Puentes capilares

Superficie minimizada del líquido que conecta dos objetos mojados.

Un puente capilar es una superficie minimizada de líquido o membrana creada entre dos cuerpos rígidos de forma arbitraria. También se pueden formar puentes capilares entre dos líquidos. ^[1] Plateau definió una secuencia de formas capilares ^[2] conocida como (1) nodoide con 'cuello', (2) catenoide , (3) unduloide con 'cuello', (4) cilindro , (5) unduloide con 'anca ' (6) esfera y (7) nodoide con 'anca' . La presencia de puentes capilares, dependiendo de sus formas, puede provocar atracción o repulsión entre los cuerpos sólidos. Los casos más simples de ellos son los axisimétricos. Distinguimos tres clases importantes de puentes, según las formas de las superficies de los cuerpos conectados:

• dos superficies planas (fig.1)

fig.1 Puente capilar cóncavo entre dos planos (representación esquemática)

• superficie plana y partícula esférica (fig.2)

fig.2 Puente capilar cóncavo entre partículas y superficie plana (representación esquemática)

• dos partículas esféricas (en general, las partículas pueden no ser del mismo tamaño, fig. 3)

fig.3 Puente capilar cóncavo entre dos partículas (representación esquemática)

Los puentes capilares y sus propiedades también pueden verse influenciados por la gravedad de la Tierra y por las propiedades de las superficies puenteadas. La sustancia puente puede ser un líquido o un gas. El límite circundante se llama interfaz ( superficie capilar ). La interfaz se caracteriza por una tensión superficial particular .

Historia

Los puentes capilares se han estudiado durante más de 200 años. La cuestión fue planteada por primera vez por Josef Louis Lagrange en 1760, y el astrónomo y matemático francés C. Delaunay difundió aún más el interés . ^[3] Delaunay encontró una clase completamente nueva de superficies axialmente simétricas de curvatura media constante . La formulación y demostración de su teorema tuvo una larga historia. Comenzó con la propuesta de Euler ^[4] de una nueva figura, llamada catenoide . (Mucho más tarde, Kenmotsu ^[5] resolvió las complejas ecuaciones no lineales, describiendo esta clase de superficies. Sin embargo, su solución tiene poca importancia práctica porque no tiene interpretación geométrica.) J. Plateau demostró la existencia de tales formas con límites dados. El problema lleva su nombre Problema de Plateau . ^[6]
Muchos científicos contribuyeron a la solución del problema. Uno de ellos es Thomas Young. ^[7] Pierre Simon Laplace aportó la noción de tensión capilar. Laplace incluso formuló la condición ampliamente conocida hoy en día para el equilibrio mecánico entre dos fluidos, divididos por una superficie capilar P _γ =Δ P , es decir, la presión capilar entre dos fases se equilibra por su diferencia de presión adyacente.
Myshkis y Babskii completan un estudio general sobre el comportamiento de los puentes capilares en el campo gravitatorio. ^[8]
En el último siglo se pusieron muchos esfuerzos en el estudio de las fuerzas superficiales que impulsan los efectos capilares de los puentes. Se estableció que estas fuerzas son el resultado de fuerzas intermoleculares y se vuelven significativas en espacios de fluido delgados (<10 nm) entre dos superficies. ^{[9] [10]}
La inestabilidad de los puentes capilares fue discutida por primera vez por Rayleigh . ^[11] Demostró que un chorro de líquido o una superficie cilíndrica capilar se vuelve inestable cuando la relación entre su longitud, H y el radio R , se vuelve mayor que 2π. En estas condiciones de pequeñas perturbaciones sinusoidales con una longitud de onda mayor que su perímetro, el área de la superficie del cilindro se vuelve mayor que la del cilindro no perturbado con el mismo volumen y, por lo tanto, se vuelve inestable. Más tarde, Hove ^[12]formuló los requisitos variacionales para la estabilidad de superficies capilares axisimétricas (ilimitadas) en ausencia de gravedad y con perturbaciones restringidas a un volumen constante. Primero resolvió la ecuación de Young-Laplace para formas de equilibrio y demostró que la condición de Legendre para la segunda variación siempre se cumple. Por lo tanto, la estabilidad está determinada por la ausencia de un valor propio negativo de la ecuación linealizada de Young-Laplace. Este método de determinar la estabilidad a partir de una segunda variación se utiliza ahora ampliamente. ^[8] Los métodos de perturbación tuvieron mucho éxito a pesar de que la naturaleza no lineal de la interacción capilar puede limitar su aplicación. Otros métodos ahora incluyen la simulación directa. ^{[13] [14]} Hasta ese momento, la mayoría de los métodos para la determinación de la estabilidad requerían el cálculo del equilibrio como base para las perturbaciones. Surgió una nueva idea de que la estabilidad puede deducirse de los estados de equilibrio. ^{[15] [16] Pitts [17]} demostró además la proposición para un volumen constante axisimétrico. En los años siguientes, Vogel ^{[18] [19]} amplió la teoría. Examinó el caso de puentes capilares simétricos con volúmenes constantes y los cambios de estabilidad corresponden a puntos de inflexión. El reciente desarrollo de la teoría de la bifurcación demostró que el intercambio de estabilidad entre puntos de inflexión y puntos de bifurcación es un fenómeno general. ^{[20] [21]}

Aplicaciones y ocurrencias

Estudios recientes indicaron que los antiguos egipcios utilizaban las propiedades de la arena para crear puentes capilares utilizando agua sobre ella. ^[22] De esta manera, redujeron la fricción de la superficie y fueron capaces de mover estatuas y piedras piramidales pesadas. Algunas artes contemporáneas, como el arte con arena , también están estrechamente relacionadas con la capacidad del agua para unir partículas. En microscopía de fuerza atómica , cuando se trabaja en ambientes de mayor humedad, sus estudios pueden verse afectados por la aparición de puentes capilares de tamaño nanométrico. ^[23] Estos puentes aparecen cuando la punta de trabajo se acerca a la muestra estudiada. Los puentes capilares también desempeñan un papel importante en el proceso de soldadura . ^[24]

• 
  Esquema de la tumba de Djehutihotep que representa el transporte de una estatua colosal.
• 
  AFM
• 
  Soldadura
• 
  Rana arborícola de labios blancos

Los puentes capilares también están muy extendidos en la naturaleza viva. Los insectos, moscas, saltamontes y ranas arborícolas son capaces de adherirse a superficies verticales rugosas debido a su capacidad para inyectar líquido humectante en el área de contacto entre la almohadilla y el sustrato. De esta manera se crea una interacción atractiva de largo alcance debido a la formación de puentes capilares. ^[25] Muchos problemas médicos relacionados con enfermedades respiratorias y la salud de las articulaciones del cuerpo dependen de pequeños puentes capilares. ^[26] Los puentes líquidos ahora se usan comúnmente en el crecimiento de cultivos celulares debido a la necesidad de imitar el trabajo de los tejidos vivos en la investigación científica. ^{[27] [28]}

Ecuaciones generales

La solución general para el perfil del capilar se conoce considerando la curvatura unduloide o nodoide . ^[29]
Supongamos el siguiente sistema de coordenadas cilíndrico: z muestra el eje de revolución; r representa la coordenada radial y φ es el ángulo entre el eje z normal y positivo . El nodoide tiene tangentes verticales en r = r ₁ y r = r ₂ y tangente horizontal en r = r ₃ . Cuando φ es el ángulo entre la normal a la interfaz y el eje z positivo, entonces φ es igual a 90°, 0°, -90° para el nodoide.

La ecuación de Young-Laplace se puede escribir en una forma conveniente para la integración de simetría axial:

donde R ₁ , R ₂ son los radios de curvatura y γ es la tensión superficial interfacial.
La integración de la ecuación se llama primera integral y da como resultado:

Desde:

Se encuentra:

Después de la integración, la ecuación obtenida se llama segunda integral :

donde: F y E son integrales elípticas de primer y segundo tipo, y φ está relacionada con r según ${\textstyle k^{2}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r^{2}-r_{2}^{2}}{k^{2}r^{2}}}}$.

El unduloide sólo tiene tangentes verticales en r = r ₁ y r = r ₂ , donde φ = + 90. De forma completamente análoga:

La segunda integral para unduloide se obtiene:

donde la relación entre los parámetros k y φ se define de la misma manera que arriba. En el caso límite r ₁ =0, tanto el nodoide como el unduloide constan de una serie de esferas. Cuando r ₁ = r ₂ . El último y muy interesante caso límite es el catenoide . La ecuación de Laplace se reduce a:

Su integración se puede representar de una forma muy conveniente, en un sistema de coordenadas cilíndrico, llamado ecuación catenaria : ^[29]

Fig. 4. Dominio de existencia catenoide (1) la altura está escalada por el radio R, (2) la altura está escalada por la raíz cúbica del volumen (solo válido para puentes capilares de C=0)

La ecuación (9) es importante porque muestra, con cierta simplificación, todas las cuestiones relacionadas con los puentes capilares de forma transparente. El dibujo en coordenadas adimensionales presenta un máximo que distingue dos ramas. Uno de ellos es energéticamente favorable y surge en estática mientras que el otro (en línea discontinua) no es energéticamente favorable. El máximo es importante porque cuando se estira el puente capilar en forma de casi equilibrio, si se alcanza el máximo, se produce la rotura. Durante el proceso de estiramiento/compresión dinámico se pueden formar catenoides con dimensiones energéticamente desfavorables. ^[30] La presión capilar cero C = 0 es natural para la catenoide clásica (superficie de jabón capilar estirada entre dos anillos coaxiales). Cuando el puente capilar típico llega al estado catenoidal de C = 0, a pesar de que sus propiedades superficiales son las mismas que las del catenoide clásico, es más apropiado presentarlo escalado por la raíz cúbica de su volumen en lugar del radio , R.

La solución de la segunda integral es diferente en casos de puentes capilares achatados (nodoide y unduloide):

donde: F y E son nuevamente integrales elípticas de primera y segunda especie, y φ está relacionada con r según: . Es importante señalar que todas las curvas descritas se encuentran haciendo rodar una sección cónica sin deslizamiento a lo largo del eje z . La onduloide se describe por el foco de una elipse rodante, que puede degenerar en una línea, una esfera o una parábola, dando lugar a los casos límite correspondientes. De manera similar, un nodoide se describe por el foco de una hipérbola rodante. ${\textstyle k^{2}={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}}$ ${\textstyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r_{2}^{2}-r^{2}}{k^{2}r_{2}^{2}}}}$

En la tabla 11.1 del libro de Kralchevsky y Nagayama se ofrece un resumen bien sistematizado de las formas de los puentes capilares. ^[2]

Estática entre dos superficies planas.

El equilibrio mecánico comprende el equilibrio de presión en la interfaz líquido/gas y la fuerza externa sobre las placas, Δ P , que equilibra la atracción o repulsión capilar, es decir . Al despreciar los efectos de la gravedad y otros campos externos, el equilibrio de presión es Δ P = P _i - P _e (Los índices "i" y "e" denotan presiones internas y externas correspondientes). En caso de simetría axial, la ecuación de presión capilar toma la forma: ${\displaystyle P_{\gamma }}$ ${\displaystyle \Delta P=P_{\gamma }}$

donde γ es la tensión interfacial líquido/gas; r es la coordenada radial y φ es el ángulo entre el eje de simetría y la normal a la generatriz de la interfaz.
La primera integral se obtiene fácilmente respecto a la presión capilar adimensional en el contacto con la superficie:

donde , el radio adimensional en el contacto es y θ es el ángulo de contacto. La relación muestra que la presión capilar puede ser positiva o negativa. La forma de los puentes capilares se rige por la ecuación: ^[2] ${\textstyle C=P_{\gamma }{\frac {r_{m}}{2\gamma }}}$ ${\textstyle X={\frac {R}{r_{m}}}}$

donde la ecuación se obtiene después de realizar la sustitución en la ecuación. ( 11 ) y se introduce la escala. ${\textstyle \sin \phi ={\frac {dy}{dx}}\cos \phi }$ ${\textstyle x={\frac {r}{r_{m}}}}$

Puente líquido fino

A diferencia de los casos en los que los puentes capilares crecen en altura, lo que implica una variedad de formas de perfil, el aplanamiento (adelgazamiento) hacia un espesor nulo tiene un carácter mucho más universal. La universalidad aparece cuando H << R (fig. 1). La ecuación (11) se puede escribir: ^[31]

La generatriz converge a la ecuación:

Tras la integración, la ecuación produce:

figura 5. Puente líquido fino

Los radios circulares adimensionales 1/2C coinciden con los radios de curvatura del puente capilar. El signo positivo '+' representa el perfil generatriz del puente cóncavo y el negativo '-', achatado. Para los puentes capilares convexos, la generatriz circular se retiene hasta que se alcanza el límite del dominio de definición durante el estiramiento. Cerca del comienzo de la cinética de rotura autoiniciada, el perfil del puente evoluciona en consecuencia hacia una elipse, una parábola y posiblemente una hipérbola. ^[32]

Dominio de definición

Las observaciones, presentadas en la fig. 5 indican que se puede definir un dominio de existencia de puentes capilares. Por lo tanto, si se estira un puente líquido, podría interrumpir su existencia no sólo por aumentar la inestabilidad sino también por alcanzar algunos puntos en los que la forma ya no puede existir. La estimación del dominio de definición requiere la manipulación de ecuaciones integradas para la altura del puente capilar y su volumen. Ambos son integrables pero las integrales son impropias. El método aplicado incluye la división de las integrales en dos partes: singular pero integrable analíticamente y regular pero integrable sólo numéricamente.
Después de la integración, se obtiene la altura del puente capilar ^[31]

De manera similar para el radio de contacto R , se obtiene la ecuación integrada ^[31]

dónde y ${\displaystyle \beta \left(C\right)=\left[1-{\frac {\left(1-2C\right)}{2C^{2}}}\right]}$ ${\displaystyle \alpha \left(C,X\right)={\frac {1}{2C}}\arcsin \left[\beta \left(C\right)-X^{2}{\frac {2C^{2}}{1-2C}}\right]}$

Fig. 6. Isogonas que demuestran el dominio estático de los puentes capilares, la curva roja muestra el estado catenoidal de C=0

En la Fig. 6 se muestra el número de estados estáticos estables del puente capilar líquido, representados por dos parámetros característicos: (i) altura adimensional que se obtiene escalando la altura del puente capilar por la raíz cúbica de su volumen Ec. ( 16 ) y (ii) su radio, también escalado por la raíz cúbica de volumen, ecuación. ( 17 ). Las soluciones parcialmente analíticas obtenidas para estos dos parámetros se presentan arriba. Las soluciones difieren de alguna manera del enfoque ampliamente aceptado de Plateau [por funciones elípticas, Ec. ( 7 )], porque ofrecen un enfoque numérico conveniente para la integración de integrales regulares, mientras que la parte irregular de la ecuación se integró analíticamente. Estas soluciones se convirtieron en una base adicional para la predicción del estiramiento y rotura en casi equilibrio de los puentes capilares para ángulos de contacto inferiores a 45° . La implementación práctica permite identificar no sólo el dominio de fin de definición sino también el comportamiento exacto durante el estiramiento del puente capilar, ^[32] porque en coordenadas el estiramiento forma una línea inclinada, donde el ángulo de inclinación es proporcional al ángulo de contacto. ${\textstyle \left(0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{4}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {H}{r_{m}}}\sim \ln \left({\frac {R}{r_{m}}}\right)}$

Puente capilar cóncavo

El caso del puente capilar cóncavo se presenta mediante isógonas para los ángulos de contacto a continuación en la fig. 6, . Las isógonas muestran un máximo bien definido . Este máximo se indica con un punto para cada isógona. De nuevo, de manera similar a una catenoide simple, separa dos ramas. La rama izquierda es energéticamente favorable mientras que la derecha es energéticamente desfavorable. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \left(0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {dH^{*}}{dR^{*}}}\equiv {\frac {dH}{dR}}=0}$

Puente capilar cilíndrico

Rayleigh analiza bien este caso. Nótese que el dominio de definición en este caso no muestra limitaciones y llega al infinito, fig. 6, . Sin embargo, suele observarse rotura de puentes capilares cilíndricos. Ocurre como resultado de una inestabilidad bien estudiada conocida ahora como inestabilidad de Rayleigh . ^[11] El dominio de definición para isógono de 90° se muestra en la figura 6 con una línea discontinua. ${\textstyle \left(\theta ={\frac {\pi }{2}}\right)}$

Puente capilar convexo

El caso de los puentes capilares convexos se presenta en la fig. 6, salido del dominio de la caja cilíndrica. ${\textstyle \left({\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi \right)}$

Estabilidad entre dos superficies planas.

Las formas de equilibrio y los límites de estabilidad de los puentes líquidos capilares están sujetos a muchos estudios teóricos y experimentales. ^[33] Los estudios se concentran principalmente en la investigación de puentes entre discos iguales en condiciones gravitacionales. Es bien sabido que para cada valor del número de Bond , definido como ^[34] (donde: g es la aceleración gravitacional de la Tierra, γ es la tensión superficial y R es el radio del contacto) el diagrama de estabilidad se puede representar mediante un único diagrama cerrado. curva a trozos en el plano de esbeltez/volumen adimensional. La esbeltez se define como , y el volumen adimensional es el volumen del puente capilar dividido en el volumen del cilindro con la misma altura, H y radio R : . ${\textstyle {\rm {Bo}}={\frac {\rho gR^{2}}{\gamma }}}$ ${\textstyle {\frac {H}{2R}}}$ ${\textstyle {\frac {V}{\pi R^{2}H}}}$

Si tanto la esbeltez como el volumen del líquido son lo suficientemente pequeños, los límites de estabilidad se rigen por la separación de la forma del líquido de los bordes de los discos (línea de contacto trifásica), línea AB en la fig. 7. La línea BC representa el volumen mínimo que corresponde a la rotura simétrica del eje. Se conoce en la literatura como límite mínimo de estabilidad del volumen . La curva CA representa otro límite de estabilidad y caracteriza el volumen máximo. Es el límite superior de la región de estabilidad. También existe una región de transición entre la estabilidad del volumen mínimo y máximo. Todavía no está claramente definido y, por lo tanto, se indica con una línea discontinua en la fig. 7. ^{[ ¿dónde? ]}

