Método Kansa

Método computacional para resolver ecuaciones diferenciales parciales

El método Kansa es un método informático que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Su principal ventaja es que es muy fácil de entender y programar en una computadora. Es mucho menos complicado que el método de elementos finitos . Otra ventaja es que funciona bien en problemas de múltiples variables. El método de elementos finitos es complicado cuando se trabaja con más de 3 variables espaciales y de tiempo.

El método Kansa se puede explicar con una analogía: una cancha de baloncesto con muchas bombillas suspendidas en el techo. Se calcula el brillo de cada bombilla de modo que la intensidad de luz deseada directamente sobre el suelo de la cancha de baloncesto debajo de cada bombilla resuelva la ecuación diferencial en ese punto. Por lo tanto, si la cancha de baloncesto tiene 100 bombillas suspendidas sobre ella, la intensidad de la luz en cualquier punto del suelo de la cancha de baloncesto se acerca a una intensidad de luz que aproximadamente resuelve la ecuación diferencial en cualquier ubicación del suelo de la cancha de baloncesto. Un programa informático sencillo puede calcular por iteración el brillo de cada bombilla, lo que hace que este método sea fácil de programar. Este método no necesita residuos ponderados (Galerkin), integración ni matemáticas avanzadas.

A principios de los años 90, EJ Kansa hizo el primer intento de extender la función de base radial (RBF), que entonces era bastante popular en el procesamiento de datos dispersos y la aproximación de funciones, a la solución de ecuaciones diferenciales parciales en la formulación de colocación de forma fuerte. Su enfoque de colocación de RBF es inherentemente sin malla, fácil de programar y matemáticamente muy simple de aprender. En poco tiempo, este método se hizo conocido como el método Kansa en la comunidad académica.

Debido a que el método RBF utiliza la variable de distancia euclidiana unidimensional independientemente de la dimensionalidad, el método Kansa es independiente de la dimensionalidad y la complejidad geométrica de los problemas de interés. El método es una técnica numérica de tipo dominio en el sentido de que el problema se discretiza no solo en el límite para satisfacer las condiciones de límite, sino también dentro del dominio para satisfacer la ecuación que lo rige.

Por el contrario, existe otro tipo de métodos numéricos RBF, llamado método de colocación RBF de tipo límite, como el método de solución fundamental , el método de nudos de límite , el método de límite singular , el método de partículas de límite y el método regularizado sin malla, en el que las funciones base, también conocidas como función kernel, satisfacen la ecuación gobernante y a menudo son solución fundamental o solución general de la ecuación gobernante. En consecuencia, solo se requiere discretización de límites.

Dado que el factor de forma de refracción en el método Kansa no satisface necesariamente la ecuación que rige, se tiene más libertad para elegir un factor de forma de refracción. El factor de forma de refracción más popular en el método Kansa es el multicuadrático (MQ), que suele mostrar precisión espectral si se elige un parámetro de forma adecuado.

Descripción

El método Kansa , también llamado esquema MQ modificado o método de colocación MQ, se originó a partir de la conocida interpolación MQ. La eficiencia y aplicabilidad de este método se han verificado en una amplia gama de problemas. En comparación con los métodos de colocación RBF de tipo límite, el método Kansa tiene una aplicabilidad más amplia a problemas cuyas soluciones fundamentales y generales no están disponibles, por ejemplo, problemas de coeficientes variables y no lineales.

Formulación

Sea d -dimensional el dominio físico y considere el siguiente problema de valor límite (BVP) ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu(X)&=f(X),\quad X\in \Omega ,&&(1)\\[4pt]u(X)&=g(X),\quad X\in \partial \Omega _{D},&&(2)\\[4pt]{\frac {\partial u(X)}{\partial n}}&=h(X),\quad X\in \partial \Omega _{N},&&(3)\end{aligned}}}$

donde L representa un operador diferencial y d es la dimensionalidad del problema, denotan los límites de Dirichlet y Neumann, respectivamente, y . El método de Kansa aproxima la función deseada mediante una combinación lineal de la RBF en la forma: ${\displaystyle \partial \Omega _{D},\,\partial \Omega _{N}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$

${\displaystyle u(X)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i}),\qquad (4)}$

donde son los coeficientes a determinar, denota el RBF como el MQ. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \varphi (r_{i})}$

Para garantizar la unicidad de la solución, se puede añadir un término polinomial de la siguiente manera:

