esta forma, si se utiliza un número suficientemente grande de funciones de base radial. ${\textstyle N}$

El aproximante es diferenciable con respecto a los pesos . Por lo tanto, los pesos se pueden aprender utilizando cualquiera de los métodos iterativos estándar para redes neuronales. ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ${\textstyle w_{i}}$

El uso de funciones de base radial de esta manera produce un método de interpolación razonable siempre que el conjunto de ajuste se haya elegido de manera que cubra todo el rango sistemáticamente (los puntos de datos equidistantes son ideales). Sin embargo, sin un término polinómico que sea ortogonal a las funciones de base radial, las estimaciones fuera del conjunto de ajuste tienden a tener un desempeño deficiente. ^{[ cita requerida ]}

RBF para ecuaciones diferenciales parciales

Las funciones de base radial se utilizan para aproximar funciones y, por lo tanto, se pueden utilizar para discretizar y resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Esto lo hizo por primera vez en 1990 EJ Kansa, quien desarrolló el primer método numérico basado en RBF. Se denomina método Kansa y se utilizó para resolver la ecuación de Poisson elíptica y la ecuación de advección-difusión lineal . Los valores de la función en los puntos del dominio se aproximan mediante la combinación lineal de RBF: ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Las derivadas se aproximan de la siguiente manera:

donde son el número de puntos en el dominio discretizado, la dimensión del dominio y los coeficientes escalares que no cambian por el operador diferencial. ^[13] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \lambda }$

Posteriormente se desarrollaron diferentes métodos numéricos basados ​​en funciones de base radial. Algunos métodos son el método RBF-FD, ^{[14] [15]} el método RBF-QR ^[16] y el método RBF-PUM. ^[17]

Véase también

• Función de covarianza de Matérn
• Interpolación de funciones de base radial
• Método Kansa

Referencias

1. Redes de funciones de base radial Archivado el 23 de abril de 2014 en Wayback Machine.
2. Broomhead, David H.; Lowe, David (1988). "Interpolación funcional multivariable y redes adaptativas" (PDF) . Sistemas complejos . 2 : 321–355. Archivado desde el original (PDF) el 14 de julio de 2014.
3. Michael JD Powell (1977). "Procedimientos de reinicio para el método del gradiente conjugado". Programación matemática . 12 (1): 241–254. doi :10.1007/bf01593790. S2CID  9500591.
4. Sahin, Ferat (1997). Un enfoque de función de base radial para un problema de clasificación de imágenes en color en una aplicación industrial en tiempo real (M.Sc.). Virginia Tech . p. 26. hdl :10919/36847. Powell introdujo por primera vez las funciones de base radial para resolver el problema de interpolación multivariante real.
5. Broomhead & Lowe 1988, p. 347: "Nos gustaría agradecer al profesor MJD Powell del Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica de la Universidad de Cambridge por proporcionar el estímulo inicial para este trabajo".
6. VanderPlas, Jake (6 de mayo de 2015). "Introducción a las máquinas de vectores de soporte". [O'Reilly] . Consultado el 14 de mayo de 2015 .
7. Buhmann, Martin Dietrich (2003). Funciones de base radial: teoría e implementaciones . Cambridge University Press. ISBN 978-0511040207.OCLC 56352083  .
8. Biancolini, Marco Evangelos (2018). Funciones de base radiales rápidas para aplicaciones de ingeniería . Springer International Publishing. ISBN 9783319750118.OCLC 1030746230  .
9. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., págs. 17-25. ISBN 9789812706331.
10. Wendland, Holger (2005). Aproximación de datos dispersos . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 11, 18-23, 64-66. ISBN 0521843359.
11. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. p. 37. ISBN 9789812706331.
12. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., págs. 37-45. ISBN 9789812706331.
13. Kansa, EJ (1 de enero de 1990). "Multiquadrics—Un esquema de aproximación de datos dispersos con aplicaciones a la dinámica de fluidos computacional—Soluciones II a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas". Computers & Mathematics with Applications . 19 (8): 147–161. doi : 10.1016/0898-1221(90)90271-K . ISSN  0898-1221.
14. Tolstykh, AI; Shirobokov, DA (1 de diciembre de 2003). "Sobre el uso de funciones de base radial en un "modo de diferencias finitas" con aplicaciones a problemas de elasticidad". Mecánica computacional . 33 (1): 68–79. Bibcode :2003CompM..33...68T. doi :10.1007/s00466-003-0501-9. ISSN  1432-0924. S2CID  121511032.
15. Shu, C; Ding, H; Yeo, K. S (14 de febrero de 2003). "Método de cuadratura diferencial basado en la función de base radial local y su aplicación para resolver ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles bidimensionales". Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 192 (7): 941–954. Bibcode :2003CMAME.192..941S. doi :10.1016/S0045-7825(02)00618-7. ISSN  0045-7825.
16. Fornberg, Bengt; Larsson, Elisabeth; Flyer, Natasha (1 de enero de 2011). "Cálculos estables con funciones de base radial gaussiana". Revista SIAM de informática científica . 33 (2): 869–892. Bibcode :2011SJSC...33..869F. doi :10.1137/09076756X. ISSN  1064-8275.
17. Safdari-Vaighani, Ali; Heryudono, Alfa; Larsson, Elisabeth (1 de agosto de 2015). "Un método de colocación de la partición de la unidad con función de base radial para ecuaciones de convección-difusión que surgen en aplicaciones financieras". Revista de informática científica . 64 (2): 341–367. doi :10.1007/s10915-014-9935-9. ISSN  1573-7691. S2CID  254691757.

Lectura adicional

• Hardy, RL (1971). "Ecuaciones multicuadráticas de topografía y otras superficies irregulares". Revista de investigación geofísica . 76 (8): 1905–1915. Bibcode :1971JGR....76.1905H. doi :10.1029/jb076i008p01905.
• Hardy, RL (1990). "Teoría y aplicaciones del método multicuadrático-biarmónico, 20 años de descubrimiento, 1968-1988". Comp. Math Applic . 19 (8/9): 163–208. doi : 10.1016/0898-1221(90)90272-l .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.7.1. Interpolación de funciones de base radial", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8
• Sirayanone, S., 1988, Estudios comparativos de kriging, multiquadric-biharmonic y otros métodos para resolver problemas de recursos minerales, Tesis doctoral, Departamento de Ciencias de la Tierra, Universidad Estatal de Iowa, Ames, Iowa.
• Sirayanone, S.; Hardy, RL (1995). "El método multicuadrático-biarmónico utilizado para recursos minerales, meteorología y otras aplicaciones". Revista de Ciencias Aplicadas y Computaciones . 1 : 437–475.