Capacidad

Capacidad de un cuerpo para almacenar una carga eléctrica.

La capacitancia es la capacidad de un objeto o dispositivo material para almacenar carga eléctrica . Se mide por la carga en respuesta a una diferencia de potencial eléctrico , expresada como la relación de esas cantidades. Comúnmente se reconocen dos nociones de capacitancia estrechamente relacionadas: autocapacitancia y capacitancia mutua . ^{[1] : 237–238} Un objeto que puede cargarse eléctricamente exhibe autocapacitancia, por lo que el potencial eléctrico se mide entre el objeto y tierra. La capacitancia mutua se mide entre dos componentes y es particularmente importante en el funcionamiento del capacitor , un componente electrónico lineal elemental diseñado para agregar capacitancia a un circuito eléctrico .

La capacitancia entre dos conductores es función únicamente de la geometría; el área de superficie opuesta de los conductores y la distancia entre ellos, y la permitividad de cualquier material dieléctrico entre ellos. Para muchos materiales dieléctricos, la permitividad y, por tanto, la capacitancia, es independiente de la diferencia de potencial entre los conductores y la carga total sobre ellos.

La unidad de capacitancia del SI es el faradio (símbolo: F), que lleva el nombre del físico inglés Michael Faraday . Un condensador de 1 faradio, cuando se carga con 1 culombio de carga eléctrica, tiene una diferencia de potencial de 1 voltio entre sus placas. ^[2] El recíproco de la capacitancia se llama elastancia .

Auto capacitancia

Al hablar de circuitos eléctricos, el término capacitancia suele ser una abreviatura de la capacitancia mutua entre dos conductores adyacentes, como las dos placas de un capacitor. Sin embargo, cada conductor aislado también presenta capacitancia, aquí llamada autocapacitancia . Se mide por la cantidad de carga eléctrica que se debe agregar a un conductor aislado para aumentar su potencial eléctrico en una unidad de medida, por ejemplo, un voltio . ^[3] El punto de referencia para este potencial es una esfera conductora hueca teórica, de radio infinito, con el conductor centrado dentro de esta esfera.

La autocapacitancia de un conductor se define por la relación entre carga y potencial eléctrico:

$${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$

• ${\textstyle q}$¿Se mantiene el cargo?
• ${\textstyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\sigma }{r}}\,dS}$es el potencial eléctrico,
• ${\textstyle \sigma }$es la densidad de carga superficial,
• ${\textstyle dS}$es un elemento infinitesimal de área en la superficie del conductor,
• ${\textstyle r}$es la longitud desde hasta un punto fijo M en el conductor, ${\textstyle dS}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del vacío .

Usando este método, la autocapacitancia de una esfera conductora de radio en el espacio libre (es decir, lejos de cualquier otra distribución de carga) es: ^[4] ${\textstyle R}$

$${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}R.}$$

Los valores de ejemplo de autocapacitancia son:

• para la "placa" superior de un generador de Van de Graaff , normalmente una esfera de 20 cm de radio: 22,24 pF,
• el planeta Tierra : alrededor de 710 µF. ^[5]

La capacitancia entre devanados de una bobina a veces se denomina autocapacitancia, ^[6] pero este es un fenómeno diferente. En realidad, se trata de capacitancia mutua entre las espiras individuales de la bobina y es una forma de capacitancia parásita o parásita . Esta autocapacitancia es una consideración importante en altas frecuencias: cambia la impedancia de la bobina y da lugar a resonancia paralela . En muchas aplicaciones, este es un efecto indeseable y establece un límite de frecuencia superior para el correcto funcionamiento del circuito. ^{[ cita necesaria ]}

capacitancia mutua

Una forma común es un condensador de placas paralelas , que consta de dos placas conductoras aisladas entre sí, generalmente intercaladas con un material dieléctrico . En un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es casi proporcional al área de la superficie de las placas conductoras e inversamente proporcional a la distancia de separación entre las placas.

