Caso irreducible

Cuando la solución de un polinomio no se puede expresar en radicales sin números complejos

En álgebra , casus irreducibilis (del latín  'el caso irreducible') es uno de los casos que pueden surgir al resolver polinomios de grado 3 o superior con coeficientes enteros algebraicamente (en lugar de numéricamente), es decir, obteniendo raíces que se expresan con radicales . Muestra que muchos números algebraicos tienen valores reales pero no se pueden expresar en radicales sin introducir números complejos . La ocurrencia más notable de casus irreducibilis es en el caso de polinomios cúbicos que tienen tres raíces reales , lo que fue demostrado por Pierre Wantzel en 1843. ^[1] Uno puede ver si un polinomio cúbico dado está en el llamado casus irreducibilis mirando el discriminante , a través de la fórmula de Cardano . ^[2]

Los tres casos del discriminante

Dejar

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

sea ​​una ecuación cúbica con . Entonces el discriminante está dado por ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.}$

Aparece en la solución algebraica y es el cuadrado del producto

${\displaystyle \Delta :=\prod _{j<k}(x_{j}-x_{k})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\qquad \qquad {\bigl (}\!=\pm {\sqrt {D}}{\bigr )}}$

de las diferencias de las 3 raíces . ^[3] ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

1. Si D < 0 , entonces el polinomio tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales. es puramente imaginario. Aunque existen polinomios cúbicos con discriminante negativo que son irreducibles en el sentido moderno, el casus irreducibilis no se aplica. ^[4] ${\displaystyle \Delta \in i\mathbb {R} ^{\times }}$
   
2. Si D = 0 , entonces y hay tres raíces reales; dos de ellas son iguales. Si D = 0 se puede determinar mediante el algoritmo de Euclides y, en caso afirmativo, las raíces mediante la fórmula cuadrática . Además, todas las raíces son reales y se pueden expresar mediante radicales reales. Todos los polinomios cúbicos con discriminante cero son reducibles. ${\displaystyle \Delta =0}$
   
3. Si D > 0 , entonces es distinto de cero y real, y hay tres raíces reales distintas que son sumas de dos conjugados complejos . Debido a que requieren números complejos (en el sentido de la época: raíces cúbicas de números no reales, es decir, de raíces cuadradas de números negativos) para expresarlos en radicales, este caso en el siglo XVI se ha denominado casus irreducibilis . ^[5] ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} ^{\times }}$
   

Declaración formal y prueba

De manera más general, supongamos que F es un cuerpo formalmente real y que p ( x ) ∈ F [ x ] es un polinomio cúbico, irreducible sobre F , pero que tiene tres raíces reales (raíces en la clausura real de F ). Entonces el casus irreducibilis establece que es imposible expresar una solución de p ( x ) = 0 mediante radicales con radicandos ∈ F .

Para demostrar esto, ^[6] note que el discriminante D es positivo. Forme la extensión de campo F ( √ D ) = F (∆) . Como esta es F o una extensión cuadrática de F (dependiendo de si D es o no un cuadrado en F ), p ( x ) permanece irreducible en ella. En consecuencia, el grupo de Galois de p ( x ) sobre F ( √ D ) es el grupo cíclico C ₃ . Suponga que p ( x ) = 0 puede resolverse por radicales reales. Entonces p ( x ) puede descomponerse por una torre de extensiones cíclicas .

${\displaystyle F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})}$

En el paso final de la torre, p ( x ) es irreducible en el penúltimo cuerpo K , pero se divide en K ( ³ √ α ) para algún α . Pero esta es una extensión de cuerpo cíclica, y por lo tanto debe contener un conjugado de ³ √ α y, por lo tanto, una tercera raíz primitiva de la unidad .

Sin embargo, no hay raíces primitivas terceras de la unidad en un cuerpo real cerrado. Supongamos que ω es una raíz primitiva tercera de la unidad. Entonces, por los axiomas que definen un cuerpo ordenado , ω y ω ² son ambos positivos, porque de lo contrario su cubo (=1) sería negativo. Pero si ω ² >ω, entonces al elevar al cubo ambos lados se obtiene 1>1, una contradicción; de manera similar, si ω>ω ² .

