Propiedad matemática
En la disciplina matemática de la teoría de grupos , la propiedad de Howson , también conocida como propiedad de intersección finitamente generada (FGIP) , es la propiedad de un grupo que dice que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de este grupo es a su vez finitamente generada. La propiedad recibe su nombre de Albert G. Howson , quien en un artículo de 1954 estableció que los grupos libres tienen esta propiedad. [1]
Definición formal
Se dice que un grupo tiene la propiedad de Howson si para cada subgrupo finitamente generado de su intersección hay nuevamente un subgrupo finitamente generado de . [2]
Ejemplos y no ejemplos
- Todo grupo finito tiene la propiedad de Howson.
- El grupo no tiene la propiedad de Howson. En concreto, si es el generador del factor de , entonces para y , se tiene . Por lo tanto, no es finitamente generado. [3]
- Si es una superficie compacta entonces el grupo fundamental de tiene la propiedad de Howson. [4]
- Un grupo cíclico infinito libre por (grupo cíclico infinito) , donde , nunca tiene la propiedad de Howson. [5]
- En vista de la reciente prueba de la conjetura de Haken virtualmente y la conjetura de fibra virtualmente para 3-variedades, los resultados establecidos previamente implican que si M es una 3-variedad hiperbólica cerrada, entonces no tiene la propiedad de Howson. [6]
- Entre los grupos 3-variedades, hay muchos ejemplos que tienen y no tienen la propiedad de Howson. Los grupos 3-variedades con la propiedad de Howson incluyen grupos fundamentales de 3-variedades hiperbólicas de volumen infinito, grupos 3-variedades basados en geometrías Sol y Nil , así como grupos 3-variedades obtenidos por algunas construcciones de suma conectada y descomposición JSJ . [6]
- Para cada grupo Baumslag –Solitar se tiene la propiedad de Howson. [3]
- Si G es un grupo en el que cada subgrupo finitamente generado es noetheriano , entonces G tiene la propiedad de Howson. En particular, todos los grupos abelianos y todos los grupos nilpotentes tienen la propiedad de Howson.
- Todo grupo policíclico por finito tiene la propiedad de Howson. [7]
- Si son grupos con la propiedad de Howson entonces su producto libre también tiene la propiedad de Howson. [8] De manera más general, la propiedad de Howson se conserva tomando productos libres amalgamados y extensión HNN de grupos con la propiedad de Howson sobre subgrupos finitos. [9]
- En general, la propiedad de Howson es bastante sensible a los productos amalgamados y a las extensiones HNN sobre subgrupos infinitos. En particular, para grupos libres y un grupo cíclico infinito , el producto libre amalgamado tiene la propiedad de Howson si y solo si es un subgrupo cíclico máximo tanto en como en . [10]
- Un grupo de Artin en ángulo recto tiene la propiedad de Howson si y sólo si cada componente conectado es un gráfico completo. [11]
- Los grupos límite tienen la propiedad de Howson. [12]
- No se sabe si tiene la propiedad Howson. [13]
- Porque el grupo contiene un subgrupo isomorfo a y no tiene la propiedad de Howson. [13]
- Muchos grupos de cancelación pequeños y grupos de Coxeter , que satisfacen la condición de "reducción de perímetro" en su presentación, son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. [14] [15]
- Los grupos de un solo relator , donde también son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. [16]
- El grupo Grigorchuk G de crecimiento intermedio no tiene la propiedad de Howson. [17]
- La propiedad de Howson no es una propiedad de primer orden , es decir, la propiedad de Howson no puede caracterizarse mediante una colección de fórmulas de lenguaje de grupo de primer orden . [18]
- Un grupo pro-p libre satisface una versión topológica de la propiedad de Howson: si son subgrupos cerrados de generados topológicamente de manera finita, entonces su intersección es generada topológicamente de manera finita. [19]
- Para cualquier número entero fijo, un grupo generador- relacionador "genérico" tiene la propiedad de que, para cualquier subgrupo generado, su intersección se genera nuevamente de manera finita. [20]
- El producto de corona no tiene la propiedad de Howson. [21]
- El grupo de Thompson no tiene la propiedad de Howson, ya que contiene . [22]
Véase también
Referencias
- ^ AG Howson, Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados . Journal of the London Mathematical Society 29 (1954), 428–434
- ^ O. Bogopolski, Introducción a la teoría de grupos. Traducido, revisado y ampliado a partir del original ruso de 2002. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zúrich, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8 ; pág. 102
- ^ ab DI Moldavanskii, La intersección de subgrupos finitamente generados (en ruso) Siberian Mathematical Journal 9 (1968), 1422–1426
- ^ L. Greenberg, Grupos discretos de movimientos . Revista canadiense de matemáticas 12 (1960), 415–426
- ^ RG Burns y AM Brunner, Dos observaciones sobre la propiedad grupal de Howson , Algebra i Logika 18 (1979), 513–522
- ^ ab T. Soma, Grupos de 3 variedades con la propiedad de intersección finitamente generada, Transactions of the American Mathematical Society , 331 (1992), n.º 2, 761–769
- ^ V. Araújo, P. Silva, M. Sykiotis, Resultados de finitud para subgrupos de extensiones finitas . Journal of Algebra 423 (2015), 592–614
- ^ B. Baumslag, Intersecciones de subgrupos finitamente generados en productos libres . Journal of the London Mathematical Society 41 (1966), 673–679
- ^ DE Cohen, Subgrupos finitamente generados de productos libres amalgamados y grupos HNN . J. Austral. Math. Soc. Ser. A 22 (1976), n.º 3, 274–281
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