Si las cargas en las placas son y , y dan el voltaje entre las placas, entonces la capacitancia está dada por ${\textstyle +q}$ ${\textstyle -q}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle C}$

$${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$

corriente

$${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}+V{\frac {dC}{dt}},}$$

${\textstyle {\frac {dv(t)}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {dC}{dt}}}$

$${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}},}$$

La energía almacenada en un capacitor se encuentra integrando el trabajo : ${\textstyle W}$

$${\displaystyle W_{\text{charging}}={\frac {1}{2}}CV^{2}.}$$

Matriz de capacitancia

La discusión anterior se limita al caso de dos placas conductoras, aunque de tamaño y forma arbitrarios. La definición no se aplica cuando hay más de dos placas cargadas, o cuando la carga neta en las dos placas es distinta de cero. Para manejar este caso, James Clerk Maxwell introdujo sus coeficientes de potencial . Si a tres conductores (casi ideales) se les dan cargas , entonces el voltaje en el conductor 1 viene dado por ${\displaystyle C=Q/V}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$

$${\displaystyle V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3},}$$

Hermann von HelmholtzSir William Thomsonmatriz de elastanciamatriz de capacitancia recíproca ${\displaystyle P_{12}=P_{21}}$

$${\displaystyle P_{ij}={\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}.}$$

A partir de esto, la capacitancia mutua entre dos objetos se puede definir ^[7] resolviendo la carga total y usando . ${\displaystyle C_{m}}$ ${\textstyle Q}$ ${\displaystyle C_{m}=Q/V}$

$${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(P_{11}+P_{22})-(P_{12}+P_{21})}}.}$$

Dado que ningún dispositivo real mantiene cargas perfectamente iguales y opuestas en cada una de las dos "placas", es la capacitancia mutua la que se informa en los capacitores.

La colección de coeficientes se conoce como matriz de capacitancia , ^{[8] [9] [10]} y es la inversa de la matriz de elastancia. ${\displaystyle C_{ij}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}}$

Condensadores

La capacitancia de la mayoría de los condensadores utilizados en circuitos electrónicos es generalmente varios órdenes de magnitud menor que el faradio . Las unidades de capacitancia más comunes son el microfaradio (μF), el nanofaradio (nF), el picofaradio (pF) y, en los microcircuitos, el femtofaradio (fF). Algunas aplicaciones también utilizan supercondensadores que pueden ser mucho más grandes, hasta cientos de faradios, y elementos capacitivos parásitos pueden tener menos de un femtofaradio. Los textos históricos utilizan otros submúltiplos obsoletos del faradio, como "mf" y "mfd" para microfaradio (μF); "mmf", "mmfd", "pfd", "μμF" para picofaradio (pF). ^{[11] [12]}

La capacitancia se puede calcular si se conocen la geometría de los conductores y las propiedades dieléctricas del aislante entre los conductores. La capacitancia es proporcional al área de superposición e inversamente proporcional a la separación entre láminas conductoras. Cuanto más cerca estén las hojas entre sí, mayor será la capacitancia.

Un ejemplo es la capacitancia de un capacitor construido con dos placas paralelas, ambas de área separadas por una distancia . Si es suficientemente pequeño con respecto a la cuerda más pequeña de , se cumple, con un alto nivel de precisión: ${\textstyle A}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle A}$

$${\displaystyle \ C=\varepsilon {\frac {A}{d}};}$$

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r},}$$

dónde

• ${\textstyle C}$es la capacitancia, en faradios;
• ${\textstyle A}$es el área de superposición de las dos placas, en metros cuadrados;
• ${\textstyle \varepsilon _{0}}$es la constante eléctrica ( ); ${\textstyle \varepsilon _{0}\approx 8.854\times 10^{-12}~\mathrm {F{\cdot }m^{-1}} }$
• ${\textstyle \varepsilon _{r}}$es la permitividad relativa (también constante dieléctrica) del material entre las placas ( ${\textstyle \varepsilon _{r}\approx 1}$ para aire); y
• ${\textstyle d}$es la separación entre las placas, en metros.

La ecuación es una buena aproximación si d es pequeña en comparación con las otras dimensiones de las placas, de modo que el campo eléctrico en el área del capacitor es uniforme y el llamado campo marginal alrededor de la periferia proporciona solo una pequeña contribución a la capacitancia.

Combinando la ecuación de capacitancia con la ecuación anterior para la energía almacenada en un capacitor, para un capacitor de placa plana la energía almacenada es:

$${\displaystyle W_{\text{stored}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {A}{d}}V^{2}.}$$

${\textstyle W}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle V}$

capacitancia parásita

Dos conductores adyacentes cualesquiera pueden funcionar como un condensador, aunque la capacitancia es pequeña a menos que los conductores estén juntos durante largas distancias o en un área grande. Esta capacitancia (a menudo no deseada) se llama capacitancia parásita o parásita. La capacitancia parásita puede permitir que se filtren señales entre circuitos que de otro modo estarían aislados (un efecto llamado diafonía ) y puede ser un factor limitante para el funcionamiento adecuado de los circuitos de alta frecuencia .

La capacitancia parásita entre la entrada y la salida en los circuitos amplificadores puede ser problemática porque puede formar un camino para la retroalimentación , lo que puede causar inestabilidad y oscilación parásita en el amplificador. A menudo es conveniente para fines analíticos reemplazar esta capacitancia con una combinación de una capacitancia de entrada a tierra y una capacitancia de salida a tierra; la configuración original, incluida la capacitancia de entrada a salida, a menudo se denomina configuración pi. El teorema de Miller se puede utilizar para efectuar este reemplazo: establece que, si la relación de ganancia de dos nodos es1/k, entonces una impedancia de Z que conecta los dos nodos se puede reemplazar con unaz/1-  Kimpedancia entre el primer nodo y tierra y unaKZ/k  - 1Impedancia entre el segundo nodo y tierra. Dado que la impedancia varía inversamente con la capacitancia, la capacitancia del entrenodo, C , se reemplaza por una capacitancia de KC desde la entrada a tierra y una capacitancia de( K  -1) C/kdesde la salida a tierra. Cuando la ganancia de entrada a salida es muy grande, la impedancia de entrada a tierra equivalente es muy pequeña, mientras que la impedancia de salida a tierra es esencialmente igual a la impedancia original (de entrada a salida).

Capacitancia de conductores con formas simples.

Calcular la capacitancia de un sistema equivale a resolver la ecuación de Laplace con un potencial constante en la superficie bidimensional de los conductores incrustados en el espacio tridimensional. Esto se simplifica mediante simetrías. No existe solución en términos de funciones elementales en casos más complicados. ${\textstyle \nabla ^{2}\varphi =0}$ ${\textstyle \varphi }$

Para situaciones planas, se pueden utilizar funciones analíticas para mapear diferentes geometrías entre sí. Véase también Mapeo de Schwarz-Christoffel .

Almacen de energia

La energía (medida en julios ) almacenada en un condensador es igual al trabajo necesario para empujar las cargas hacia el interior del condensador, es decir, para cargarlo. Considere un capacitor de capacitancia C , que sostiene una carga + q en una placa y − q en la otra. Mover un pequeño elemento de carga d q de una placa a otra contra la diferencia de potencial V = q / C requiere el trabajo d W :

$${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

WqC

La energía almacenada en un capacitor se encuentra integrando esta ecuación. Comenzar con una capacitancia descargada ( q = 0 ) y mover carga de una placa a otra hasta que las placas tengan carga + Q y − Q requiere el trabajo W :

$${\displaystyle W_{\text{charging}}=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}=W_{\text{stored}}.}$$

Sistemas a nanoescala

La capacitancia de los condensadores dieléctricos a nanoescala, como los puntos cuánticos, puede diferir de las formulaciones convencionales de condensadores más grandes. En particular, la diferencia de potencial electrostático que experimentan los electrones en los condensadores convencionales está espacialmente bien definida y fijada por la forma y el tamaño de los electrodos metálicos, además del número estadísticamente grande de electrones presentes en los condensadores convencionales. Sin embargo, en los condensadores a nanoescala, los potenciales electrostáticos experimentados por los electrones están determinados por el número y la ubicación de todos los electrones que contribuyen a las propiedades electrónicas del dispositivo. En tales dispositivos, el número de electrones puede ser muy pequeño, por lo que la distribución espacial resultante de las superficies equipotenciales dentro del dispositivo es extremadamente compleja.