Ver también

• Número de Eötvös
• Condensación capilar

Referencias

1. Ross, Sídney (1950). "La inhibición de la formación de espuma. II. Un mecanismo para la ruptura de películas líquidas por agentes antiespumantes". J. Física. química . 54 (3): 429–436. doi :10.1021/j150477a018.
2. Kralchevsky, P.; Nagayama, K. (2001). Partículas en interfaces de fluidos y membranas . Ámsterdam: Elsevier. págs. 469–502.
3. Delaunay (1841). "Sur la Surface de Revolution dont la Courbure Moyenne est Constante". J. Matemáticas. Pures Appl . 6 : 309–314.
4. L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Opera omnia, I, 24, (1744)
5. Kenmotsu, K., Superficies de revolución con curvatura media prescrita, Tohoku Math. J. 32 (1980), 147-153.
6. Meseta, Josef (1873). Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seulesforces moleculares . Gauthier-Villars.
7. Joven, T (1805). "Un ensayo sobre la cohesión de fluidos". Filos. Trans. R. Soc. Londres . 95 : 65–87. doi : 10.1098/rstl.1805.0005 .
8. AD Myshkis y VG Babskii, Mecánica de fluidos de baja gravedad: teoría matemática de los fenómenos capilares, Springer-Verlag 1987
9. Nikolai V. Churaev, BV Derjaguin, VM Muller, Surface Forces, Springer Scoence and Business Media, 1987
10. J. Israelashvilly, Fuerzas intermoleculares y de superficie, tercera edición: revisada, Elsevier, 2011
11. Lord Rayleigh (1878). «Sobre la inestabilidad de los jets» (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 10 : 4-13.
12. Hove, W., Ph.D. Disertación, Friendlich-Wilhelms, Universitat zu Berlin (1887)
13. Meseguer, J.; Sanz, A. (1985). "Estudio numérico y experimental de la dinámica de puentes líquidos axisimétricos". J. Mec. de fluidos . 153 : 83. doi : 10.1017/s002211208500115x.
14. Martínez; Perales, JM (1986). "Datos de estabilidad del puente líquido". J.Cristal. Crecimiento . 78 (2): 369. Código bibliográfico : 1986JCrGr..78..369M. doi :10.1016/0022-0248(86)90073-4.
15. JF Padday, AR Pitt, La estabilidad de los meniscos axisimétricos, Transacciones filosóficas de la Royal Society A, (1973)
16. Boucher, EA; Evans, MJB (1975). "Perfiles de caída colgante y fenómenos capilares relacionados". Actas de la Royal Society de Londres A: Ciencias físicas y matemáticas . 346 (1646): 349–374. Código bibliográfico : 1975RSPSA.346..349B. doi :10.1098/rspa.1975.0180.
17. Pitts, R., La estabilidad de una gota que cuelga de un tubo, IMA J Appl Math (1976) 17 (3): 387-397
18. Vogel, Thomas I., Estabilidad de una gota de líquido atrapada entre dos planos paralelos, SIAM J. Appl. Matemáticas. 47 (1987), 516–525
19. Vogel, Thomas I., Estabilidad de una gota de líquido atrapada entre dos planos paralelos II, SIAM J. Appl. Matemáticas. 49 (1989), 1009-1028
20. Michael, DH, Revisión anual de mecánica de fluidos vol. 13: 189-216 (fecha de publicación del volumen enero de 1981)
21. Brian James, Lowry; Steen, Paul H. (1995). "Superficies capilares: estabilidad de familias de equilibrios con aplicación al puente líquido". Actas de la Royal Society A. 449 (1937): 411–439. Código Bib : 1995RSPSA.449..411L. doi :10.1098/rspa.1995.0051.
22. A. Fall, B. Weber, M. Pakpour, N. Lenoir, N. Shahidzadeh, J. Fiscina, C. Wagner y D. Bonn, Fricción por deslizamiento sobre arena seca y húmeda Phys. Rev. Lett. 112, 175502, publicado el 29 de abril de 2014
23. Yumei Men, Xianren Zhang y Wenchuan Wang, Puentes líquidos capilares en microscopía de fuerza atómica (AFM): formación, ruptura e histéresis, J. Chem. Física. 131, 184702 (2009)
24. Pies. B. EDWARDS, Tolerancias de juntas en juntas de tuberías de cobre capilar, Welding Journal, v06, págs. 321-(1972)
25. Persson, BNJ (2007). "Adhesión húmeda con aplicación a neumáticos y punteras adhesivas de rana arbórea". J. Phys.: Condens. Asunto . 19 (37): 376110. Código bibliográfico : 2007JPCM...19K6110P. doi :10.1088/0953-8984/19/37/376110. S2CID  73607791.
26. Alencar, AM; Majumdar, A.; Hantos, Z.; Buldyrev, SV; Stanley, ÉL; Suki, B. (2005). "Crujidos e inestabilidades durante la inflación pulmonar". Física A. 357 : 18-26. Código Bib : 2005PhyA..357...18A. doi :10.1016/j.physa.2005.05.047.
27. Pampaloni, F.; Reynaud, EG; Stelzer, EHK (2007). "La tercera dimensión cierra la brecha entre el cultivo celular y el tejido vivo". Reseñas de la naturaleza Biología celular molecular . 8 (10): 839–845. doi :10.1038/nrm2236. PMID  17684528.
28. G. DiLisi, R. Dempsey, R. Rarick y C. Rosenblatt, Uso de vuelos parabólicos para examinar cuantitativamente la estabilidad de puentes líquidos bajo una fuerza corporal total variable, Sci. y tecnología. (enviado)
29. Princen NM, "La forma de equilibrio de interfaces, gotas y burbujas de partículas rígidas y deformables en las interfaces" en Surface and Colloid Science, ed. E. Matijievich, (1969), v.3, Nueva York
30. Masato Ito, Taku Sato, Observación in situ de una catenoide de película de jabón: un sencillo experimento de física educativa, Eur. J. Física. 31 (2010) 357-365
31. Petkov, PV; Radoev, BR (2014). "Estática y dinámica de puentes capilares". Coloides y superficies A. 460 : 18–27. doi :10.1016/j.colsurfa.2014.03.038.
32. Petkov, PV; Radoev, BR (2019). "Investigación de puentes capilares líquidos convexos simples y binarios de tipo" sándwich ", estirados entre dos superficies planas (enfoque experimental)". Coloides e Interfaces . 3 (68): 68. doi : 10,3390/coloides3040068 .
33. Bezdenejnykh, NA; Meseguer, J.; Perales, JM (1992). "Análisis experimental de límites de estabilidad de puentes líquidos capilares". Física. Fluidos A. 4 (4): 677. Código bibliográfico : 1992PhFlA...4..677B. doi : 10.1063/1.858286.
34. Shi, Z.; et al. (2018). "Histéresis dinámica del ángulo de contacto en puentes líquidos". Coloides y Superficies A: Aspectos Fisicoquímicos y de Ingeniería . 555 : 365–371. arXiv : 1712.04703 . doi :10.1016/j.colsurfa.2018.07.004.