Solución en radicales no reales

La solución de Cardano

La ecuación ax ³ + bx ² + cx + d = 0 se puede reducir a un trinomio mónico dividiendo por y sustituyendo x = t − ⁠ ${\displaystyle a}$b/3 un⁠ (la transformación de Tschirnhaus ), dando la ecuación t ³ + pt + q = 0 donde

${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Entonces, independientemente del número de raíces reales, por la solución de Cardano las tres raíces están dadas por

${\displaystyle t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$

donde ( k = 1, 2, 3) es una raíz cúbica de 1 ( , , y , donde i es la unidad imaginaria ). Aquí, si los radicandos bajo las raíces cúbicas no son reales, las raíces cúbicas expresadas por radicales se definen como cualquier par de raíces cúbicas conjugadas complejas, mientras que si son reales, estas raíces cúbicas se definen como las raíces cúbicas reales. ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$ ${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$

El casus irreducibilis ocurre cuando ninguna de las raíces es racional y cuando las tres raíces son distintas y reales; el caso de tres raíces reales distintas ocurre si y sólo siq2^​/4⁠ + ⁠pág. ³/27⁠ < 0 , en cuyo caso la fórmula de Cardano implica primero tomar la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario , y luego tomar la raíz cúbica de un número complejo (la raíz cúbica no puede colocarse en la forma α + βi con expresiones específicamente dadas en radicales reales para α y β , ya que hacerlo requeriría resolver independientemente el cúbico original). Incluso en el caso reducible en el que una de las tres raíces reales es racional y, por lo tanto, puede factorizarse mediante división larga de polinomios , la fórmula de Cardano (innecesariamente en este caso) expresa esa raíz (y las otras) en términos de radicales no reales.

Ejemplo

La ecuación cúbica

${\displaystyle 2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0}$

es irreducible, porque si se pudiera factorizar habría un factor lineal que diera una solución racional, mientras que ninguna de las posibles raíces dadas por el criterio de la raíz racional son realmente raíces. Como su discriminante es positivo, tiene tres raíces reales, por lo que es un ejemplo de casus irreducibilis. Estas raíces se pueden expresar como

${\displaystyle t_{k}={\frac {3-\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}-\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}}$

para . Las soluciones están en radicales e involucran las raíces cúbicas de números complejos conjugados . ${\displaystyle k\in \left\{1,2,3\right\}}$

Solución trigonométrica en términos de cantidades reales

Si bien el casus irreducibilis no se puede resolver en radicales en términos de cantidades reales, se puede resolver trigonométricamente en términos de cantidades reales. ^[7] Específicamente, la ecuación cúbica mónica deprimida se resuelve mediante ${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$

${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$

Estas soluciones se expresan en términos de cantidades reales si y solo si , es decir, si y solo si hay tres raíces reales. La fórmula implica comenzar con un ángulo cuyo coseno se conoce, trisecar el ángulo multiplicándolo por 1/3, tomar el coseno del ángulo resultante y ajustarlo a escala. ${\displaystyle {q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0}$

Aunque el coseno y su función inversa (arcocoseno) son funciones trascendentales , esta solución es algebraica en el sentido de que es una función algebraica , equivalente a la trisección del ángulo . ${\displaystyle \cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]}$

Relación con la trisección del ángulo

La distinción entre los casos cúbicos reducibles e irreducibles con tres raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo es o no trisectable por los medios clásicos del compás y la regla sin marcar . Para cualquier ángulo θ , un tercio de este ángulo tiene un coseno que es una de las tres soluciones de