Dispositivos de un solo electrón

La capacitancia de un dispositivo de un solo electrón conectado o "cerrado" es el doble de la capacitancia de un dispositivo de un solo electrón no conectado o "abierto". ^[23] Este hecho puede atribuirse más fundamentalmente a la energía almacenada en el dispositivo de un solo electrón, cuya energía de interacción de "polarización directa" puede dividirse equitativamente en la interacción del electrón con la carga polarizada en el propio dispositivo debido a la presencia de el electrón y la cantidad de energía potencial requerida para formar la carga polarizada en el dispositivo (la interacción de las cargas en el material dieléctrico del dispositivo con el potencial debido al electrón). ^[24]

Dispositivos de pocos electrones

La derivación de una "capacitancia cuántica" de un dispositivo de pocos electrones implica el potencial químico termodinámico de un sistema de N -partículas dado por

$${\displaystyle \mu (N)=U(N)-U(N-1),}$$

cuyos términos de energía pueden obtenerse como soluciones de la ecuación de Schrödinger. La definición de capacitancia,

$${\displaystyle {1 \over C}\equiv {\Delta V \over \Delta Q},}$$

$${\displaystyle \Delta V={\Delta \mu \, \over e}={\mu (N+\Delta N)-\mu (N) \over e}}$$

se puede aplicar al dispositivo con la adición o eliminación de electrones individuales,

$${\displaystyle \Delta N=1}$$

$${\displaystyle \Delta Q=e.}$$

La "capacitancia cuántica" del dispositivo es entonces ^[25]

$${\displaystyle C_{Q}(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{E(N)}}.}$$

Esta expresión de "capacitancia cuántica" puede escribirse como

$${\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over U(N)},}$$

${\displaystyle W_{\text{stored}}=U}$

$${\displaystyle C={Q^{2} \over 2U},}$$

1/2 ${\displaystyle Q=Ne}$

Sin embargo, en el marco de interacciones electrostáticas puramente clásicas, la aparición del factor de1/2es el resultado de la integración en la formulación convencional que involucra el trabajo realizado al cargar un capacitor,

$${\displaystyle W_{\text{charging}}=U=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

lo cual es apropiado ya que para sistemas que involucran muchos electrones o electrodos metálicos, pero en sistemas de pocos electrones, . La integral generalmente se convierte en una suma. Se pueden combinar trivialmente las expresiones de capacitancia. ${\displaystyle \mathrm {d} q=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q\to \Delta \,Q=e}$

$${\displaystyle Q=CV}$$

$${\displaystyle U=QV,}$$

$${\displaystyle C=Q{1 \over V}=Q{Q \over U}={Q^{2} \over U},}$$

que es similar a la capacitancia cuántica. En la literatura se informa de una derivación más rigurosa. ^[26] En particular, para sortear los desafíos matemáticos de las superficies equipotenciales espacialmente complejas dentro del dispositivo, en la derivación se utiliza un potencial electrostático promedio experimentado por cada electrón.

Las diferencias matemáticas aparentes pueden entenderse de manera más fundamental. La energía potencial, , de un dispositivo aislado (autocapacitancia) es el doble de la almacenada en un dispositivo "conectado" en el límite inferior . A medida que crece, . ^[24] Por lo tanto, la expresión general de la capacitancia es ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U(N)\to U}$

$${\displaystyle C(N)={(Ne)^{2} \over U(N)}.}$$

En dispositivos a nanoescala, como los puntos cuánticos, el "condensador" suele ser un componente aislado o parcialmente aislado dentro del dispositivo. Las principales diferencias entre los condensadores a nanoescala y los condensadores macroscópicos (convencionales) son la cantidad de electrones en exceso (portadores de carga, o electrones, que contribuyen al comportamiento electrónico del dispositivo) y la forma y el tamaño de los electrodos metálicos. En los dispositivos a nanoescala, los nanocables que consisten en átomos metálicos generalmente no exhiben las mismas propiedades conductoras que sus contrapartes macroscópicas o de material a granel.

Capacitancia en dispositivos electrónicos y semiconductores.

