El problema de la cuadratura del círculo de Tarski es el desafío, planteado por Alfred Tarski en 1925, de tomar un disco en el plano, cortarlo en un número finito de piezas y volver a ensamblar las piezas para obtener un cuadrado de área igual . Miklós Laczkovich demostró que esto era posible en 1990; la descomposición hace un uso intensivo del axioma de elección y, por lo tanto, no es constructiva . Laczkovich estimó el número de piezas en su descomposición en aproximadamente 10 50 ; las piezas utilizadas en su descomposición son subconjuntos no medibles del plano. Łukasz Grabowski, András Máthé y Oleg Pikhurko dieron una solución constructiva en 2016 [1] que funcionó en todas partes excepto para un conjunto de medida cero. Más recientemente, Andrew Marks y Spencer Unger (2017) dieron una solución completamente constructiva utilizando aproximadamente piezas de Borel . [2] En 2021, Máthé, Noel y Pikhurko mejoraron las propiedades de las piezas. [3] [4]
En particular, Lester Dubins , Morris W. Hirsch y Jack Karush demostraron que es imposible diseccionar un círculo y hacer un cuadrado usando piezas que podrían cortarse con un par de tijeras idealizadas (es decir, que tengan el límite de la curva de Jordan ). [5]
Laczkovich demostró que el reensamblaje se puede hacer usando solo traslaciones ; no se requieren rotaciones. En el camino, también demostró que cualquier polígono simple en el plano se puede descomponer en un número finito de piezas y reensamblarse usando solo traslaciones para formar un cuadrado de área igual. El teorema de Bolyai-Gerwien es un resultado relacionado pero mucho más simple: establece que se puede lograr tal descomposición de un polígono simple con un número finito de piezas poligonales si se permiten tanto traslaciones como rotaciones para el reensamblaje.
De un resultado de Wilson (2005) se desprende que es posible elegir las piezas de tal manera que puedan moverse continuamente y permanecer disjuntas para formar el cuadrado. Además, esta afirmación más fuerte también se puede demostrar mediante traslaciones únicamente.
Estos resultados deben compararse con las descomposiciones mucho más paradójicas en tres dimensiones proporcionadas por la paradoja de Banach-Tarski ; esas descomposiciones pueden incluso cambiar el volumen de un conjunto. Sin embargo, en el plano, una descomposición en un número finito de partes debe preservar la suma de las medidas de Banach de las partes y, por lo tanto, no puede cambiar el área total de un conjunto (Wagon 1993).
