Entero profinito

En matemáticas , un entero profinito es un elemento del anillo (a veces pronunciado como zee-hat o zed-hat)

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

donde el límite inverso

${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

indica la completitud profinita de , el índice recorre todos los números primos y es el anillo de los números enteros p -ádicos . Este grupo es importante debido a su relación con la teoría de Galois , la teoría de homotopía de étale y el anillo de Adeles . Además, proporciona un ejemplo básico manejable de un grupo profinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Construcción

Los enteros profinitos se pueden construir como el conjunto de secuencias de residuos representados como tales que . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \upsilon }$ $${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}$$ ${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

La suma y multiplicación puntual lo convierten en un anillo conmutativo.

El anillo de números enteros se incrusta en el anillo de números enteros profinitos mediante la inyección canónica: donde Es canónico ya que satisface la propiedad universal de los grupos profinitos de que, dado cualquier grupo profinito y cualquier homomorfismo de grupo , existe un único homomorfismo de grupo continuo con . $${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$ ${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$ ${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

Utilizando el sistema de numeración factorial

Cada número entero tiene una representación única en el sistema de numeración factorial como donde para cada , y solo un número finito de son distintos de cero. ${\displaystyle n\geq 0}$ $${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

Su representación numérica factorial se puede escribir como . ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

De la misma manera, un entero profinito puede representarse de forma única en el sistema de numeración factorial como una cadena infinita , donde cada uno es un entero que satisface . ^[1] ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

Los dígitos determinan el valor del entero profinito mod . Más específicamente, hay un homomorfismo de anillo que envía La diferencia entre un entero profinito y un entero es que se omite la condición de "número finito de dígitos distintos de cero", lo que permite que su representación factorial tenga un número infinito de dígitos distintos de cero. ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

Utilizando el teorema del resto chino

Otra forma de entender la construcción de los enteros profinitos es mediante el teorema del resto chino . Recordemos que para un entero con factorización prima de primos no periódicos, existe un isomorfismo de anillo a partir del teorema. Además, cualquier sobreyección será simplemente una función de las descomposiciones subyacentes donde hay sobreyecciones inducidas, ya que debemos tener . Debería ser mucho más claro que, bajo la definición de límite inverso de los enteros profinitos, tenemos el isomorfismo con el producto directo de los enteros p -ádicos. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

Explícitamente, el isomorfismo es por donde abarca todos los factores de potencia primos de , es decir, para algunos números primos diferentes . ${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ $${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

Relaciones

Propiedades topológicas

El conjunto de números enteros profinitos tiene una topología inducida en la que es un espacio de Hausdorff compacto , que se deriva del hecho de que puede verse como un subconjunto cerrado del producto directo infinito que es compacto con su topología de producto por el teorema de Tichonoff . Nótese que la topología en cada grupo finito se da como la topología discreta . $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

La topología se puede definir mediante la métrica, ^[1] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ $${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

Dado que la suma de números enteros profinitos es continua, es un grupo abeliano de Hausdorff compacto y, por lo tanto, su dual de Pontryagin debe ser un grupo abeliano discreto. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

De hecho, el dual de Pontryagin de es el grupo abeliano equipado con la topología discreta (nótese que no es la topología de subconjunto heredada de , que no es discreta). El dual de Pontryagin se construye explícitamente mediante la función ^[2] donde es el carácter de la adele (introducida a continuación) inducida por . ^[3] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

Relación con adeles

El producto tensorial es el anillo de adeles finitos de donde el símbolo significa producto restringido . Es decir, un elemento es una secuencia que es integral excepto en un número finito de lugares. ^[4] Hay un isomorfismo ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle '}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

Aplicaciones en la teoría de Galois y la teoría de homotopía de Etale

Para el cierre algebraico de un cuerpo finito de orden q, el grupo de Galois se puede calcular explícitamente. A partir del hecho de que donde los automorfismos están dados por el endomorfismo de Frobenius , el grupo de Galois del cierre algebraico de está dado por el límite inverso de los grupos , por lo que su grupo de Galois es isomorfo al grupo de enteros profinitos ^[5] que da un cálculo del grupo de Galois absoluto de un cuerpo finito. ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

Relación con los grupos fundamentales de Etale de toros algebraicos

Esta construcción puede reinterpretarse de muchas maneras. Una de ellas es a partir de la teoría de homotopía de Etale que define el grupo fundamental de Etale como la compleción profinita de automorfismos donde es una cubierta de Etale . Entonces, los enteros profinitos son isomorfos al grupo del cálculo anterior del grupo de Galois profinito. Además, hay una incrustación de los enteros profinitos dentro del grupo fundamental de Etale del toro algebraico ya que las aplicaciones de cubierta provienen de las aplicaciones polinómicas de la aplicación de anillos conmutativos que envían desde . Si el toro algebraico se considera sobre un cuerpo , entonces el grupo fundamental de Etale contiene una acción de también de la secuencia exacta fundamental en la teoría de homotopía de Etale. ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$ $${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$ ${\displaystyle X_{i}\to X}$ $${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$ $${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$ $${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

Teoría de campos de clases y los enteros profinitos

La teoría de campos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que estudia las extensiones abelianas de un campo. Dado el campo global , la abelianización de su grupo absoluto de Galois está íntimamente relacionada con el anillo asociado de adeles y el grupo de enteros profinitos. En particular, existe una función, llamada función de Artin ^[6], que es un isomorfismo. Este cociente se puede determinar explícitamente como ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ $${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

dando la relación deseada. Existe una afirmación análoga para la teoría de campos de clases locales, ya que cada extensión abeliana finita de se induce a partir de una extensión de campo finito . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

Véase también

• número p-ádico
• Anillo de adeles
• Número sobrenatural

Notas

1. Lenstra, Hendrik. "Teoría de números profinitos" (PDF) . Asociación Matemática de Estados Unidos . Consultado el 11 de agosto de 2022 .
2. Connes y Consani 2015, § 2.4.
3. K. Conrad, El grupo de personajes de Q
4. Preguntas sobre algunos mapas que involucran anillos de adeles finitos y sus grupos unitarios.
5. Milne 2013, Cap. I Ejemplo A. 5.
6. "Teoría de campos de clases - lccs". www.math.columbia.edu . Consultado el 25 de septiembre de 2020 .

Referencias

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometría del sitio aritmético". arXiv : 1502.05580 [math.AG].
• Milne, JS (23 de marzo de 2013). "Class Field Theory" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2013. Consultado el 7 de junio de 2020 .

Enlaces externos

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+enteros
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf