Factor Q

Parámetro que describe la longevidad de la energía en un resonador en relación con su frecuencia de resonancia.

Una oscilación amortiguada. Un factor Q bajo (aquí, alrededor de 5) significa que la oscilación se extingue rápidamente.

En física e ingeniería , el factor de calidad o factor Q es un parámetro adimensional que describe cuán subamortiguado está un oscilador o resonador . Se define como la relación entre la energía inicial almacenada en el resonador y la energía perdida en un radián del ciclo de oscilación. ^{[1] El factor} Q se define alternativamente como la relación entre la frecuencia central de un resonador y su ancho de banda cuando está sujeto a una fuerza impulsora oscilante. Estas dos definiciones dan resultados numéricamente similares, pero no idénticos. ^[2] Un Q más alto indica una menor tasa de pérdida de energía y las oscilaciones se extinguen más lentamente. Un péndulo suspendido de un cojinete de alta calidad, oscilando en el aire, tiene un Q alto , mientras que un péndulo sumergido en aceite tiene uno bajo. Los resonadores con factores de calidad altos tienen una amortiguación baja , por lo que suenan o vibran durante más tiempo.

Explicación

El factor Q es un parámetro que describe el comportamiento de resonancia de un oscilador armónico subamortiguado (resonador). Los resonadores accionados sinusoidalmente que tienen factores Q más altos resuenan con mayores amplitudes (a la frecuencia de resonancia) pero tienen un rango más pequeño de frecuencias alrededor de esa frecuencia para la que resuenan; el rango de frecuencias para las que resuena el oscilador se llama ancho de banda. Por lo tanto, un circuito sintonizado con un Q alto en un receptor de radio sería más difícil de sintonizar, pero tendría más selectividad ; haría un mejor trabajo de filtrado de señales de otras estaciones que se encuentran cerca en el espectro. Los osciladores de Q alto oscilan con un rango más pequeño de frecuencias y son más estables.

El factor de calidad de los osciladores varía sustancialmente de un sistema a otro, dependiendo de su construcción. Los sistemas para los que la amortiguación es importante (como los amortiguadores que evitan que una puerta se cierre de golpe) tienen un Q cercano a 1 ⁄ 2 . Los relojes, láseres y otros sistemas resonantes que necesitan una resonancia fuerte o una estabilidad de alta frecuencia tienen factores de calidad altos. Los diapasones tienen factores de calidad de alrededor de 1000. El factor de calidad de los relojes atómicos , las cavidades de RF superconductoras utilizadas en aceleradores y algunos láseres de alto Q puede alcanzar valores tan altos como 10 ^{11 [3]} y superiores. ^[4]

Los físicos e ingenieros utilizan muchas magnitudes alternativas para describir el grado de amortiguamiento de un oscilador. Algunos ejemplos importantes son: la relación de amortiguamiento , el ancho de banda relativo , el ancho de línea y el ancho de banda medido en octavas .

El concepto de Q se originó con KS Johnson del Departamento de Ingeniería de Western Electric Company mientras evaluaba la calidad de las bobinas (inductores). Su elección del símbolo Q se debió únicamente a que, en ese momento, todas las demás letras del alfabeto estaban en uso. El término no fue pensado como una abreviatura de "calidad" o "factor de calidad", aunque estos términos se han asociado con él. ^{[5] [6] [7]}

Definición

La definición de Q desde su primer uso en 1914 se ha generalizado para aplicarse a bobinas y condensadores, circuitos resonantes, dispositivos resonantes, líneas de transmisión resonantes, resonadores de cavidad, ^[5] y se ha expandido más allá del campo de la electrónica para aplicarse a sistemas dinámicos en general: resonadores mecánicos y acústicos, Q material y sistemas cuánticos como líneas espectrales y resonancias de partículas.

Definición de ancho de banda

En el contexto de los resonadores, existen dos definiciones comunes para Q , que no son exactamente equivalentes. Se vuelven aproximadamente equivalentes a medida que Q se hace más grande, lo que significa que el resonador se vuelve menos amortiguado. Una de estas definiciones es la relación entre la frecuencia y el ancho de banda del resonador: ^[5]

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{\mathrm {r} }}{\Delta f}}={\frac {\omega _{\mathrm {r} }}{\Delta \omega }},}$$

donde f _r es la frecuencia de resonancia Δ f es el ancho de resonancia o ancho completo a la mitad del máximo (FWHM), es decir, el ancho de banda en el que la potencia de vibración es mayor que la mitad de la potencia a la frecuencia de resonancia, ω _r = 2 πf _r es la frecuencia de resonancia angular , y Δ ω es el ancho de banda de media potencia angular.

Según esta definición, Q es el recíproco del ancho de banda fraccionario .

Definición de energía almacenada

La otra definición común casi equivalente para Q es la relación entre la energía almacenada en el resonador oscilante y la energía disipada por ciclo por los procesos de amortiguación: ^{[8] [9] [5]}

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{\mathrm {r} }\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.}$$

El factor 2 π hace que Q se pueda expresar en términos más simples, involucrando solo los coeficientes de la ecuación diferencial de segundo orden que describe la mayoría de los sistemas resonantes, eléctricos o mecánicos. En los sistemas eléctricos, la energía almacenada es la suma de las energías almacenadas en inductores y capacitores sin pérdidas ; la energía perdida es la suma de las energías disipadas en resistencias por ciclo. En los sistemas mecánicos, la energía almacenada es la suma de las energías potencial y cinética en algún punto en el tiempo; la energía perdida es el trabajo realizado por una fuerza externa , por ciclo, para mantener la amplitud.

De manera más general y en el contexto de la especificación de componentes reactivos (especialmente inductores), se utiliza la definición de Q dependiente de la frecuencia : ^{[8] [10] [ verificación fallida – ver discusión ] [9]}

$${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},}$$

donde ω es la frecuencia angular a la que se mide la energía almacenada y la pérdida de potencia. Esta definición es coherente con su uso para describir circuitos con un solo elemento reactivo (condensador o inductor), donde se puede demostrar que es igual a la relación entre la potencia reactiva y la potencia real . ( Véase Componentes reactivos individuales).

Qfactor y amortiguamiento

El factor Q determina el comportamiento cualitativo de osciladores amortiguados simples. (Para obtener detalles matemáticos sobre estos sistemas y su comportamiento, consulte oscilador armónico y sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) ).

• Un sistema con un factor de calidad bajo ( Q < ⁠1/2⁠ ) ​​se dice que está sobreamortiguado . Un sistema de este tipo no oscila en absoluto, pero cuando se desplaza de su salida de estado estable de equilibrio vuelve a él pordecaimiento exponencial, acercándose al valor de estado establede forma asintótica. Tiene unarespuesta al impulsoque es la suma de dosfunciones exponenciales de decaimientocon diferentes tasas de decaimiento. A medida que el factor de calidad disminuye, el modo de decaimiento más lento se vuelve más fuerte en relación con el modo más rápido y domina la respuesta del sistema, lo que resulta en un sistema más lento. Unfiltro de paso bajocon un factor de calidad muy bajo tiene una respuesta de escalón casi de primer orden; la salida del sistema responde a unade escalónaumentando lentamente hacia unaasíntota.
• Un sistema con alto factor de calidad ( Q > ⁠1/2⁠ ) ​​se dice que está subamortiguado . Los sistemas subamortiguados combinan la oscilación a una frecuencia específica con una caída de la amplitud de la señal. Los sistemas subamortiguados con un factor de calidad bajo (un poco por encima de Q = ⁠1/2) puede oscilar solo una o unas pocas veces antes de extinguirse. A medida que aumenta el factor de calidad, la cantidad relativa de amortiguamiento disminuye. Una campana de alta calidad suena con un solo tono puro durante mucho tiempo después de ser golpeada. Un sistema puramente oscilatorio, como una campana que suena eternamente, tiene un factor de calidad infinito. De manera más general, la salida de unfiltro de paso bajocon un factor de calidad muy alto responde a una entrada escalonada elevándose rápidamente por encima, oscilando alrededor y finalmente convergiendo a un valor de estado estable.
• Un sistema con un factor de calidad intermedio ( Q = ⁠1/2⁠ ) ​​se dice que está críticamente amortiguado . Al igual que un sistema sobreamortiguado, la salida no oscila y no sobrepasa su salida de estado estable (es decir, se aproxima a una asíntota de estado estable). Al igual que una respuesta subamortiguada, la salida de dicho sistema responde rápidamente a una entrada de escalón unitario. La amortiguación crítica da como resultado la respuesta más rápida (aproximación al valor final) posible sin sobrepasar. Las especificaciones del sistema real generalmente permiten cierto sobrepaso para una respuesta inicial más rápida o requieren una respuesta inicial más lenta para proporcionar unmargen de seguridadcontra el sobrepaso.