${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.}$

Asimismo, θ ⁄ 3 tiene un seno que es una de las tres soluciones reales de

${\displaystyle 4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.}$

En cualquier caso, si la prueba de la raíz racional revela una solución racional, x o y menos esa raíz se pueden factorizar del polinomio del lado izquierdo, dejando un cuadrático que se puede resolver para las dos raíces restantes en términos de una raíz cuadrada; entonces todas estas raíces son clásicamente construibles ya que son expresables en no más altas que raíces cuadradas, por lo que en particular cos( θ ⁄ 3 ) o sen( θ ⁄ 3 ) es construible y también lo es el ángulo asociado θ ⁄ 3 . Por otro lado, si la prueba de la raíz racional muestra que no hay raíz racional, entonces se aplica casus irreducibilis , cos( θ ⁄ 3 ) o sen( θ ⁄ 3 ) no son construibles, el ángulo θ ⁄ 3 no es construible y el ángulo θ no es clásicamente trisectable.

Por ejemplo, mientras que un ángulo de 180° se puede trisecar en tres ángulos de 60°, un ángulo de 60° no se puede trisecar solo con compás y regla. Usando fórmulas de triple ángulo se puede ver que cos ⁠π/3⁠ = 4 x ³ − 3 x donde x = cos(20°) . Reordenando obtenemos 8 x ³ − 6 x − 1 = 0 , que no pasa la prueba de la raíz racional ya que ninguno de los números racionales sugeridos por el teorema es en realidad una raíz. Por lo tanto, el polinomio mínimo de cos(20°) tiene grado 3, mientras que el grado del polinomio mínimo de cualquier número construible debe ser una potencia de dos.

Expresar cos(20°) en radicales da como resultado

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}$

que implica sacar la raíz cúbica de números complejos. Nótese la similitud con e ^{iπ /3} = ⁠1+ yo √ 3/2⁠ y e ^{−iπ /3} = ⁠1− yo √ 3/2⁠ .

La conexión entre raíces racionales y trisecabilidad también se puede extender a algunos casos donde el seno y el coseno del ángulo dado son irracionales. Consideremos como ejemplo el caso donde el ángulo dado θ es un ángulo de vértice de un pentágono regular, un polígono que se puede construir de manera clásica. Para este ángulo 5θ/3 es 180°, y las identidades trigonométricas estándar dan

${\displaystyle \cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )}$

de este modo

${\displaystyle \cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).}$

El coseno del ángulo trisecado se representa como una expresión racional en términos del coseno del ángulo dado, por lo que el ángulo del vértice de un pentágono regular se puede trisecar (mecánicamente, simplemente dibujando una diagonal).

Generalización

El casus irreducibilis se puede generalizar a polinomios de grado superior de la siguiente manera. Sea p  ∈  F [ x ] un polinomio irreducible que se descompone en una extensión formalmente real R de F (es decir, p solo tiene raíces reales). Supóngase que p tiene una raíz en la que es una extensión de F por radicales. Entonces el grado de p es una potencia de 2, y su campo de descomposición es una extensión cuadrática iterada de F . ^{[8] [9] : 571–572} ${\displaystyle K\subseteq R}$

Así, para cualquier polinomio irreducible cuyo grado no sea una potencia de 2 y que tenga todas sus raíces reales, ninguna raíz puede expresarse puramente en términos de radicales reales, es decir, es un casus irreducibilis en el sentido (del siglo XVI) de este artículo. Además, si el grado del polinomio es una potencia de 2 y todas las raíces son reales, entonces, si hay una raíz que puede expresarse en radicales reales, puede expresarse en términos de raíces cuadradas y no de raíces de grado superior, como pueden hacerlo las otras raíces, y por lo tanto las raíces son clásicamente construibles .

