Proyección quincunal del mundo de Peirce. El ecuador rojo es un cuadrado cuyas esquinas son los únicos cuatro puntos del mapa en los que la proyección no es conforme.La proyección quincuncial de Peirce con la indicatriz de deformación de Tissot .
La proyección quincuncial de Peirce es la proyección cartográfica conforme desde la esfera hasta un dipedro cuadrado desplegado , desarrollada por Charles Sanders Peirce en 1879. [1] Cada octante se proyecta sobre un triángulo rectángulo isósceles , y estos se organizan en un cuadrado. El nombre quincuncial se refiere a esta disposición: el polo norte en el centro y los cuartos del polo sur en las esquinas forman un patrón quincunce como las pepitas de las cinco caras de un dado tradicional . La proyección tiene la propiedad distintiva de que forma un mosaico cuadrado sin costuras del plano, conforme excepto en cuatro puntos singulares a lo largo del ecuador.
La proyección se ha utilizado en la fotografía digital para representar panoramas esféricos .
Historia
La maduración del análisis complejo condujo a técnicas generales de mapeo conforme , donde los puntos de una superficie plana se manejan como números en el plano complejo . Mientras trabajaba en el Servicio Geodésico y Costero de los Estados Unidos , el filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce publicó su proyección en 1879, [2] inspirándose en la transformación conforme de HA Schwarz de 1869 de un círculo en un polígono de n lados (conocido como el Mapeo de Schwarz-Christoffel). En el aspecto normal, la proyección de Peirce presenta el hemisferio norte en un cuadrado; El hemisferio sur está dividido en cuatro triángulos isósceles que rodean simétricamente al primero, similares a proyecciones en forma de estrella. En efecto, todo el mapa es un cuadrado, lo que inspiró a Peirce a llamar a su proyección quincuncial , después de la disposición de cinco elementos en quincunce .
Después de que Peirce presentara su proyección, otros dos cartógrafos desarrollaron proyecciones similares del hemisferio (o de la esfera completa, después de una reordenación adecuada) sobre un cuadrado: Guyou en 1887 y Adams en 1925. [3] Las tres proyecciones son versiones transversales entre sí. (ver proyecciones relacionadas a continuación).
Descripción formal
La proyección quincuncial de Peirce se "forma transformando la proyección estereográfica con un polo en el infinito, mediante una función elíptica". [4] El quincuncial de Peirce es en realidad una proyección del hemisferio, pero sus propiedades de teselación (ver más abajo) permiten su uso para toda la esfera. La proyección mapea el interior de un círculo en el interior de un cuadrado mediante el mapeo de Schwarz-Christoffel , de la siguiente manera: [5]
w es el punto mapeado en el plano como un número complejo ( w = x + iy ) ;
r es la proyección estereográfica con una escala de 1/2 en el centro.
Se puede utilizar una integral elíptica del primer tipo para resolver w . La notación de coma utilizada para sd( u , k ) significa que es el módulo de la función elíptica ratio, a diferencia del parámetro [que se escribiría sd( u | m ) ] o la amplitud [que se escribiría sd( u \ α ) ]. El mapeo tiene un factor de escala de 1/2 en el centro, al igual que la proyección estereográfica generadora.
Una cuadrícula en el didedro cuadrado bajo la proyección quincuncial inversa de Peirce es conforme excepto en cuatro singularidades alrededor del ecuador. Cada línea de la cuadrícula es una cónica esférica .
Según Peirce, su proyección tiene las siguientes propiedades (Peirce, 1879):
La esfera se presenta en un cuadrado.
La parte donde la exageración de escala duplica la del centro es sólo el 9% del área de la esfera, contra el 13% de la proyección de Mercator y el 50% de la proyección estereográfica.
La curvatura de las líneas que representan círculos máximos es, en todos los casos, muy ligera en la mayor parte de su longitud.
Es conforme en todas partes excepto en las cuatro esquinas del hemisferio interior (por lo tanto, los puntos medios de los bordes de la proyección), donde el ecuador y los cuatro meridianos cambian de dirección abruptamente (el ecuador está representado por un cuadrado). Éstas son singularidades donde falla la diferenciabilidad .
Se puede teselar en todas direcciones.
Mapas quincunciales de Peirce en mosaico
Versión teselada del mapa quincuncial de Peirce
La proyección tesela el plano; es decir, las copias repetidas pueden cubrir completamente (en mosaico) un área arbitraria, y las características de cada copia coinciden exactamente con las de sus vecinas. (Vea el ejemplo a la derecha). Además, los cuatro triángulos del segundo hemisferio de la proyección quincuncial de Peirce se pueden reordenar como otro cuadrado que se coloca al lado del cuadrado que corresponde al primer hemisferio, dando como resultado un rectángulo con relación de aspecto de 2:1; esta disposición es equivalente al aspecto transversal de la proyección del hemisferio en un cuadrado de Guyou . [6]
Usos conocidos
Utilizando la proyección quincuncial de Peirce para presentar un panorama esférico.
Como muchas otras proyecciones basadas en números complejos, el quincuncial de Peirce rara vez se ha utilizado con fines geográficos. Uno de los pocos casos registrados es en 1946, cuando fue utilizado por el mapa mundial de rutas aéreas del Servicio Geodésico y Costero de Estados Unidos. [6]
Se ha utilizado recientemente para presentar panoramas esféricos con fines prácticos y estéticos, donde puede presentar la esfera completa con la mayoría de las áreas reconocibles. [7]
Proyecciones relacionadas
En aspecto transversal , un hemisferio se convierte en la proyección del hemisferio en un cuadrado de Adams (el polo se coloca en la esquina del cuadrado). Sus cuatro singularidades se encuentran en el Polo Norte, el Polo Sur, en el ecuador a 25°W , y en el ecuador a 155°E, en los océanos Ártico, Atlántico y Pacífico, y en la Antártida. [8] Ese gran círculo divide los tradicionales hemisferios occidental y oriental .
En el aspecto oblicuo (45 grados) de un hemisferio se convierte en la proyección del hemisferio en un cuadrado de Guyou (el poste se coloca en el medio del borde del cuadrado). Sus cuatro singularidades se encuentran a 45 grados de latitud norte y sur en el gran círculo compuesto por el meridiano 20°W y los meridianos 160°E, en los océanos Atlántico y Pacífico. [8] Ese gran círculo divide los tradicionales hemisferios occidental y oriental.
^ Una proyección quincuncial de la esfera por Charles Sanders Peirce . 1890. I. Frischauf. Bemerkungen zu CS Peirce Proyección Quincuncial. (Tr., Comentarios sobre la proyección quincuncial de CS Peirce.) Tratado sobre proyecciones de Thomas Craig . Imprenta del Gobierno de EE. UU., 1882. p 132 Science, Volumen 11. Moses King, 1900. p 186
^ (Lee, 1976) da 1877 como el año en el que se concibió la proyección, citando el "Informe del estudio de la costa de EE. UU. para el año que termina en junio de 1877", 191-192.
^ Lee, LP (1976). "Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas jacobianas". Cartográfica . 13 : 67-101. doi :10.3138/X687-1574-4325-WM62.
^ Peirce, CS (1879). "Una proyección quincuncial de la esfera". Revista Estadounidense de Matemáticas . 2 (4): 394–396. doi :10.2307/2369491. JSTOR 2369491.
^ ab Snyder, John P. (1989). Un álbum de proyecciones de mapas, documento profesional 1453 (PDF) . Servicio Geológico de EE. UU. págs.190, 236.
^ Alemán, Daniel; d'Angelo, Pablo; Bruto, Michael; Postle, Bruno (junio de 2007). "Nuevos métodos para proyectar panorámicas con fines prácticos y estéticos". Actas de estética computacional 2007 . Banff: Eurografía. págs. 15-22.
^ ab Carlos A. Furuti. Proyecciones cartográficas: Proyecciones conformes.
Otras lecturas
"El mundo en una proyección quincuncial", de Peirce (1879) "Una proyección quincuncial de la esfera". Revista Estadounidense de Matemáticas , 2 (4): 394–397
Peirce, CS (1877/1879), "Apéndice No. 15. Una proyección quincuncial de la esfera", Informe del superintendente de la encuesta costera de los Estados Unidos que muestra el progreso de la encuesta para el año fiscal que termina en junio de 1877 , págs.191 –194 seguidos de 25 bocetos de progreso, incluida (25.ª) la ilustración (el mapa en sí). Informe completo presentado al Senado el 26 de diciembre de 1877 y publicado en 1880 (ver más abajo).
Artículo publicado por primera vez en diciembre de 1879, American Journal of Mathematics 2 (4): 394–397 (sin los bocetos excepto el mapa final), Google Books Eprint (la versión del mapa de Google es parcialmente fallida), JSTOR Eprint, doi :10.2307/2369491. Versión AJM reimpresa en Escritos de Charles S. Peirce 4 :68–71.
Artículo reimpreso en 1880, incluida la publicación de todos los bocetos, en el Informe completo , por la Imprenta del Gobierno de EE. UU., Washington, DC NOAA PDF Eprint, el enlace va al artículo de Peirce en la p . 191, PDF pág. 215. El PDF de la NOAA carece de bocetos y mapas e incluye un enlace roto [ enlace muerto permanente ] a su ubicación en línea planificada, la Colección de mapas y cartas históricas de la NOAA, donde no parecen estar al 19 de julio de 2010. Google Books Eprint (Google falló en los bocetos y en parte en la ilustración (el mapa en sí).) Nota: Otra edición de Google del Coast Survey Report de 1877 omite por completo las páginas de los bocetos, incluida la ilustración (el mapa).
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la proyección quincuncial de Peirce .
Un Applet Java interactivo para estudiar las deformaciones métricas de la Proyección Peirce.
Más ejemplos de panoramas quincunciales de Peirce
Snyder, John P. (1989). Un álbum de proyecciones de mapas, documento profesional 1453 (PDF) . Servicio Geológico de EE. UU. págs.190, 236.Contiene historia, descripción y formulación más adecuada a la computación.