${\displaystyle u(X)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i})+\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k+N}\gamma _{k}(X),\qquad (5)}$

donde es el polinomio. La interpolación RBF (4) y (5) se utilizan a menudo en la práctica. Los matemáticos prefieren la última por su fundamento teórico riguroso y sólido, mientras que los usuarios de ingeniería suelen emplear la primera, ya que es más fácil y sencilla y produce resultados sólidos en la mayoría de los casos. Sustituyendo la ecuación (4) o (5) en las ecuaciones (1-3) se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas resultante: ${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$

${\displaystyle \mathbf {A} \alpha =b,\qquad (6)}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}L(\varphi )&L(\gamma )\\[5pt]\varphi &\gamma \\[8pt]{\dfrac {\partial \varphi }{\partial n}}&{\dfrac {\partial \gamma }{\partial n}}\\[8pt]\gamma &0\end{matrix}}\right),\quad \mathbf {b} =\left({\begin{matrix}f\\g\\h\\0\end{matrix}}\right),\quad \varphi =\varphi (x_{i},x_{j}),\quad \gamma =\gamma _{k}(X_{i}).\qquad (7)}$

Después de evaluar los coeficientes de expansión , la función deseada se puede calcular a partir de la ecuación (4) o (5). ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Historia y desarrollos recientes

Las soluciones numéricas de las EDP se obtienen generalmente mediante el método de diferencias finitas (FDM), el método de elementos finitos (FEM) o el método de elementos de contorno (BEM). Se sabe que el FDM es difícil de modelar en un dominio irregular debido a que generalmente requiere un sistema de cuadrícula rectangular. Aunque el FEM puede adaptarse a un marco más flexible, el mallado y el remallado no son triviales. El BEM es un método alternativo en algunos problemas de ingeniería, como los problemas de dominio inverso e ilimitado y de estructura de paredes delgadas. Sin embargo, sus aplicaciones están limitadas en gran medida por la disponibilidad de la solución fundamental de la ecuación gobernante.

En las últimas décadas, los métodos “sin malla” o “sin elementos” han atraído una gran atención. La razón detrás de esto es que los métodos basados ​​en malla, como el método de elementos finitos (FEM) y el método de elementos de objeto (BEM), requieren un esfuerzo computacional prohibitivo para manejar problemas de contornos complejos, móviles y de alta dimensión. El método Kansa ^{[1] [2]} coloca directamente los RBF, especialmente el MQ, en los nodos sin la necesidad de malla o elementos y, por lo tanto, es un método inherentemente verdaderamente sin malla.

A pesar de los grandes esfuerzos, aún falta la prueba matemática rigurosa de la solubilidad del método Kansa. ^[3] Además, las condiciones de contorno mixtas también destruyen la simetría de su matriz de interpolación. Las referencias ^{[4] [5]} proponen el esquema de colocación RBF de Hermite simétrico con un sólido análisis matemático de la solubilidad. Sin embargo, un problema común en el método Kansa y el método Hermite simétrico es que las soluciones numéricas en los nodos adyacentes al contorno se deterioran en uno o dos órdenes de magnitud en comparación con las de la región central. La colocación de PDE en el contorno (PDECB) ^[6] elimina eficazmente esta deficiencia. Sin embargo, esta estrategia requiere un conjunto adicional de nodos dentro o fuera del dominio adyacente al contorno. La colocación arbitraria de estos nodos adicionales da lugar a problemas problemáticos en la simulación de problemas de dominio complejos y con múltiples conexiones. El PDECB también carece de respaldo teórico explícito. De hecho, también se ha propuesto una estrategia similar ^[7] , que coloca tanto las ecuaciones de gobierno como las de contorno en los mismos nodos de contorno. Sin embargo, el método es asimétrico y aún carece de una base teórica explícita. Al utilizar la segunda identidad de Green, se ha diseñado el método Kansa modificado ^{[8] [9]} para remediar todas las debilidades mencionadas anteriormente. Para la MQ, su parámetro de forma determina en gran medida su error de interpolación. Existen varias teorías matemáticas relacionadas con la familia de funciones de base radial multicuadráticas y que brindan algunas sugerencias sobre la elección del parámetro de forma. ^{[10] [11] [12] [13]}

El método Kansa se ha aplicado ampliamente en las ciencias computacionales. En ^[1], el método Kansa se emplea para abordar las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas. El método Kansa se ha extendido recientemente a varias ecuaciones diferenciales parciales ordinarias y trifásicas, incluidos los modelos de mezcla bifásica y trifásica de problemas de ingeniería de tejidos, ^{[14] [15]} la ecuación de Burger no lineal 1D ^[16] con ondas de choque, ecuaciones de aguas poco profundas ^[17] para simulación de mareas y corrientes, problemas de transferencia de calor, ^[18] problemas de límites libres, ^[19] y ecuaciones de difusión fraccionaria. ^[20]

