Paridad put-call

Concepto en matemáticas financieras

En matemáticas financieras , la paridad put-call define una relación entre el precio de una opción call europea y una opción put europea , ambas con el mismo precio de ejercicio y vencimiento, es decir, que una cartera de una opción call larga y una opción put corta es equivalente a (y por lo tanto tiene el mismo valor que) un único contrato forward a este precio de ejercicio y vencimiento. Esto se debe a que si el precio al vencimiento es superior al precio de ejercicio, se ejercerá la opción call, mientras que si es inferior, se ejercerá la opción put y, por lo tanto, en ambos casos se comprará una unidad del activo por el precio de ejercicio, exactamente como en un contrato forward.

La validez de esta relación requiere que se cumplan ciertos supuestos; estos se especifican y la relación se deriva a continuación. En la práctica, los costos de transacción y los costos de financiamiento (apalancamiento) significan que esta relación no se cumplirá exactamente, pero en mercados líquidos la relación es casi exacta.

Supuestos

La paridad put-call es una réplica estática de un contrato a plazo y, por lo tanto, requiere suposiciones mínimas . En ausencia de contratos a plazo negociados, el contrato a plazo puede reemplazarse (de hecho, replicarse) por la capacidad de comprar el activo subyacente y financiarlo mediante un préstamo a plazo fijo (por ejemplo, préstamos de bonos) o, a la inversa, tomar prestado y vender (vender en corto) el activo subyacente y prestar el dinero recibido a plazo, lo que en ambos casos da como resultado una cartera autofinanciada .

Estos supuestos no requieren ninguna transacción entre la fecha inicial y la de vencimiento y, por lo tanto, son significativamente más débiles que los del modelo Black-Scholes , que requiere una replicación dinámica y una transacción continua en el subyacente.

La replicación presupone que se pueden realizar transacciones con derivados, lo que requiere apalancamiento (y costos de capital para respaldarlo), y que la compra y venta implica costos de transacción , en particular el diferencial entre oferta y demanda . Por lo tanto, la relación solo se cumple exactamente en un mercado ideal sin fricciones con liquidez ilimitada. Sin embargo, los mercados del mundo real pueden ser lo suficientemente líquidos como para que la relación sea casi exacta, sobre todo los mercados de divisas en las principales monedas o los principales índices bursátiles, en ausencia de turbulencias del mercado.

Declaración

La paridad put-call se puede expresar de varias maneras equivalentes, la más breve de las cuales es:

${\displaystyle C-P=D\cdot (F-K)}$

donde es el valor (actual) de una opción call, es el valor (actual) de una opción put, es el factor de descuento , es el precio forward del activo subyacente y es el precio de ejercicio. El lado izquierdo corresponde a una cartera de una opción call larga y una opción put corta; el lado derecho corresponde a un contrato forward. Los activos y en el lado izquierdo se dan en valores actuales, mientras que los activos y se dan en valores futuros (precio forward del activo y precio de ejercicio pagado al vencimiento), que el factor de descuento convierte a valores actuales. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$

Ahora, el precio spot se puede obtener descontando el precio forward por el factor . Si usamos el precio spot en lugar del precio forward, obtenemos: ${\displaystyle S=D\cdot F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle C-P=S-D\cdot K}$.

Reordenando los términos obtenemos una primera interpretación:

${\displaystyle C+D\cdot K=P+S}$.

Aquí, el lado izquierdo es una opción de compra fiduciaria, que es una opción de compra larga y suficiente efectivo (o bonos) para ejercerla pagando el precio de ejercicio. El lado derecho es una opción de venta casada , que es una opción de venta larga emparejada con el activo, de modo que el activo se puede vender al precio de ejercicio en el momento del ejercicio. Al vencimiento, el valor intrínseco de las opciones se desvanece, por lo que ambas partes tienen un pago igual al menos al precio de ejercicio o al valor del activo si es mayor. ${\displaystyle \max(K,S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Que una opción call larga con efectivo sea equivalente a una opción put larga con activo es un significado de la paridad put-call.

Reordenando los términos de otra manera nos da una segunda interpretación:

${\displaystyle D\cdot K-P=S-C}$.

