Superficie de curvatura media constante

Nodoide, una superficie con curvatura media constante.

Unduloide, una superficie con curvatura media constante.

En geometría diferencial , las superficies de curvatura media constante (CMC) son superficies con curvatura media constante . ^{[1] [2]} Esto incluye superficies mínimas como un subconjunto, pero normalmente se tratan como un caso especial.

Tenga en cuenta que estas superficies son generalmente diferentes de las superficies de curvatura gaussiana constante , con la importante excepción de la esfera .

Historia

En 1841 Delaunay demostró que las únicas superficies de revolución con curvatura media constante eran las superficies obtenidas al girar las ruletas de las cónicas. Estos son el plano, el cilindro, la esfera, la catenoide , la unduloide y el nodoide . ^[3]

En 1853 JH Jellet demostró que si se trata de una superficie compacta en forma de estrella con curvatura media constante, entonces se trata de una esfera estándar. ^[4] Posteriormente, AD Alexandrov demostró que una superficie compacta incrustada con curvatura media constante debe ser una esfera, ^[5] y H. Hopf demostró que una esfera sumergida con curvatura media constante debe ser una esfera estándar. ^[6] Basado en esto, H. Hopf conjeturó en 1956 que cualquier hipersuperficie de curvatura media constante orientable compacta sumergida debe ser una esfera incrustada estándar . Esta conjetura fue refutada en 1982 por Wu-Yi Hsiang utilizando un contraejemplo en . En 1984, Henry C. Wente construyó el toro de Wente , una inmersión en un toro con curvatura media constante. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle H\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle H\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Hasta ese momento parecía que las superficies CMC eran raras. Utilizando técnicas de encolado, en 1987 Nikolaos Kapouleas construyó una gran cantidad de ejemplos de superficies CMC sumergidas completas con la mayoría de los tipos topológicos y al menos dos extremos. ^{[8] [9]} Posteriormente, Kapouleas construyó superficies CMC compactas con cada género más grande que uno. ^{[10] [11]} En particular, los métodos de pegado parecen permitir combinar superficies de CMC de forma bastante arbitraria. ^{[12] [13] [14]} Las superficies de Delaunay también se pueden combinar con "burbujas" sumergidas, conservando sus propiedades CMC. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Triunduloides con diferentes tamaños de cuello. A medida que varían los tamaños del cuello, las direcciones asintóticas cambian.

Meeks demostró que no hay superficies de CMC incrustadas con un solo extremo . ^[16] Korevaar, Kusner y Solomon demostraron que una superficie CMC completamente incrustada tendrá extremos asintóticos a los unduloides. ^[17] Cada extremo lleva una "fuerza" a lo largo del eje asintótico del unduloide (donde n es la circunferencia de los cuellos), cuya suma debe estar equilibrada para que exista la superficie. El trabajo actual implica la clasificación de familias de superficies CMC integradas en términos de sus espacios de módulos . ^[18] En particular, para k -unduloides coplanares del género 0 satisfacen para k impar y para  k par . Como máximo k  − 2 extremos pueden ser cilíndricos. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle n(2\pi -n)}$ ${\displaystyle k\geq 3}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq (k-1)\pi }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq k\pi }$

Métodos de generación

Fórmula de representación

Al igual que en el caso de las superficies mínimas, existe un estrecho vínculo con las funciones armónicas. Una superficie orientada tiene curvatura media constante si y sólo si su mapa de Gauss es un mapa armónico . ^[19] La fórmula de representación de Kenmotsu ^[20] es la contraparte de la parametrización de superficies mínimas de Weierstrass-Enneper : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sea un subconjunto abierto simplemente conexo de y una constante real arbitraria distinta de cero. Supongamos que es una función armónica en la esfera de Riemann. Si entonces se define por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi :V\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi _{\bar {z}}\neq 0}$ ${\displaystyle X:V\rightarrow R}$

${\displaystyle X(z)=\Re \int _{z_{0}}^{z}X_{z}(z')\,dz'}$

con

${\displaystyle X_{z}(z)={\frac {-1}{H(1+\phi (z){\bar {\phi }}(z))^{2}}}\left\{(1-\phi (z)^{2},i(1+\phi (z)^{2}),2\phi (z)){\frac {\bar {\partial \phi }}{\partial {\bar {z}}}}(z)\right\}}$

pues es una superficie regular que tiene como mapa de Gauss y curvatura media . ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$