Dummit analiza el casus irreducibilis para polinomios de quinto grado . ^{[10] : 17}

Relación con el ángulo pentasección (quintisección) y superior

La distinción entre los casos quínticos reducibles e irreducibles con cinco raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo con coseno racional o seno racional es pentasectable (se puede dividir en cinco partes iguales) por los medios clásicos del compás y una regla sin marcar. Para cualquier ángulo θ , una quinta parte de este ángulo tiene un coseno que es una de las cinco raíces reales de la ecuación

${\displaystyle 16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.}$

De la misma manera,θ/5⁠ tiene un seno que es una de las cinco raíces reales de la ecuación

${\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.}$

En cualquier caso, si la prueba de la raíz racional da una raíz racional x ₁ , entonces la ecuación quintica es reducible ya que puede escribirse como un factor ( x—x ₁ ) multiplicado por un polinomio de cuarto grado . Pero si la prueba muestra que no hay raíz racional, entonces el polinomio puede ser irreducible, en cuyo caso se aplica el casus irreducibilis , cos( θ ⁄ 5 ) y sen( θ ⁄ 5 ) no son construibles, el ángulo θ ⁄ 5 no es construible y el ángulo θ no es clásicamente pentasectible. Un ejemplo de esto es cuando uno intenta construir un 25-ágono (icosipentágono) con compás y regla. Mientras que un pentágono es relativamente fácil de construir, un 25-ágono requiere un pentasector de ángulo ya que el polinomio mínimo para cos(14.4°) tiene grado 10:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}}$

De este modo,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}}$

Notas

1. Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF) , Nouvelles Annales de Mathématiques (en francés), 2 : 117–127
2. Cox (2012), Teorema 1.3.1, pág. 15.
3. está estrechamente relacionado con el polinomio de Vandermonde . ${\displaystyle \Delta }$
4. Se ve fácilmente que el polinomio con discriminante D = –31 < 0 es irreducible, porque según el teorema de la raíz racional tendría que tener raíces que no tiene. ${\displaystyle x^{3}+x+1}$ ${\displaystyle \in \{-1,1\}}$
5. James Pierpont en Annals of Mathematics 1900-1901 en la p. 42: „Para Cardano y sus contemporáneos que no tenían idea de cómo se podían encontrar tales raíces cúbicas, este caso era altamente paradójico. Desde entonces, los matemáticos han intentado presentar estas raíces reales como sumas de radicales reales. Como sus esfuerzos no tuvieron éxito, el caso cuando D > 0 se conoció como casus irreducibilis.“
   Artur Ekert Complejo e impredecible Cardano toma el ejemplo de Cardano y escribe en la p. 9: „Cardano sabía que esa era una de las soluciones y, sin embargo, era un casus irreducibilis “. Esto muestra que en el siglo XVI „irreducibilis“ debe haber significado algo así como „no reducible a radicales reales“. Por otro lado, el ejemplo de Cardano puede usarse para mostrar cómo las raíces reales pueden surgir de raíces cúbicas de números no reales: ${\displaystyle x^{3}-15x-4=0}$ ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ ${\displaystyle x=4}$
   

   Se puede observar que no es el discriminante ; está con el signo invertido. Curiosamente ocurre en la fórmula de Cardano (así como en las raíces 3.ª primitivas de la unidad con su ), aunque y no es necesariamente un elemento del cuerpo de desdoblamiento. ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ ${\displaystyle \omega _{2,3}}$ ${\displaystyle i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {D}}~,}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}~,}$

6. BL van der Waerden, Álgebra moderna (traducido del alemán por Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, pág. 180.
7. Cox (2012), Sección 1.3B Solución trigonométrica de la ecuación cúbica, págs. 18-19.
8. Cox (2012), Teorema 8.6.5, pág. 222.
9. IM Isaacs, "Solución de polinomios mediante radicales reales", American Mathematical Monthly 92 (8), octubre de 1985, 571–575,
10. David S. Dummit Solución de ecuaciones de quinto grado solucionables Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine.

Referencias

• Cox, David A. (2012), Teoría de Galois , Matemáticas puras y aplicadas (2.ª ed.), John Wiley & Sons, doi : 10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9. Véase en particular la Sección 1.3 Ecuaciones cúbicas sobre los números reales (págs. 15-22) y la Sección 8.6 El casus irreducbilis (págs. 220-227).
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Álgebra moderna I , F. Blum, JR Schulenberg, Springer, ISBN 978-0-387-40624-4

Enlaces externos

• casus irreducibilis en PlanetMath .