Ahora, el lado izquierdo es una opción de venta garantizada con efectivo, es decir, una opción de venta corta y suficiente efectivo para darle al propietario de la opción de venta si la ejerce. El lado derecho es una opción de compra cubierta , que es una opción de compra corta emparejada con el activo, donde el activo está listo para ser rescatado por el propietario de la opción de compra si lo ejerce. Al vencimiento, el escenario anterior se invierte. Ambos lados ahora tienen un pago igual al precio de ejercicio o al valor del activo, lo que sea menor . ${\displaystyle \min(K,S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Vemos, entonces, que la paridad put-call también puede entenderse como la equivalencia de una opción put garantizada con efectivo (corta) y una opción call cubierta (corta). Esto puede resultar sorprendente, ya que vender una opción put garantizada con efectivo suele considerarse más riesgoso que vender una opción call cubierta. ^[1]

Para hacer explícito el valor temporal del efectivo y la dependencia temporal de las variables financieras, la ecuación original de paridad put-call puede enunciarse como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

dónde

${\displaystyle C(t)}$es el valor de la llamada en el momento , ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(t)}$es el valor del put de la misma fecha de vencimiento,

${\displaystyle S(t)}$es el precio al contado del activo subyacente,

${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio, y

${\displaystyle B(t,T)}$es el valor actual de un bono cupón cero que vence a $1 en el momento , es decir, el factor de descuento para ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K.}$

Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación es también el precio de compra de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega . Por lo tanto, una forma de leer la ecuación es que una cartera que tiene una posición larga en una opción call y corta en una opción put es lo mismo que tener una posición larga en un contrato a plazo. En particular, si el subyacente no es negociable pero existen contratos a plazo sobre él, podemos reemplazar la expresión del lado derecho por el precio de un contrato a plazo. ${\displaystyle K}$

Si se supone que la tasa de interés del bono , , es constante, entonces ${\displaystyle r}$

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}}$

Nota: se refiere a la fuerza de interés , que es aproximadamente igual a la tasa anual efectiva para tasas de interés bajas. Sin embargo, se debe tener cuidado con la aproximación, especialmente con tasas más altas y períodos de tiempo más largos. Para encontrar exactamente, use , donde es la tasa de interés anual efectiva. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\ln(1+i)}$ ${\displaystyle i}$

Al valorar opciones europeas emitidas sobre acciones con dividendos conocidos que se pagarán durante la vida de la opción, la fórmula se convierte en:

${\displaystyle C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

donde representa el valor total de los dividendos de una acción a pagar durante la vida restante de las opciones, descontado al valor actual . ${\displaystyle D(t)}$

Podemos reescribir la ecuación como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)}$

y observe que el lado derecho es el precio de un contrato a plazo sobre acciones con precio de entrega , como antes. ${\displaystyle K}$

Derivación

Supondremos que las opciones de compra y venta se refieren a acciones negociables, pero el activo subyacente puede ser cualquier otro activo negociable. La capacidad de comprar y vender el activo subyacente es crucial para el argumento de "no arbitraje" que se expone a continuación.

En primer lugar, observe que, bajo el supuesto de que no existen oportunidades de arbitraje (los precios están libres de arbitraje ), dos carteras que siempre tienen el mismo resultado en el momento T deben tener el mismo valor en cualquier momento anterior. Para demostrarlo, supongamos que, en algún momento t antes de T , una cartera era más barata que la otra. Entonces, uno podría comprar (ir a largo plazo) la cartera más barata y vender (ir a corto plazo) la más cara. En el momento T , nuestra cartera general, para cualquier valor del precio de la acción, tendría valor cero (todos los activos y pasivos se han cancelado). El beneficio que obtuvimos en el momento t es, por lo tanto, un beneficio sin riesgo, pero esto viola nuestro supuesto de que no hay arbitraje.

Derivaremos la relación de paridad put-call creando dos carteras con los mismos pagos ( replicación estática ) e invocando el principio anterior ( fijación de precios racional ).

Consideremos una opción de compra y una opción de venta con el mismo precio de ejercicio K y vencimiento en la misma fecha T sobre una acción S que no paga dividendos. Suponemos la existencia de un bono que paga 1 dólar al vencimiento T. El precio del bono puede ser aleatorio (como el de la acción), pero debe ser igual a 1 al vencimiento.

Sea S(t) el precio de S en el momento t. Ahora, arme una cartera comprando una opción de compra C y vendiendo una opción de venta P con el mismo vencimiento T y precio de ejercicio K. El resultado de esta cartera es S(T) - K. Ahora, arme una segunda cartera comprando una acción y tomando prestados K ​​bonos. Observe que el resultado de la última cartera también es S(T) - K en el momento T , ya que nuestra acción comprada por S(t) valdrá S(T) y los bonos tomados en préstamo valdrán K.

Según nuestra observación preliminar de que pagos idénticos implican que ambas carteras deben tener el mismo precio en un momento general , existe la siguiente relación entre el valor de los distintos instrumentos: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,}$

Por lo tanto, si no hay oportunidades de arbitraje, la relación anterior, conocida como paridad put-call , se cumple, y para cualesquiera tres precios de call, put, bono y acción se puede calcular el precio implícito del cuarto.

