Ley de Stokes sobre la atenuación del sonido

Fórmula para la pérdida de intensidad del sonido en un fluido newtoniano

En acústica , la ley de Stokes de atenuación del sonido es una fórmula para la atenuación del sonido en un fluido newtoniano , como el agua o el aire, debido a la viscosidad del fluido . Establece que la amplitud de una onda plana disminuye exponencialmente con la distancia recorrida, a una tasa α dada por donde η es el coeficiente de viscosidad dinámica del fluido, ω es la frecuencia angular del sonido , ρ es la densidad del fluido y V es la velocidad del sonido en el medio. ^[1] $${\displaystyle \alpha ={\frac {2\eta \omega ^{2}}{3\rho V^{3}}}}$$

La ley y su derivación fueron publicadas en 1845 por el físico anglo-irlandés GG Stokes , quien también desarrolló la ley de Stokes para la fuerza de fricción en el movimiento de fluidos . Una generalización de la atenuación de Stokes teniendo en cuenta el efecto de la conductividad térmica fue propuesta por el físico alemán Gustav Kirchhoff en 1868. ^{[2] [3]}

La atenuación del sonido en los fluidos también va acompañada de dispersión acústica , lo que significa que las diferentes frecuencias se propagan a diferentes velocidades del sonido. ^[1]

Interpretación

La ley de Stokes de atenuación del sonido se aplica a la propagación del sonido en un medio newtoniano isótropo y homogéneo . Considere una onda de presión sinusoidal plana que tiene amplitud A ₀ en algún punto. Después de recorrer una distancia d desde ese punto, su amplitud A ( d ) será $${\displaystyle A(d)=A_{0}e^{-\alpha d}}$$

El parámetro α es una especie de constante de atenuación , dimensionalmente el recíproco de la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), se expresa en neperios por metro o simplemente el recíproco del metro (m ^–1 ). Es decir, si α  = 1 m ^–1 , la amplitud de la onda disminuye en un factor de 1/ e por cada metro recorrido.

Importancia de la viscosidad volumétrica

La ley se modifica para incluir una contribución de la viscosidad volumétrica ζ : El coeficiente de viscosidad volumétrica es relevante cuando no se puede ignorar la compresibilidad del fluido , como en el caso del ultrasonido en el agua. ^{[4] [5] [6] [7]} La ​​viscosidad volumétrica del agua a 15 C es 3,09 centipoise . ^[8] $${\displaystyle \alpha ={\frac {\left(2\eta +{\frac {3}{2}}\zeta \right)\omega ^{2}}{3\rho V^{3}}}={\frac {\left({\frac {4}{3}}\eta +\zeta \right)\omega ^{2}}{2\rho V^{3}}}}$$

Modificación para frecuencias muy altas

Gráfico del vector de onda reducido y del coeficiente de atenuación en función de la frecuencia reducida ωτ . (En las etiquetas, ω _c = 1/ τ )

  Vector de onda reducido, kcτ .

  Régimen asintótico a bajas y altas frecuencias.

  Coeficiente de atenuación, αcτ .

  Régimen asintótico a frecuencias bajas y altas (la ley de Stokes es la línea más a la izquierda).

La ley de Stokes es en realidad una aproximación asintótica para frecuencias bajas de una fórmula más general que involucra el tiempo de relajación τ : El tiempo de relajación para el agua es de aproximadamente 2,0 × 10 ⁻¹² segundos (2 picosegundos ) por radián ^{[ cita requerida ]} , correspondiente a una frecuencia angular ω de $${\displaystyle {\begin{aligned}2\left({\frac {\alpha V}{\omega }}\right)^{2}&={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}}-{\frac {1}{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}\\\alpha &={\frac {\omega }{V}}{\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}-1}{2\left(1+\left(\omega \tau \right)^{2}\right)}}}\\\tau &={\frac {{\frac {4\eta }{3}}+\zeta }{\rho V^{2}}}={\frac {4\eta +3\zeta }{3\rho V^{2}}}\\\alpha &=\omega {\sqrt {\frac {3}{2}}}\left({\frac {\rho \left({\sqrt {\left(\omega \left(4\eta +3\zeta \right)\right)^{2}+\left(3\rho V^{2}\right)^{2}}}-3\rho V^{2}\right)}{\left(\omega \left(4\eta +3\zeta \right)\right)^{2}+\left(3\rho V^{2}\right)^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}$$ 5 × 10 ¹¹ radianes (500 gigaradianes) por segundo y por lo tanto una frecuencia de aproximadamente 3,14 × 10 ¹² hercios (3,14 terahercios ).

Véase también

• Atenuación acústica

Referencias

1. Stokes, GG "Sobre las teorías de la fricción interna en fluidos en movimiento, y del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 8, 22, pp. 287-342 (1845)
2. G. Kirchhoff, "Ueber den Einfluss der Wärmeleitung in einem Gase auf die Schallbewegung", Ann. Phys., 210: 177-193 (1868). Enlace al artículo
3. S. Benjelloun y JM Ghidaglia, "Sobre la relación de dispersión para ecuaciones de Navier-Stokes compresibles", Enlace a la impresión electrónica de archivo Enlace a la impresión electrónica de Hal
4. Happel, J. y Brenner, H. "Hidrodinámica de bajo número de Reynolds", Prentice-Hall , (1965)
5. Landau, LD y Lifshitz, EM "Mecánica de fluidos", Pergamon Press , (1959)
6. Morse, PM e Ingard, KU "Acústica teórica", Princeton University Press (1986)
7. Dukhin, AS y Goetz, PJ "Caracterización de líquidos, nano y micropartículas y cuerpos porosos mediante ultrasonido", Edición 3, Elsevier , (2017)
8. Litovitz, TA y Davis, CM En "Acústica física", Ed. WPMason, vol. 2, capítulo 5, Academic Press , NY, (1964)