Operador pseudodiferencial

Tipo de operador diferencial

En el análisis matemático, un operador pseudodiferencial es una extensión del concepto de operador diferencial . Los operadores pseudodiferenciales se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y la teoría cuántica de campos , por ejemplo, en modelos matemáticos que incluyen ecuaciones pseudodiferenciales ultramétricas en un espacio no arquimediano .

Historia

El estudio de los operadores pseudodiferenciales comenzó a mediados de la década de 1960 con el trabajo de Kohn , Nirenberg , Hörmander , Unterberger y Bokobza. ^[1]

Desempeñaron un papel influyente en la segunda prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer a través de la teoría K. Atiyah y Singer agradecieron a Hörmander por su ayuda para comprender la teoría de los operadores pseudodiferenciales. ^[2]

Motivación

Operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes

Consideremos un operador diferencial lineal con coeficientes constantes,

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

que actúa sobre funciones suaves con soporte compacto en R ⁿ . Este operador se puede escribir como una composición de una transformada de Fourier , una simple multiplicación por la función polinómica (llamada el símbolo ) ${\displaystyle u}$

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

y una transformada de Fourier inversa, en la forma:

Aquí, hay un índice múltiple , son números complejos y ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$

es una derivada parcial iterada, donde ∂ _j significa diferenciación respecto de la variable j -ésima. Introducimos las constantes para facilitar el cálculo de las transformadas de Fourier. ${\displaystyle -i}$

Derivación de la fórmula ( 1 )

La transformada de Fourier de una función suave u , soportada de forma compacta en R ⁿ , es

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

y la fórmula de inversión de Fourier da

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }$

Aplicando P ( D ) a esta representación de u y utilizando

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

Se obtiene la fórmula ( 1 ).

Representación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales

Para resolver la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

Aplicamos (formalmente) la transformada de Fourier en ambos lados y obtenemos la ecuación algebraica

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

Si el símbolo P (ξ) nunca es cero cuando ξ ∈  R ⁿ , entonces es posible dividir por P (ξ):

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

Por la fórmula de inversión de Fourier, una solución es

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Aquí se supone que:

1. P ( D ) es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes ,
2. su símbolo P (ξ) nunca es cero,
3. Tanto u como ƒ tienen una transformada de Fourier bien definida.

El último supuesto puede debilitarse utilizando la teoría de distribuciones . Los dos primeros supuestos pueden debilitarse de la siguiente manera.

En la última fórmula, escribe la transformada de Fourier de ƒ para obtener

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}$

Esto es similar a la fórmula ( 1 ), excepto que 1/ P (ξ) no es una función polinomial, sino una función de un tipo más general.

Definición de operadores pseudodiferenciales

Aquí consideramos a los operadores pseudodiferenciales como una generalización de los operadores diferenciales. Extendemos la fórmula (1) de la siguiente manera. Un operador pseudodiferencial P ( x , D ) en R ⁿ es un operador cuyo valor en la función u(x) es la función de x :

donde es la transformada de Fourier de u y el símbolo P ( x ,ξ) en el integrando pertenece a una determinada clase de símbolos . Por ejemplo, si P ( x ,ξ) es una función infinitamente diferenciable en R ⁿ  ×  R ⁿ con la propiedad ${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

para todo x , ξ ∈ R ⁿ , todos los multiíndices α, β , algunas constantes C _{α, β} y algún número real m , entonces P pertenece a la clase de símbolos de Hörmander . El operador correspondiente P ( x , D ) se denomina operador pseudodiferencial de orden m y pertenece a la clase ${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$ ${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}.}$

Propiedades

Los operadores diferenciales lineales de orden m con coeficientes acotados suaves son operadores pseudodiferenciales de orden m . La composición PQ de dos operadores pseudodiferenciales P ,  Q es nuevamente un operador pseudodiferencial y el símbolo de PQ se puede calcular utilizando los símbolos de P y Q. El operador adjunto y transpuesto de un operador pseudodiferencial es un operador pseudodiferencial.

Si un operador diferencial de orden m es (uniformemente) elíptico (de orden m ) e invertible, entonces su inverso es un operador pseudodiferencial de orden − m , y su símbolo puede calcularse. Esto significa que se pueden resolver ecuaciones diferenciales elípticas lineales de forma más o menos explícita utilizando la teoría de operadores pseudodiferenciales.

Los operadores diferenciales son locales en el sentido de que solo se necesita el valor de una función en un entorno de un punto para determinar el efecto del operador. Los operadores pseudodiferenciales son pseudolocales , lo que significa informalmente que cuando se aplican a una distribución no crean una singularidad en los puntos donde la distribución ya era uniforme.

Así como un operador diferencial puede expresarse en términos de D  = −id/d x en la forma

${\displaystyle p(x,D)\,}$

Para un polinomio p en D (que se denomina símbolo ), un operador pseudodiferencial tiene un símbolo en una clase más general de funciones. A menudo, se puede reducir un problema de análisis de operadores pseudodiferenciales a una secuencia de problemas algebraicos que involucran sus símbolos, y esta es la esencia del análisis microlocal .

Núcleo del operador pseudodiferencial

Los operadores pseudodiferenciales pueden representarse mediante núcleos . La singularidad del núcleo en la diagonal depende del grado del operador correspondiente. De hecho, si el símbolo satisface las desigualdades diferenciales anteriores con m ≤ 0, se puede demostrar que el núcleo es un núcleo integral singular .

Véase también

• Álgebra diferencial para una definición de operadores pseudodiferenciales en el contexto de álgebras diferenciales y anillos diferenciales.
• Transformada de Fourier
• Operador integral de Fourier
• Operador integral oscilatorio
• Teorema fundamental de Sato
• Cálculo operacional

Notas al pie

1. Stein 1993, Capítulo 6
2. Atiyah y Singer 1968, pág. 486

Referencias

• Stein, Elias (1993), Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias , Princeton University Press.
• Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1968), "El índice de operadores elípticos I", Anales de matemáticas , 87 (3): 484–530, doi :10.2307/1970715, JSTOR  1970715

Lectura adicional

• Nicolas Lerner, Métricas en el espacio de fases y operadores pseudodiferenciales no autoadjuntos . Operadores pseudodiferenciales. Teoría y aplicaciones, 3. Birkhäuser Verlag, Basilea, 2010.
• Michael E. Taylor , Operadores pseudodiferenciales, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0 
• MA Shubin, Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X 
• Francois Treves , Introducción a los operadores pseudodiferenciales e integrales de Fourier (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4 
• FG Friedlander y M. Joshi, Introducción a la teoría de distribuciones, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4 
• Hörmander, Lars (1987). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales III: operadores pseudodiferenciales . Springer. ISBN 3-540-49937-7.
• André Unterberger, Operadores pseudodiferenciales y aplicaciones: una introducción . Serie de notas de conferencias, 46. Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1976.

Enlaces externos

• Conferencias sobre operadores pseudodiferenciales por Mark S. Joshi en arxiv.org.
• "Operador pseudodiferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]