Porque y esto produce la esfera. y da un cilindro donde . ${\displaystyle \phi (z)=-1/{\bar {z}}}$ ${\displaystyle H=1}$ ${\displaystyle \phi (z)=-e^{ix}}$ ${\displaystyle H=1/2}$ ${\displaystyle z=x+iv}$

Método del primo conjugado

Lawson demostró en 1970 que cada superficie CMC tiene una superficie mínima isométrica "prima" en . ^{[21] [22]} Esto permite construcciones a partir de polígonos geodésicos en , que están abarcados por un parche mínimo que puede extenderse a una superficie completa mediante reflexión y luego convertirse en una superficie CMC. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Tori CMC

Hitchin, Pinkall , Sterling y Bobenko demostraron que todas las inmersiones de curvatura media constante de un 2-toro en el espacio se forman y se pueden describir con datos puramente álgebro-geométricos. Esto se puede extender a un subconjunto de inmersiones CMC del avión que son de tipo finito. Más precisamente, existe una biyección explícita entre las inmersiones de CMC en y y los datos espectrales de la forma donde hay una curva hiperelíptica llamada curva espectral, es una función meromorfa en y son puntos en , es una involución antiholomórfica y es un haz de líneas . en el cumplimiento de ciertas condiciones. ^{[23] [24] [25]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\lambda ,\rho ,\lambda _{1},\lambda _{2},L)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Métodos numéricos discretos

Se puede utilizar geometría diferencial discreta para producir aproximaciones a superficies CMC (o contrapartes discretas), generalmente minimizando una energía funcional adecuada. ^{[26] [27]}

Aplicaciones

Las superficies CMC son naturales para las representaciones de pompas de jabón , ya que tienen la curvatura correspondiente a una diferencia de presión distinta de cero .

Además de las superficies de burbujas macroscópicas, las superficies CMC son relevantes para la forma de la interfaz gas-líquido en una superficie superhidrófoba . ^[28]

Al igual que las superficies mínimas triplemente periódicas, ha habido interés en las superficies CMC periódicas como modelos para copolímeros de bloques donde los diferentes componentes tienen una energía o tensión interfacial distinta de cero. Se han construido análogos CMC a las superficies mínimas periódicas, produciendo particiones desiguales del espacio. ^{[29] [30]} Se han observado estructuras CMC en copolímeros tribloque ABC. ^[31]

En arquitectura, las superficies CMC son relevantes para estructuras sustentadas por aire, como cúpulas y recintos inflables, así como una fuente de formas orgánicas fluidas. ^[32]