En los sistemas de retroalimentación negativa , la respuesta dominante de bucle cerrado suele estar bien modelada por un sistema de segundo orden. El margen de fase del sistema de bucle abierto establece el factor de calidad Q del sistema de bucle cerrado; a medida que el margen de fase disminuye, el sistema de bucle cerrado de segundo orden aproximado se vuelve más oscilatorio (es decir, tiene un factor de calidad más alto).

Algunos ejemplos

• Una topología de filtro paso bajo Sallen-Key con ganancia unitaria con capacitores y resistencias iguales está críticamente amortiguada (es decir, Q = ⁠1/2⁠ ).
• Un filtro de Bessel de segundo orden (es decir, un filtro de tiempo continuo con el retardo de grupo más plano ) tiene un Q subamortiguado = ⁠1/√ 3⁠ .
• Un filtro Butterworth de segundo orden (es decir, un filtro de tiempo continuo con la respuesta de frecuencia de banda de paso más plana) tiene una Q subamortiguada = ⁠1/√ 2⁠ .^[11]
• El factor Q de un péndulo es: Q = Mω / Γ , donde M es la masa del péndulo, ω = 2 π / T es la frecuencia radiana de oscilación del péndulo y Γ es la fuerza de amortiguación por fricción en el péndulo por unidad de velocidad.
• El diseño de un girotrón de alta energía (cerca de los terahercios ) considera tanto el factor Q difractivo, como una función de la longitud del resonador L , la longitud de onda λ y el factor Q óhmico ( modos TE _{m,p ).} ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$

  $${\displaystyle Q_{\Omega }={\frac {R_{\mathrm {w} }}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}},}$$

  donde R _w es el radio de la pared de la cavidad, δ es la profundidad de la piel de la pared de la cavidad, v _m,p es el escalar de valor propio ( m es el índice de acimut, p es el índice radial; en esta aplicación, la profundidad de la piel es ) ^[12] ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_{o}}}}$
• En la ecografía médica , un transductor con un factor Q alto es adecuado para la ecografía Doppler debido a su largo tiempo de respuesta, donde puede medir las velocidades del flujo sanguíneo. Mientras tanto, un transductor con un factor Q bajo tiene un tiempo de respuesta corto y es adecuado para la obtención de imágenes de órganos porque puede recibir una amplia gama de ecos reflejados de los órganos corporales. ^[13]

Interpretación física

Físicamente hablando, Q es aproximadamente la relación entre la energía almacenada y la energía disipada en un radián de la oscilación; o casi equivalentemente, en valores Q suficientemente altos , 2 π veces la relación entre la energía total almacenada y la energía perdida en un solo ciclo. ^[14]

Es un parámetro adimensional que compara la constante de tiempo exponencial τ de decaimiento de la amplitud de un sistema físico oscilante con su período de oscilación . De manera equivalente, compara la frecuencia a la que oscila un sistema con la tasa a la que disipa su energía. Más precisamente, la frecuencia y el período utilizados deben basarse en la frecuencia natural del sistema, que a valores bajos de Q es algo más alta que la frecuencia de oscilación medida por cruces por cero.

