Onduloide

Onduloide generado por computadora

En geometría , un onduloide , u onduloide , es una superficie con curvatura media constante distinta de cero obtenida como superficie de revolución de una catenaria elíptica : es decir, haciendo rodar una elipse a lo largo de una línea fija, trazando el foco y haciendo girar la curva resultante alrededor de la línea. En 1841 Delaunay demostró que las únicas superficies de revolución con curvatura media constante eran las superficies obtenidas al rotar las ruletas de las cónicas. Estas son el plano, el cilindro, la esfera, la catenoide , el onduloide y el nodoide . ^[1]

Fórmula

Sea la función seno de Jacobi normal y la función elíptica de Jacobi normal y sea la integral elíptica normal de primera especie y sea la integral elíptica normal de segunda especie. Sea a la longitud del eje mayor de la elipse y e la excentricidad de la elipse. Sea k un valor fijo entre 0 y 1 llamado módulo. ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (z,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (z,k)}$

Dadas estas variables,

${\displaystyle \operatorname {x} (u)=-a(1-e)(\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a(1+e)(\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,}$

${\displaystyle \operatorname {y} (u)=a(1+e)\operatorname {dn} (u,k)\,}$

La fórmula para la superficie de revolución que es el onduloide es entonces

${\displaystyle \operatorname {X} (u,v)=\langle \operatorname {x} (u),\operatorname {y} (u)\cos(v),\operatorname {y} (u)\sin(v)\rangle \,}$

Propiedades

Una propiedad interesante del onduloide es que la curvatura media es constante. De hecho, la curvatura media a lo largo de toda la superficie es siempre el recíproco del doble de la longitud del eje mayor: 1/(2 a ).

Además, las geodésicas sobre un onduloide obedecen a la relación de Clairaut y, por lo tanto, su comportamiento es predecible.

Ocurrencia en la ciencia de los materiales

Los onduloides no son un patrón común en la naturaleza. Sin embargo, hay algunas circunstancias en las que se forman. Documentado por primera vez en 1970, el paso de una fuerte corriente eléctrica a través de un alambre de plata delgado (0,16-1,0 mm), montado horizontalmente, estirado en frío (no templado ) dará como resultado la formación de onduloides a lo largo de su longitud. ^[2] Más tarde se descubrió que este fenómeno también ocurre en el alambre de molibdeno . ^[3] También se han formado onduloides con ferrofluidos . ^[4] Al pasar una corriente axialmente a través de un cilindro recubierto con una película de fluido magnético viscoso, los dipolos magnéticos del fluido interactúan con el campo magnético de la corriente, creando un patrón de gotas a lo largo de la longitud del cilindro.

Referencias

1. Delaunay, cap. (1841). "Sobre la superficie de revolución dont la courbure moyenne est constante". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 6 : 309–314.
2. Lipski, T.; Furdal, A. (1970), "Nuevas observaciones sobre la formación de onduloides en cables", Actas de la Institución de Ingenieros Eléctricos , 117 (12): 2311-2314, doi :10.1049/piee.1970.0425
3. “Vídeos periódicos, cables explosivos” en YouTube
4. Weidner, DE (2017), "Formación de gotas en un fluido magnético que recubre un cilindro horizontal que transporta una corriente eléctrica axial", Physics of Fluids , 29 (5): 052103, doi :10.1063/1.4982618