En el estudio de los politopos abstractos , un politopo quiral es aquel que es un politopo lo más simétrico posible sin ser espejosimétrico, formalizado en términos de la acción del grupo de simetría del politopo sobre sus banderas .
La definición más técnica de politopo quiral es un politopo que tiene dos órbitas de banderas bajo su grupo de simetrías , con banderas adyacentes en órbitas diferentes. Esto implica que debe ser transitivo por vértice , transitivo por aristas y transitivo por caras , ya que cada vértice, arista o cara debe estar representado por banderas en ambas órbitas; sin embargo, no puede ser simétrico en espejo, ya que cada simetría especular del politopo intercambiaría algún par de banderas adyacentes. [1]
Para los propósitos de esta definición, el grupo de simetría de un politopo se puede definir de dos maneras diferentes: puede referirse a las simetrías de un politopo como un objeto geométrico (en cuyo caso el politopo se llama geométricamente quiral ) o puede referirse a las simetrías del politopo como una estructura combinatoria (los automorfismos de un politopo abstracto ). La quiralidad es significativa para cualquier tipo de simetría, pero las dos definiciones clasifican diferentes politopos como quirales o no quirales. [2]
Los politopos geométricamente quirales son relativamente exóticos en comparación con los politopos regulares más comunes. No es posible que un politopo geométricamente quiral sea convexo, [3] y muchos politopos geométricamente quirales destacados están sesgados .
En tres dimensiones, no es posible que un politopo geométricamente quiral tenga un número finito de caras finitas. Por ejemplo, el cubo chato es transitivo por vértices, pero sus banderas tienen más de dos órbitas y no es transitivo por aristas ni por caras, por lo que no es lo suficientemente simétrico para cumplir con la definición formal de quiralidad. Los poliedros cuasiregulares y sus duales, como el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico , proporcionan otro tipo interesante de casi accidente: tienen dos órbitas de banderas, pero son simétricas en espejo, y no todos los pares de banderas adyacentes pertenecen a órbitas diferentes. Sin embargo, a pesar de la inexistencia de poliedros tridimensionales quirales finitos, existen infinitos poliedros quirales sesgados tridimensionales de tipos {4,6}, {6,4} y {6,6}. [2]
En cuatro dimensiones, hay politopos finitos geométricamente quirales. Un ejemplo es el cubo de Roli, un politopo sesgado en el esqueleto del cubo de 4 . [4] [5]