En matemáticas aplicadas , el método de partículas límite (BPM) es una técnica de colocación sin malla (meshfree) que solo tiene límites , en el sentido de que no se requiere ninguno de los nodos internos en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas . Los experimentos numéricos muestran que el BPM tiene convergencia espectral. Su matriz de interpolación puede ser simétrica.
En las últimas décadas, el método de reciprocidad dual (DRM) [1] y el método de reciprocidad múltiple (MRM) [2] han surgido como técnicas prometedoras para evaluar la solución particular de ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas en conjunto con las técnicas de discretización de contorno, como el método de elementos de contorno (BEM). Por ejemplo, los denominados DR-BEM y MR-BEM son técnicas BEM populares en la solución numérica de problemas no homogéneos.
El DRM se ha convertido en un método común para evaluar la solución particular. Sin embargo, el DRM requiere nodos internos para garantizar la convergencia y la estabilidad. El MRM tiene una ventaja sobre el DRM en que no requiere el uso de nodos internos para problemas no homogéneos. [ cita requerida ] En comparación con el DRM, el MRM es computacionalmente más costoso en la construcción de las matrices de interpolación y tiene una aplicabilidad limitada a problemas no homogéneos generales debido a su uso convencional de operadores laplacianos de alto orden en el proceso de aniquilación.
El método de reciprocidad múltiple compuesta recursiva (RC-MRM) [3] [4] se propuso para superar los problemas mencionados anteriormente. La idea clave del RC-MRM es emplear operadores diferenciales compuestos de orden superior en lugar de operadores laplacianos de orden superior para eliminar una serie de términos no homogéneos en la ecuación gobernante. El RC-MRM utiliza las estructuras recursivas de la matriz de interpolación MRM para reducir los costos computacionales.
El método de partículas límite (BPM) es una discretización de solo límite de una ecuación diferencial parcial no homogénea mediante la combinación del RC-MRM con esquemas de discretización de colocación de límites sin malla de forma fuerte, como el método de solución fundamental (MFS), el método de nudos de límite (BKM), el método sin malla regularizada (RMM), el método de límite singular (SBM) y el método de Trefftz (TM). El BPM se ha aplicado a problemas como la ecuación de Helmholtz no homogénea y la ecuación de convección-difusión . La representación de interpolación del BPM es de una serie de ondículas .
Para la aplicación del BPM a problemas de Helmholtz, [3] Poisson [4] y flexión de placas , [5] a menudo se utilizan la solución fundamental de alto orden o solución general, la función armónica [6] o la función de Trefftz (funciones T-completas) [7] , por ejemplo, las de Berger , Winkler y las ecuaciones vibracionales de placa delgada. [8] El método se ha aplicado al problema de Cauchy inverso asociado con Poisson [9] y ecuaciones de Helmholtz no homogéneas. [10]
El BPM puede tener dificultades para resolver problemas que tengan funciones fuente complejas, como funciones no uniformes, funciones con gradientes grandes o un conjunto de datos medidos discretos. La solución de tales problemas implica: [ cita requerida ]
(1) Las funciones complejas o un conjunto de datos medidos discretos se pueden interpolar mediante una suma de series de funciones polinómicas o trigonométricas . Luego, el RC-MRM puede reducir la ecuación no homogénea a una ecuación homogénea de orden superior, y el BPM se puede implementar para resolver estos problemas con discretización solo en el borde.
(2) La descomposición del dominio se puede utilizar en la solución de solo límites BPM de problemas de funciones fuente de gradiente grande.