Ver también

• Conjetura de la doble burbuja
• Superficie libre
• Superficie mínima

Referencias

1. Nick Korevaar, Jesse Ratzkin, Nat Smale, Andrejs Treibergs, Un estudio de la teoría clásica de superficies de curvatura media constante en R3, 2002 [1]
2. Carl Johan Lejdfors, Superficies de curvatura media constante. Tesis de maestría Universidad de Lund, Centro de Ciencias Matemáticas Matemáticas 2003:E11 [2]
3. C. Delaunay, Sur la superficie de revolución dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309–320.
4. JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl., 18 (1853), 163–167
5. AD Alexandrov, Teorema de unicidad para superficies grandes, V. Vestnik, Universidad de Leningrado. 13, 19 (1958), 5–8, Amer. Matemáticas. Soc. Trans. (Serie 2) 21, 412–416.
6. H. Hopf, Geometría diferencial en grande. Springer-Verlag, Berlín, 1983. vii+184 págs.
7. Wente, Henry C. (1986), "Contraejemplo de una conjetura de H. Hopf.", Pacific Journal of Mathematics , 121 : 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193
8. Nikolaos Kapouleas. Superficies de curvatura media constante en tres espacios euclidianos. . Toro. América. Matemáticas. Soc. (NS) 17 (1987), núm. 2, 318–320.
9. Nikolaos Kapouleas. Superficies completas de curvatura media constante en tres espacios euclidianos Ann. de Matemáticas. (2) 131 (1990), núm. 2, 239-330.
10. Nikolaos Kapouleas. Superficies compactas de curvatura media constante en tres espacios euclidianos J. Geom diferencial. 33 (1991), núm. 3, 683-715.
11. Nikolaos Kapouleas. Superficies de curvatura media constante construidas fusionando Wente tori Invent. Matemáticas. 119 (1995), núm. 3, 443-518.
12. Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Pegado y módulos para problemas geométricos no compactos. 1996 arXiv:dg-ga/9601008 [3]
13. Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Superficies coplanares de curvatura media constante. Com. Anal. Geom. 15:5 (2008) págs. 985–1023. Matemáticas ArXiv.DG/0509210. [4]
14. [5] Nikolaos Kapouleas, Christine Breiner, Stephen Kleene. Leyes de conservación y encolado de construcciones para (hiper)superficies de curvatura media constante. Notas Amer. Matemáticas. Soc. 69 (2022), n.º 5, 762–773.
15. I. Sterling y HC Wente, Existencia y clasificación de multiburbujas de curvatura media constante de tipo finito e infinito, Indiana Univ. Matemáticas. J. 42 (1993), núm. 4, 1239-1266.
16. Meeks WH, La topología y geometría de superficies incrustadas de curvatura media constante, J. Diff. Geom. 27 (1988) 539–552.
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18. John M. Sullivan , Una familia completa de superficies CMC. En Sistemas integrables, geometría y visualización, 2005, págs. 237–245. [6]
19. Shoichi Fujimori, Shimpei Kobayashi y Wayne Rossman, Métodos de grupo de bucles para superficies de curvatura media constante. Conferencias Rokko de Matemáticas 2005 arXiv :math/0602570
20. K. Kenmotsu, Fórmula de Weierstrass para superficies de curvatura media prescrita, Matemáticas. Ann., 245 (1979), 89–99
21. Lawson HB, “Superficies mínimas completas en S3”, Annals of Mathematics 92 (1970) 335–374.
22. Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B Kusner, John M Sullivan . Triunduloides: Superficies incrustadas de curvatura media constante con tres extremos y género cero. J. Reina Angew. Math., 564, págs. 35–61 2001 arXiv:math/0102183v2 [7]
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24. Pinkall, U.; Libra esterlina, I. (1989). "Sobre la clasificación de toros de curvatura media constante". Anales de Matemáticas . Segundo. 130 (2): 407–451. doi :10.2307/1971425. JSTOR  1971425.
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27. Hao Pan, Yi-King Choi, Yang Liu, Wenchao Hu, Qiang Du, Konrad Polthier, Caiming Zhang, Wenping Wang, Modelado robusto de superficies de curvatura media constante. Transacciones ACM sobre gráficos - Actas de la conferencia SIGGRAPH 2012. Volumen 31 Número 4, julio de 2012 Artículo No. 85
28. EJ Lobatón, TR Salamon. Cálculo de superficies de curvatura media constante: aplicación a la interfaz gas-líquido de un fluido presurizado sobre una superficie superhidrófoba. Revista de ciencia de interfaces y coloides. Volumen 314, Número 1, 1 de octubre de 2007, páginas 184–198
29. DM Anderson, HT Davis, LE Scriven, JCC Nitsche, Superficies periódicas de curvatura media prescrita en Advances in Chemical Physics vol 77, eds. I. Prigogine y SA Rice, John Wiley & Sons, 2007, p. 337–396
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31. Samuel P. Gido, Dwight W. Schwark, Edwin L. Thomas, Maria do Carmo Goncalves, Observación de una interfaz de curvatura media no constante en un copolímero tribloque ABC, Macromolecules, 1993, 26 (10), págs.
32. Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometría de estructuras multicapa de forma libre para arquitectura. Transacciones ACM sobre gráficos - Actas de ACM SIGGRAPH 2007 Volumen 26 Número 3, julio de 2007 Artículo No. 65 [9]

enlaces externos

• Superficies CMC en el Scientific Graphics Project [10]
• Galería de superficies GeometrieWerkstatt [11]
• Galería GANG de superficies CMC [12]
• Noid, software para calcular superficies CMC n -noides [13]