De manera equivalente (para valores grandes de Q ), el factor Q es aproximadamente el número de oscilaciones necesarias para que la energía de un sistema que oscila libremente caiga a e ^{−2 π} , o aproximadamente 1 ⁄ 535 o 0,2%, de su energía original. ^[15] Esto significa que la amplitud cae a aproximadamente e ^{− π} o 4% de su amplitud original. ^[16]

El ancho (ancho de banda) de la resonancia viene dado por (aproximadamente): donde f _N es la frecuencia natural , y Δ f , el ancho de banda , es el ancho del rango de frecuencias para el cual la energía es al menos la mitad de su valor pico. $${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,}$$

La frecuencia de resonancia a menudo se expresa en unidades naturales (radianes por segundo), en lugar de utilizar la f _N en hercios , como $${\displaystyle \omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.}$$

Los factores Q , el coeficiente de amortiguamiento ζ , la frecuencia natural ω _N , la tasa de atenuación α y la constante de tiempo exponencial τ están relacionados de tal manera que: ^{[17] [ página necesaria ]}

$${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},}$$

y la relación de amortiguamiento se puede expresar como:

$${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.}$$

La envolvente de oscilación decae proporcionalmente a e ^{− αt} o e ^{− t/τ} , donde α y τ pueden expresarse como:

$${\displaystyle \alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }}$$y $${\displaystyle \tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.}$$

La energía de oscilación, o la disipación de potencia, decae dos veces más rápido, es decir, al cuadrado de la amplitud, que e ^{−2 αt} o e ^{−2 t/τ} .

Para un filtro de paso bajo de dos polos, la función de transferencia del filtro es ^[17]

$${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,}$$

Para este sistema, cuando Q > ⁠1/2⁠ (es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dospolosconjugados complejosparte realde−α. Es decir, el parámetro de atenuaciónαrepresenta la tasa dedecaimiento exponencialde las oscilaciones (es decir, de la salida después de unimpulso) en el sistema. Un factor de calidad más alto implica una tasa de atenuación más baja y, por lo tanto, los sistemas de alta calidadoscilandurante muchos ciclos. Por ejemplo, las campanas de alta calidad tienen un tono sinusoidal aproximadamentepurodurante mucho tiempo después de ser golpeadas por un martillo.

Sistemas eléctricos

Gráfico de la magnitud de ganancia de un filtro que ilustra el concepto de −3 dB con una ganancia de voltaje de 0,707 o un ancho de banda de media potencia. El eje de frecuencia de este diagrama simbólico puede tener una escala lineal o logarítmica .

Para un sistema eléctricamente resonante, el factor Q representa el efecto de la resistencia eléctrica y, para resonadores electromecánicos como los cristales de cuarzo , la fricción mecánica .

Relación entreQy ancho de banda

El ancho de banda bilateral relativo a una frecuencia resonante de F ₀ (Hz) es F ₀ / Q .

Por ejemplo, una antena sintonizada para tener un valor Q de 10 y una frecuencia central de 100 kHz tendría un ancho de banda de 3 dB de 10 kHz.

En audio, el ancho de banda se expresa a menudo en términos de octavas . Entonces, la relación entre Q y el ancho de banda es

$${\displaystyle Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},}$$donde BW es el ancho de banda en octavas. ^[19]

Circuitos RLC

En un circuito RLC en serie ideal y en un receptor de radiofrecuencia sintonizado (TRF), el factor Q es: ^[20]

$${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$$

donde R , L y C son la resistencia , la inductancia y la capacitancia del circuito sintonizado, respectivamente. Las resistencias en serie mayores corresponden a valores Q del circuito más bajos .

Para un circuito RLC paralelo, el factor Q es el inverso del caso en serie: ^{[21] [20]}

$${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$$^[22]

Considere un circuito donde R , L y C están todos en paralelo. Cuanto menor sea la resistencia en paralelo, mayor será el efecto que tendrá en la amortiguación del circuito y, por lo tanto, el resultado será un valor Q más bajo . Esto es útil en el diseño de filtros para determinar el ancho de banda.

En un circuito LC en paralelo donde la pérdida principal es la resistencia del inductor, R , en serie con la inductancia, L , Q es como en el circuito en serie. Esta es una circunstancia común para los resonadores, donde limitar la resistencia del inductor para mejorar Q y reducir el ancho de banda es el resultado deseado.