En el caso de los dividendos, la fórmula modificada se puede derivar de manera similar a la anterior, pero con la modificación de que una cartera consiste en comprar una opción call, vender una opción put y comprar bonos D(T) que pagan 1 dólar cada uno al vencimiento T (los bonos valdrán D(t) en el momento t ); la otra cartera es la misma que antes: comprar una acción y vender bonos K que pagan 1 dólar cada uno en T. La diferencia es que en el momento T , la acción no solo vale S(T), sino que ha pagado D(T) en dividendos.

Historia

Las formas de paridad put-call aparecieron en la práctica ya en la Edad Media y fueron descritas formalmente por varios autores a principios del siglo XX.

Michael Knoll, en The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage , describe el importante papel que desempeñó la paridad put-call en el desarrollo del capital de rescate , la característica definitoria de una hipoteca moderna, en la Inglaterra medieval.

En el siglo XIX, el financiero Russell Sage utilizó la paridad put-call para crear préstamos sintéticos, que tenían tasas de interés más altas que las que normalmente habrían permitido las leyes de usura de la época. ^{[ cita requerida ]}

Nelson, un operador de arbitraje de opciones de Nueva York, publicó un libro: "El ABC de las opciones y el arbitraje" en 1904, que describe la paridad put-call en detalle. Su libro fue redescubierto por Espen Gaarder Haug a principios de la década de 2000 y muchas referencias del libro de Nelson se dan en el libro de Haug "Modelos de derivados sobre modelos".

Henry Deutsch describe la paridad put-call en 1910 en su libro "Arbitrage in Bullion, Coins, Bills, Stocks, Shares and Options, 2nd Edition". Londres: Engham Wilson, pero con menos detalle que Nelson (1904).

El profesor de matemáticas Vinzenz Bronzin también derivó la paridad put-call en 1908 y la utilizó como parte de su argumento de arbitraje para desarrollar una serie de modelos matemáticos de opciones bajo una serie de distribuciones diferentes. El trabajo del profesor Bronzin fue redescubierto recientemente por el profesor Wolfgang Hafner y el profesor Heinz Zimmermann. El trabajo original de Bronzin es un libro escrito en alemán y ahora está traducido y publicado en inglés en una obra editada por Hafner y Zimmermann ("Vinzenz Bronzin's option pricing models", Springer Verlag ).

Su primera descripción en la literatura académica moderna parece ser la de Hans R. Stoll en el Journal of Finance . ^{[2] [3]}

Trascendencia

La paridad put-call implica:

• Equivalencia de opciones de compra y de venta : la paridad implica que una opción de compra y una opción de venta se pueden utilizar indistintamente en cualquier cartera neutral en cuanto al delta . Si es el delta de la opción de compra, entonces comprar una opción de compra y vender acciones es lo mismo que vender una opción de venta y vender acciones. La equivalencia de opciones de compra y de venta es muy importante al negociar opciones. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1-d}$
• Paridad de volatilidad implícita : en ausencia de dividendos u otros costos de mantenimiento (como cuando es difícil tomar prestadas una acción o venderla en corto), la volatilidad implícita de las opciones de compra y venta debe ser idéntica. ^[4]

Véase también

• Paridad spot-futuro
• Vinzenz Bronzin

Referencias

1. Noël, Martin (17 de mayo de 2017). "Paridad de opciones call y put: cómo transformar sus posiciones". OptionMatters.ca . Bourse de Montréal Inc.
2. Stoll, Hans R. (diciembre de 1969). "La relación entre los precios de las opciones de compra y venta". Journal of Finance . 24 (5): 801–824. doi :10.2307/2325677. JSTOR  2325677.
3. Citado por ejemplo en Derman, Emanuel; Taleb, Nassim Nicholas (2005). "Las ilusiones de la replicación dinámica". Finanzas cuantitativas . 5 (4): 323–326. doi :10.1080/14697680500305105. S2CID  154820481.
4. Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5.ª ed.). Prentice Hall . Págs. 330-331. ISBN. 0-13-009056-5.

Enlaces externos

• Paridad put-call
  • Paridad put-call, tutorial de Salman Khan (educador)
  • Paridad put-call y oportunidad de arbitraje, investopedia.com
  • Las antiguas raíces de la innovación financiera moderna: la historia temprana del arbitraje regulatorio, la historia de la paridad put-call de Michael Knoll
• Otras relaciones de arbitraje
  • Relaciones de arbitraje para opciones, Prof. Thayer Watkins
  • Reglas racionales y condiciones límite para la fijación de precios de opciones ( PDFDi ), Prof. Don M. Chance
  • Límites de no arbitraje para las opciones, Prof. Robert Novy-Marx
• Herramientas
  • Relaciones de arbitraje de opciones, Prof. Campbell R. Harvey