En matemáticas , un singleton (también conocido como conjunto unitario [1] o conjunto de un punto ) es un conjunto con exactamente un elemento . Por ejemplo, el conjunto es un singleton cuyo elemento único es .
En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento en sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, [1] por lo tanto 1 y no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, pero no un singleton).
Un conjunto es singleton si y sólo si su cardinalidad es 1 . En la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales , el número 1 se define como el singleton
En la teoría axiomática de conjuntos , la existencia de singletons es una consecuencia del axioma de emparejamiento : para cualquier conjunto A , el axioma aplicado a A y A afirma la existencia del cual es el mismo que el singleton (ya que contiene A , y ningún otro conjunto, como elemento).
Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces existe precisamente una función de A a S , la función envía cada elemento de A al único elemento de S. Por tanto, cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos .
Un singleton tiene la propiedad de que cada función desde él hasta cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío .
Cada conjunto singleton es un ultra prefiltro . Si es un conjunto y entonces hacia arriba del cual está el conjunto es un ultrafiltro principal en [2] Además, todo ultrafiltro principal en es necesariamente de esta forma. [2] El lema de los ultrafiltros implica que existen ultrafiltros no principales en cada conjunto infinito (estos se denominan ultrafiltros libres ). Cada red valorada en un subconjunto singleton de es una ultranet en
La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto ( OEIS : A000110 ); si se excluyen los singleton, los números son más pequeños ( OEIS : A000296 ).
Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de varias categorías :
Sea S una clase definida por una función indicadora. Entonces S se llama singleton si y sólo si existe algo tal que para todos
La siguiente definición fue introducida por Whitehead y Russell [3]
El símbolo ' denota el singleton y denota la clase de objetos idénticos a aka . Esto ocurre como una definición en la introducción, lo que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como la proposición 51.01 (p.357 ibid.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como
Es decir, 1 es la clase de singletons. Esta es la definición 52.01 (p.363 ibid.)