En dispositivos electrónicos y semiconductores, la corriente transitoria o dependiente de la frecuencia entre terminales contiene componentes tanto de conducción como de desplazamiento. La corriente de conducción está relacionada con los portadores de carga en movimiento (electrones, huecos, iones, etc.), mientras que la corriente de desplazamiento es causada por un campo eléctrico variable en el tiempo. El transporte de portadores se ve afectado por campos eléctricos y por una serie de fenómenos físicos, como deriva y difusión de portadores, atrapamiento, inyección, efectos relacionados con el contacto, ionización por impacto, etc. Como resultado, la admitancia del dispositivo depende de la frecuencia y una simple La fórmula electrostática para capacitancia no es aplicable. Una definición más general de capacitancia, que abarca la fórmula electrostática, es: ^[27] ${\displaystyle C=q/V,}$

$${\displaystyle C={\frac {\operatorname {Im} (Y(\omega ))}{\omega }},}$$

${\displaystyle Y(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

En general, la capacitancia es función de la frecuencia. A altas frecuencias, la capacitancia se acerca a un valor constante, igual a la capacitancia "geométrica", determinada por la geometría de los terminales y el contenido dieléctrico del dispositivo. Un artículo de Steven Laux ^[27] presenta una revisión de técnicas numéricas para el cálculo de capacitancia. En particular, la capacitancia se puede calcular mediante una transformada de Fourier de una corriente transitoria en respuesta a una excitación de voltaje escalonada:

$${\displaystyle C(\omega )={\frac {1}{\Delta V}}\int _{0}^{\infty }[i(t)-i(\infty )]\cos(\omega t)dt.}$$

Capacitancia negativa en dispositivos semiconductores.

Normalmente, la capacitancia en los dispositivos semiconductores es positiva. Sin embargo, en algunos dispositivos y bajo ciertas condiciones (temperatura, voltajes aplicados, frecuencia, etc.), la capacitancia puede volverse negativa. Se ha propuesto como mecanismo de capacitancia negativa el comportamiento no monótono de la corriente transitoria en respuesta a una excitación escalonada. ^[28] La capacitancia negativa se ha demostrado y explorado en muchos tipos diferentes de dispositivos semiconductores. ^[29]

Medición de capacitancia

Un medidor de capacitancia es un equipo de prueba electrónico que se utiliza para medir la capacitancia, principalmente de capacitores discretos . Para la mayoría de los propósitos y en la mayoría de los casos, el capacitor debe desconectarse del circuito .

Muchos DVM ( voltímetros digitales ) tienen una función de medición de capacitancia. Estos generalmente funcionan cargando y descargando el capacitor bajo prueba con una corriente conocida y midiendo la tasa de aumento del voltaje resultante ; cuanto más lenta sea la tasa de aumento, mayor será la capacitancia. Los DVM generalmente pueden medir capacitancia desde nanofaradios hasta unos pocos cientos de microfaradios, pero no son inusuales rangos más amplios. También es posible medir la capacitancia pasando una corriente alterna de alta frecuencia conocida a través del dispositivo bajo prueba y midiendo el voltaje resultante a través de él (no funciona para capacitores polarizados).

Un puente capacitancia Andeen-Hagerling 2700A

Instrumentos más sofisticados utilizan otras técnicas, como insertar el condensador bajo prueba en un circuito puente . Variando los valores de las otras patas del puente (para equilibrar el puente), se determina el valor del condensador desconocido. Este método de uso indirecto de la capacitancia de medición garantiza una mayor precisión. Mediante el uso de conexiones Kelvin y otras técnicas de diseño cuidadosas, estos instrumentos generalmente pueden medir condensadores en un rango que va desde picofaradios hasta faradios.

Ver también

• Sensor de desplazamiento capacitivo
• Capacidad de un conjunto
• Corriente de desplazamiento
• ley de gauss
• medidor LCR
• Magnetocapacitancia
• capacitancia cuántica

Referencias

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Otras lecturas

• Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: vol. 2: Electricidad y Magnetismo, Luz (4ª ed.). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6 
• Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7 
• Saslow, Wayne M. (2002). Electricidad, Magnetismo y Luz . Aprendizaje Thomson. ISBN 0-12-619455-6 . Véase el Capítulo 8, y especialmente las páginas 255-259 para conocer los coeficientes de potencial. 

enlaces externos

• Medios relacionados con la capacitancia en Wikimedia Commons