Método de soluciones fundamentales

En computación científica y simulación , el método de soluciones fundamentales ( MFS ) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales basada en el uso de la solución fundamental como función base. El MFS se desarrolló para superar los principales inconvenientes del método de elementos de contorno (BEM), que también utiliza la solución fundamental para satisfacer la ecuación gobernante. En consecuencia, tanto el MFS como el BEM son una técnica numérica de discretización de contorno y reducen la complejidad computacional en una sola dimensión y tienen una ventaja particular sobre las técnicas numéricas de tipo dominio, como los métodos de elementos finitos y de volumen finito, en la solución de dominio infinito, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos .

A diferencia del BEM, el MFS evita la integración numérica de la solución fundamental singular y es un método inherentemente libre de malla . Sin embargo, el método se ve comprometido al requerir un controvertido límite ficticio fuera del dominio físico para evitar la singularidad de la solución fundamental, lo que ha restringido seriamente su aplicabilidad a problemas del mundo real. Pero, no obstante, se ha descubierto que el MFS es muy competitivo en algunas áreas de aplicación, como los problemas de dominio infinito.

El MFS también se conoce por diferentes nombres en la literatura, incluido el método de simulación de carga, el método de superposición, el método desingularizado, el método del elemento de contorno indirecto y el método del elemento de contorno virtual.

Formulación MFS

Considere una ecuación diferencial parcial que gobierna cierto tipo de problemas.

${\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,}$

${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},}$

donde es el operador parcial diferencial, representa el dominio computacional y denota el límite de Dirichlet y Neumann, respectivamente, y . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$

El MFS emplea la solución fundamental del operador como su función base para representar la aproximación de la función desconocida u de la siguiente manera

${\displaystyle {{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$

donde denota la distancia euclidiana entre los puntos de colocación y los puntos de origen , es la solución fundamental que satisface ${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)}$ ${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$

${\displaystyle L\phi =\delta \,}$

donde denota la función delta de Dirac y son los coeficientes desconocidos. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$

Con los puntos de origen ubicados fuera del dominio físico, el sistema de solución de ecuaciones evita la singularidad de la solución fundamental. Sustituyendo la aproximación en la condición de contorno se obtiene la siguiente ecuación matricial

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),}$

donde y denotan los puntos de colocación, respectivamente, en los límites de Dirichlet y Neumann. Los coeficientes desconocidos pueden determinarse de manera única mediante la ecuación algebraica anterior. Y luego podemos evaluar la solución numérica en cualquier ubicación en el dominio físico. ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Historia y desarrollos recientes

Las ideas detrás del MFS fueron desarrolladas principalmente por VD Kupradze y MA Alexidze a fines de la década de 1950 y principios de la de 1960. ^[1] Sin embargo, el método fue propuesto por primera vez como una técnica computacional mucho más tarde por R. Mathon y RL Johnston a fines de la década de 1970, ^[2] seguido por una serie de artículos de Mathon, Johnston y Graeme Fairweather con aplicaciones. El MFS se convirtió gradualmente en una herramienta útil para la solución de una gran variedad de problemas físicos y de ingeniería. ^{[3] [4] [5] [6]}

En la década de 1990, MA Golberg y CS Chen ampliaron el MFS para abordar ecuaciones no homogéneas y problemas dependientes del tiempo, ampliando enormemente su aplicabilidad. ^{[7] [8]} Desarrollos posteriores indicaron que el MFS se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes variables. ^[9] El MFS ha demostrado ser particularmente eficaz para ciertas clases de problemas, como problemas inversos, ^[10] de dominio ilimitado y de borde libre. ^[11]

Se han desarrollado algunas técnicas para solucionar el problema del límite ficticio en el MFS, como el método del nudo de límite , el método del límite singular y el método regularizado sin malla .

Véase también

• Función de base radial
• Método de elementos de contorno
• Método del nudo delimitador
• Método de partículas límite
• Método de límites singulares
• Método regularizado sin malla

Referencias

1. K. VD, A. MA, El método de ecuaciones funcionales para la solución aproximada de ciertos problemas de valores en la frontera, URSS Comput Math Math Phys . 4 (1964) 82–126.
2. R. Mathon, RL Johnston, La solución aproximada de problemas elípticos de valores límite mediante soluciones fundamentales, SIAM Journal on Numerical Analysis . (1977) 638–650.
3. Z. Fu, W. Chen, W. Yang, Problemas de flexión de placas de Winkler mediante un método de partículas límite verdaderamente de solo borde, Computational Mechanics . 44 (2009) 757–763.
4. W. Chen, J. Lin, F. Wang, Método regularizado sin malla para problemas no homogéneos Archivado el 6 de junio de 2015 en Wayback Machine , Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 35 (2011) 253–257.
5. W. Chen, FZ Wang, Un método de soluciones fundamentales sin límite ficticio Archivado el 6 de junio de 2015 en Wayback Machine , Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 34 (2010) 530–532.
6. JIANG Xin-rong, CHEN Wen, Método de solución fundamental y método de nudos de contorno para ecuaciones de Helmholtz: un estudio comparativo, Revista china de mecánica computacional , 28:3 (2011) 338–344 (en chino)
7. MA Golberg, CS Chen, La teoría de funciones de base radiales aplicada al BEM para ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas, Boundary Elements Communications . 5 (1994) 57–61.
8. M. a. Golberg, CS Chen, H. Bowman, H. Power, Algunos comentarios sobre el uso de funciones de base radial en el método de reciprocidad dual, Computational Mechanics . 21 (1998) 141–148.
9. CM Fan, CS Chen, J. Monroe, El método de soluciones fundamentales para resolver ecuaciones de convección-difusión con coeficientes variables, Advances in Applied Mathematics and Mechanics . 1 (2009) 215–230
10. YC Hon, T. Wei, El método de solución fundamental para resolver problemas multidimensionales de conducción inversa del calor, CMES Comput. Model. Eng. Sci . 7 (2005) 119–132
11. AKG Fairweather, El método de soluciones fundamentales para problemas de valores límite elípticos, Avances en Matemática Computacional . 9 (1998) 69–95.

Enlaces externos

• Centro Internacional de Software de Simulación Numérica en Ingeniería y Ciencias