En teoría de números , los números primos en progresión aritmética son cualquier secuencia de al menos tres números primos que sean términos consecutivos en una progresión aritmética . Un ejemplo es la secuencia de números primos (3, 7, 11), que viene dada por for .
Según el teorema de Green-Tao , existen secuencias arbitrariamente largas de números primos en progresión aritmética. A veces, la frase también puede usarse sobre números primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, se puede usar con números primos en una progresión aritmética de la forma , donde a y b son coprimos que, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contiene infinitos números primos, junto con infinitos compuestos.
Para un entero k ≥ 3, un AP- k (también llamado PAP- k ) es cualquier secuencia de k primos en progresión aritmética. Un AP- k se puede escribir como k primos de la forma a · n + b , para enteros fijos a (llamado diferencia común) y b , y k valores enteros consecutivos de n . Un AP- k generalmente se expresa con n = 0 a k − 1. Esto siempre se puede lograr definiendo b como el primer primo en la progresión aritmética.
Cualquier progresión aritmética dada de números primos tiene una longitud finita. En 2004, Ben J. Green y Terence Tao resolvieron una vieja conjetura demostrando el teorema de Green-Tao : los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . [1] Se deduce inmediatamente que hay infinitos AP- k para cualquier k .
Si un AP- k no comienza con el primo k , entonces la diferencia común es un múltiplo del primorial k # = 2·3·5·...· j , donde j es el primo mayor ≤ k .
Esto también muestra que un AP con diferencia común a no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide a .
Si k es primo, entonces un AP- k puede comenzar con k y tener una diferencia común que es solo un múltiplo de ( k −1)# en lugar de k #. (De HJ Weber, ``Múltiplos de números primos repetidos y excepcionales menos regulares", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, el AP-3 con primos {3, 5, 7} y diferencia común 2# = 2, o el AP-5 con primos {5, 11, 17, 23, 29} y diferencia común 4# = 6. Se conjetura que existen ejemplos similares para todos los primos k . A partir de 2018 [actualizar], el primo más grande. para lo cual se confirma es k = 19, para este AP-19 encontrado por Wojciech Iżykowski en 2013:
De conjeturas ampliamente creídas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la k-tupla de primos , se deduce que si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a , entonces hay infinitos AP-( p −1) con diferencia común a . Por ejemplo, 5 es el primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que haya infinitos AP-4 con diferencia común 6, lo que se llama cuatrillizo primo sexy . Cuando a = 2, p = 3, es la conjetura de los primos gemelos , con un "AP-2" de 2 primos ( b , b + 2).
Minimizamos el último término. [3]
Para el primo q , q # denota el primorial 2·3·5·7·...· q .
En septiembre de 2019 , el AP- k[actualizar] más largo conocido es un AP-27. Se conocen varios ejemplos de AP-26. El primero en ser descubierto fue encontrado el 12 de abril de 2010 por Benoît Perichon en una PlayStation 3 con software de Jarosław Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto PrimeGrid distribuido : [2]
Cuando se encontró el primer AP-26, PrimeGrid [4] dividió la búsqueda en 131.436.182 segmentos y la procesó CPU de 32/64 bits, GPU Nvidia CUDA y microprocesadores Cell de todo el mundo.
Antes de eso, el registro era un AP-25 encontrado por Raanan Chermoni y Jarosław Wróblewski el 17 de mayo de 2008: [2]
La búsqueda AP-25 se dividió en segmentos que tomaron alrededor de 3 minutos en Athlon 64 y Wróblewski informó: "Creo que Raanan pasó por menos de 10.000.000 de esos segmentos" [5] (esto habría tomado alrededor de 57 años de CPU en Athlon 64).
El registro anterior era un AP-24 encontrado solo por Jarosław Wróblewski el 18 de enero de 2007:
Para esto Wróblewski informó que utilizó un total de 75 computadoras: 15 Athlons de 64 bits, 15 Pentium D 805 de 64 bits de doble núcleo , 30 Athlons 2500 de 32 bits y 15 Durons 900. [6]
La siguiente tabla muestra el AP- k más grande conocido con el año de descubrimiento y el número de dígitos decimales en el primo final. Tenga en cuenta que el AP- k más grande conocido puede ser el final de un AP-( k +1). Algunos creadores de récords optan por calcular primero un gran conjunto de números primos de la forma c · p #+1 con p fijo , y luego buscar AP entre los valores de c que produjeron un número primo. Esto se refleja en la expresión de algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente como a · n + b .
Los primos consecutivos en progresión aritmética se refieren a al menos tres primos consecutivos que son términos consecutivos en una progresión aritmética. Tenga en cuenta que, a diferencia de un AP- k , todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, el AP-3 {3, 7, 11} no califica, porque 5 también es primo.
Para un número entero k ≥ 3, una CPAP- k son k números primos consecutivos en progresión aritmética. Se supone que existen CPAP arbitrariamente largos. Esto implicaría infinitas CPAP- k para todo k . El primo medio en un CPAP-3 se llama primo equilibrado . El más grande conocido a partir de 2022 [actualizar]tiene 15004 dígitos.
El primer CPAP-10 conocido fue encontrado en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto de computación distribuida CP10 organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann. [7] Este CPAP-10 tiene la diferencia común más pequeña posible, 7# = 210. El único otro CPAP-10 conocido en 2018 fue encontrado por las mismas personas en 2008.
Si existe un CPAP-11, entonces debe tener una diferencia común que sea un múltiplo de 11# = 2310. La diferencia entre el primero y el último de los 11 primos sería, por lo tanto, un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 números primos hace que parezca extremadamente difícil encontrar un CPAP-11. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos entre 10 y 12 veces más duro que un CPAP-10. [8]
La primera aparición de una CPAP- k solo se conoce para k ≤ 6 (secuencia A006560 en la OEIS ).
La tabla muestra el mayor caso conocido de k primos consecutivos en progresión aritmética, para k = 3 a 10.
x d es un número de d dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para garantizar un factor pequeño en inusualmente muchos de los compuestos requeridos entre los números primos. x 106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 x 153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x 253 % 379# x 253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
