Interpolación de funciones de base radial

La interpolación de función de base radial (RBF) es un método avanzado en la teoría de aproximación para construir interpoladores precisos de orden alto de datos no estructurados, posiblemente en espacios de alta dimensión. El interpolador toma la forma de una suma ponderada de funciones de base radial . ^{[1] [2]} La interpolación RBF es un método sin malla , lo que significa que los nodos (puntos en el dominio) no necesitan estar en una cuadrícula estructurada y no requiere la formación de una malla . A menudo es espectralmente preciso ^[3] y estable para grandes cantidades de nodos incluso en altas dimensiones.

Se pueden utilizar muchos métodos de interpolación como base teórica de algoritmos para aproximar operadores lineales , y la interpolación RBF no es una excepción. La interpolación RBF se ha utilizado para aproximar operadores diferenciales , operadores integrales y operadores diferenciales de superficie .

Ejemplos

Sean y sean 15 puntos igualmente espaciados en el intervalo . Formaremos donde es una función de base radial y elegiremos tal que ( interpole en los puntos elegidos). En notación matricial esto se puede escribir como ${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$ ${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\|x-x_{k}\|)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w_{k},k=0,1,\dots ,14}$ ${\displaystyle s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\dots ,14}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varphi (\|x_{0}-x_{0}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{0}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{0}\|)\\\varphi (\|x_{0}-x_{1}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{1}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{1}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|x_{0}-x_{14}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{14}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{14}\|)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{14}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(x_{0})\\f(x_{1})\\\vdots \\f(x_{14})\end{bmatrix}}.}$$

Si elegimos , la gaussiana , con un parámetro de forma de , podemos resolver la ecuación matricial para los pesos y trazar el interpolante. Al trazar la función de interpolación a continuación, vemos que es visualmente la misma en todas partes excepto cerca del límite izquierdo (un ejemplo del fenómeno de Runge ), donde sigue siendo una aproximación muy cercana. Más precisamente, el error máximo está aproximadamente en . ${\displaystyle \varphi (r)=\exp(-(\varepsilon r)^{2})}$ ${\displaystyle \varepsilon =3}$ ${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\approx 0.0267414}$ ${\displaystyle x=0.0220012}$

Motivación

El teorema de Mairhuber-Curtis dice que para cualquier conjunto abierto en con , y funciones linealmente independientes en , existe un conjunto de puntos en el dominio tal que la matriz de interpolación ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$$

es singular . ^[4]

Esto significa que si uno desea tener un algoritmo de interpolación general, debe elegir las funciones base que dependen de los puntos de interpolación. En 1971, Rolland Hardy desarrolló un método de interpolación de datos dispersos utilizando interpoladores de la forma . Esta es la interpolación que utiliza una base de funciones multicuadráticas desplazadas, ahora más comúnmente escritas como , y es el primer ejemplo de interpolación de funciones de base radial. ^[5] Se ha demostrado que la matriz de interpolación resultante siempre será no singular. Esto no viola el teorema de Mairhuber-Curtis ya que las funciones base dependen de los puntos de interpolación. Elegir un núcleo radial tal que la matriz de interpolación no sea singular es exactamente la definición de una función definida positiva estricta . Tales funciones, incluidas la gaussiana , la cuadrática inversa y la multicuadrática inversa, se utilizan a menudo como funciones de base radial por esta razón. ^[6] ${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|^{2}+C}}}$ ${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

Ajuste de parámetros de forma

Muchas funciones de base radial tienen un parámetro que controla su relativa planitud o agudeza. Este parámetro suele representarse con el símbolo con la función volviéndose cada vez más plana a medida que . Por ejemplo, Rolland Hardy utilizó la fórmula para la multicuadrática, sin embargo, hoy en día se utiliza la fórmula en su lugar. Estas fórmulas son equivalentes hasta un factor de escala. Este factor es intrascendente ya que los vectores de base tienen el mismo lapso y los pesos de interpolación se compensarán. Por convención, la función de base se escala de tal manera que, como se ve en los gráficos de las funciones gaussianas y las funciones de protuberancia . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}}$ ${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$ ${\displaystyle \varphi (0)=1}$

• 
  Una función gaussiana para varias opciones de ${\displaystyle \varepsilon }$
• 
  Un gráfico de la función de relieve escalada con varias opciones de parámetros de forma

Un interpolador RBF de la función f(x)=e^(x*cos(3*pi*x))-1 muestreado en 15 puntos, utilizando gaussianas, con un parámetro de forma muy grande e=100. El " interpolador de lecho de clavos ".

Una consecuencia de esta elección es que la matriz de interpolación se aproxima a la matriz identidad como la que conduce a la estabilidad al resolver el sistema matricial. El interpolante resultante será, en general, una aproximación deficiente a la función, ya que será cercano a cero en todas partes, excepto cerca de los puntos de interpolación donde alcanzará un pico abrupto (el llamado "interpolante de lecho de clavos") (como se ve en el gráfico de la derecha). ${\displaystyle \varepsilon \to \infty }$

Un gráfico del número de condición por el parámetro de forma para una matriz de interpolación de función de base radial de 15x15 utilizando la función gaussiana.

En el lado opuesto del espectro, el número de condición de la matriz de interpolación divergerá hasta el infinito, lo que provocará un mal condicionamiento del sistema. En la práctica, se elige un parámetro de forma de modo que la matriz de interpolación esté "al borde del mal condicionamiento" (por ejemplo, con un número de condición de aproximadamente para un punto flotante de doble precisión ). ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle 10^{12}}$

A veces hay otros factores que se deben tener en cuenta al elegir un parámetro de forma. Por ejemplo, la función de protuberancia tiene un soporte compacto (es cero en todas partes excepto cuando ), lo que genera una matriz de interpolación dispersa . $${\displaystyle \varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\mbox{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle r<{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$

Algunas funciones de base radial, como los splines poliarmónicos, no tienen parámetros de forma.

Véase también

• Kriging

Referencias

1. Hardy, Rolland (marzo de 1971). "Ecuaciones multicuadráticas de topografía y otras superficies irregulares". Revista de investigación geofísica . 76 (8): 1905–1915. Código Bibliográfico :1971JGR....76.1905H. doi :10.1029/JB076i008p01905.
2. Richard, Franke (enero de 1982). "Interpolación de datos dispersos: pruebas de algunos métodos". Matemáticas de la computación . 38 (157): 181–200. doi : 10.1090/S0025-5718-1982-0637296-4 . hdl : 10945/40152 .
3. Buhmann, Martin; Nira, Dyn (junio de 1993). "Convergencia espectral de interpolación multicuadrática". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 36 (2): 319–333. doi : 10.1017/S0013091500018411 .
4. Mairhuber, John C. (1956). "Sobre el teorema de Haar relativo a los problemas de aproximación de Chebychev que tienen soluciones únicas". Actas de la American Mathematical Society . 7 (4): 609–615. doi :10.2307/2033359. JSTOR  2033359.
5. Hardy, Rolland L. (1971). "Ecuaciones multicuadráticas de topografía y otras superficies irregulares". Revista de investigación geofísica . 7 (8): 1905–1915. Código Bibliográfico :1971JGR....76.1905H. doi :10.1029/JB076i008p01905.
6. Fasshaur, Greg (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . World Scientific Publishing. ISBN 978-981-270-633-1.