En teoría de números , un número de Sierpiński es un número natural impar k tal que es compuesto para todos los números naturales n . En 1960, Wacław Sierpiński demostró que hay infinitos números enteros impares k que tienen esta propiedad.
En otras palabras, cuando k es un número de Sierpiński, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:
Si la forma es en cambio , entonces k es un número de Riesel .
La secuencia de números de Sierpiński conocidos actualmente comienza con:
En 1962, John Selfridge demostró que el número 78557 es un número de Sierpiński , al demostrar que todos los números de la forma 78557⋅2 n + 1 tienen un factor en el conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Para otro número de Sierpiński conocido, 271129, el conjunto de recubrimiento es {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. La mayoría de los números de Sierpiński conocidos actualmente poseen conjuntos de recubrimiento similares. [1]
Sin embargo, en 1995 AS Izotov demostró que se podía demostrar que algunas cuartas potencias eran números de Sierpiński sin establecer un conjunto de cobertura para todos los valores de n . Su prueba depende de la factorización aurifeuilleana t 4 ⋅2 4 m +2 + 1 = ( t 2 ⋅2 2 m +1 + t ⋅2 m +1 + 1)⋅( t 2 ⋅2 2 m +1 − t ⋅2 m +1 + 1) . Esto establece que todos los n ≡ 2 (mod 4) dan lugar a un compuesto, por lo que solo queda eliminar n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) utilizando un conjunto de cobertura. [2]
El problema de Sierpiński busca el valor del número de Sierpiński más pequeño. En una correspondencia privada con Paul Erdős , Selfridge conjeturó que 78.557 era el número de Sierpiński más pequeño. [3] No se han descubierto números de Sierpiński más pequeños, y ahora se cree que 78.557 es el número más pequeño. [4]
Para demostrar que 78.557 es realmente el número de Sierpiński más pequeño, hay que demostrar que todos los números impares menores que 78.557 no son números de Sierpiński. Es decir, para cada k impar menor que 78.557, debe existir un entero positivo n tal que k 2 n + 1 sea primo. [1] El proyecto de computación voluntaria distribuida PrimeGrid está intentando eliminar todos los valores restantes de k : [5]
En 1976, Nathan Mendelsohn determinó que el segundo número de Sierpiński demostrable es el primo k = 271129. El problema de Sierpiński de primos busca el valor del número de Sierpiński de primos más pequeño , y actualmente se lleva a cabo una "búsqueda de Sierpiński de primos" que intenta demostrar que 271129 es el primer número de Sierpiński que también es primo. [6]
Supongamos que ambos problemas de Sierpiński anteriores se hubieran resuelto finalmente, mostrando que 78557 es el número de Sierpiński más pequeño y que 271129 es el número de Sierpiński primo más pequeño. Esto aún deja sin resolver la cuestión del segundo número de Sierpiński; podría existir un número de Sierpiński compuesto k tal que . Una búsqueda en curso está tratando de demostrar que 271129 es el segundo número de Sierpiński, probando todos los valores k entre 78557 y 271129, primos o no. [7]
Un número puede ser simultáneamente Sierpiński y Riesel . Estos se denominan números de Brier. Los cinco ejemplos más pequeños conocidos son 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... (A076335). [8]