Véase también

• Función de base radial
• Método de soluciones fundamentales
• Método del nudo delimitador
• Método de partículas límite
• Método de límites singulares

Enlaces externos

• Método Kansa modificado

Referencias

1. EJ Kansa, "Multiquadrics—Un esquema de aproximación de datos dispersos con aplicaciones a la dinámica de fluidos computacional—Soluciones II a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas", Computers & Mathematics with Applications, vol. 19, págs. 147–161, 1990.
2. J. Li, et al., "Una comparación de la eficiencia y la convergencia de errores del método de colocación multicuadrática y el método de elementos finitos", Análisis de ingeniería con elementos de contorno, vol. 27, págs. 251-257, 2003.
3. YC Hon y R. Schaback, "Sobre la colocación asimétrica mediante funciones de base radial", Applied Mathematics and Computation, vol. 119, págs. 177-186, 2001.
4. C. Franke y R. Schaback, "Resolución de ecuaciones diferenciales parciales por colocación utilizando funciones de base radial", Applied Mathematics and Computation, vol. 93, págs. 73–82, 1998.
5. GE Fasshauer, "Resolución de ecuaciones diferenciales parciales por colocación", 1996, pág. 1.
6. AI Fedoseyev, et al., "Método multicuadrático mejorado para ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante la colocación de EDP en el límite", Computers & Mathematics with Applications, vol. 43, págs. 439–455, 2002.
7. X. Zhang, et al., "Métodos sin malla basados ​​en la colocación con funciones de base radial", Computational Mechanics, vol. 26, págs. 333–343, 2000.
8. W. Chen, "Nuevos métodos de colocación de RBF y RBF de núcleo con aplicaciones: métodos sin malla para ecuaciones diferenciales parciales". vol. 26, M. Griebel y MA Schweitzer, Eds., ed: Springer Berlin Heidelberg, 2002, págs. 75–86.
9. W. Chen y M. Tanaka, "Nuevos conocimientos en métodos RBF de tipo dominio y de solo límites", preimpresión de Arxiv cs/0207017, 2002.
10. RL Hardy, "Ecuaciones multicuadráticas de topografía y otras superficies irregulares", J. Geophys. Res., vol. 76, págs. 1905-1915, 1971.
11. R. Franke, "Interpolación de datos dispersos: pruebas de algún método", Mathematics of Computation, vol. 38, págs. 181-200, 1982.
12. EJ Kansa y RE Carlson, "Precisión mejorada de la interpolación multicuadrática utilizando parámetros de forma variables", Computers & Mathematics with Applications, vol. 24, págs. 99-120, 1992.
13. CAH-D, "Multiquadric y su parámetro de forma: una investigación numérica de la estimación de error, número de condición y error de redondeo mediante cálculo de precisión arbitraria", Análisis de ingeniería con elementos de contorno, vol. 36, págs. 220-239, 2012.
14. YC Hon, et al., "Método multicuadrático para la solución numérica de un modelo de mezcla bifásica", Applied Mathematics and Computation, vol. 88, págs. 153-175, 1997.
15. YC Hon, et al., "Una nueva formulación y cálculo del modelo trifásico para mezclas mecano-electroquímicas", Computational Mechanics, vol. 24, págs. 155-165, 1999.
16. YC Hon y XZ Mao, "Un esquema numérico eficiente para la ecuación de Burgers", Applied Mathematics and Computation, vol. 95, págs. 37–50, 1998.
17. Y.-C. Hon, et al., "Solución multicuadrática para ecuaciones en aguas poco profundas", Journal of Hydraulic Engineering, vol. 125, págs. 524–533, 1999.
18. M. Zerroukat, et al., "Un método numérico para problemas de transferencia de calor utilizando funciones de colocación y base radial", Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería, vol. 42, págs. 1263–1278, 1998.
19. J. Perko, et al., "Una solución numérica libre de polígonos de convección natural constante en sistemas sólido-líquido", Modelado computacional de problemas de límites móviles y libres, págs. 111-122, 2001.
20. W. Chen, et al., "Ecuaciones de difusión fraccionaria mediante el método Kansa", Computers & Mathematics with Applications, vol. 59, págs. 1614-1620, 2010.