Componentes reactivos individuales

La Q de un componente reactivo individual depende de la frecuencia a la que se evalúa, que normalmente es la frecuencia resonante del circuito en el que se utiliza. La Q de un inductor con una resistencia de pérdida en serie es la Q de un circuito resonante que utiliza ese inductor (incluida su pérdida en serie) y un condensador perfecto. ^[23]

$${\displaystyle Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}}$$

dónde:

• ω ₀ es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo;
• L es la inductancia;
• X _L es la reactancia inductiva ; y
• R _L es la resistencia en serie del inductor.

La Q de un capacitor con una resistencia de pérdida en serie es la misma que la Q de un circuito resonante que utiliza ese capacitor con un inductor perfecto: ^[23]

$${\displaystyle Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}}$$

dónde:

• ω ₀ es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo;
• C es la capacitancia;
• X _C es la reactancia capacitiva ; y
• R _C es la resistencia en serie del condensador.

En general, la Q de un resonador que involucra una combinación en serie de un capacitor y un inductor se puede determinar a partir de los valores Q de los componentes, independientemente de si sus pérdidas provienen de la resistencia en serie o de otra manera: ^[23]

${\displaystyle Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}}$

Sistemas mecánicos

Para un sistema de masa-resorte amortiguado de una sola pieza, el factor Q representa el efecto de la amortiguación viscosa simplificada o arrastre , donde la fuerza de amortiguación o arrastre es proporcional a la velocidad. La fórmula para el factor Q es: donde M es la masa, k es la constante del resorte y D es el coeficiente de amortiguación, definido por la ecuación F _{amortiguación} = − Dv , donde v es la velocidad. ^[24] $${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$$

Sistemas acústicos

El Q de un instrumento musical es fundamental; un Q excesivamente alto en un resonador no amplificará de manera uniforme las múltiples frecuencias que produce un instrumento. Por este motivo, los instrumentos de cuerda suelen tener cuerpos con formas complejas, de modo que producen una amplia gama de frecuencias de manera bastante uniforme.

El Q de un instrumento de viento o de metal debe ser lo suficientemente alto como para captar una frecuencia del espectro más amplio de zumbido de los labios o la lengüeta. Por el contrario, una vuvuzela está hecha de plástico flexible y, por lo tanto, tiene un Q muy bajo para un instrumento de metal, lo que le da un tono turbio y entrecortado. Los instrumentos hechos de plástico más rígido, latón o madera tienen valores Q más altos . Un Q excesivamente alto puede dificultar la obtención de una nota. El Q de un instrumento puede variar según las frecuencias, pero esto puede no ser deseable.

Los resonadores de Helmholtz tienen un Q muy alto , ya que están diseñados para captar un rango muy estrecho de frecuencias.

Sistemas ópticos

En óptica , el factor Q de una cavidad resonante viene dado por donde f _o es la frecuencia resonante, E es la energía almacenada en la cavidad y P = − ⁠ $${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,}$$Delaware/es⁠ es la potencia disipada. El Q óptico es igual a la relación entre la frecuencia resonante y el ancho de banda de la resonancia de la cavidad. La vida media de un fotón resonante en la cavidad es proporcional al Q de la cavidad . Si el factor Q de la cavidad de un láser cambia abruptamente de un valor bajo a uno alto, el láser emitirá un pulso de luz que es mucho más intenso que la salida continua normal del láser. Esta técnica se conoce como Q -switching . El factor Q es de particular importancia en plasmónica , donde la pérdida está vinculada a la amortiguación de la resonancia del plasmón de superficie . ^[25] Si bien la pérdida normalmente se considera un obstáculo en el desarrollo de dispositivos plasmónicos, es posible aprovechar esta propiedad para presentar nuevas funcionalidades mejoradas. ^[26]

Véase también

• Resonancia acústica
• Atenuación
• Límite de Chu-Harrington
• Lista de materiales piezoeléctricos
• Margen de fase
• Medidor Q
• Multiplicador Q
• Factor de disipación

Referencias

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Lectura adicional

• Agarwal, Anant ; Lang, Jeffrey (2005). Fundamentos de circuitos electrónicos analógicos y digitales. Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.

Enlaces externos

• Cálculo de las frecuencias de corte cuando se proporcionan la frecuencia central y el factor Q
• Explicación del factor Q en circuitos de sintonización de radio